浅析由母题构建开放性设问对提升数学核心素养的作用

高丽

摘要：本文试图根据近几年开放性课堂提問的尝试，探讨提升数学素养的新途径——由母题构建开放性设问。开放性设问非常有利于创造性思维的培养、有利于数学精神的发扬、有利于数学语言的表达，是一种值得开发的教学方式。

关键词：数学；核心素养；母题；开放性设问

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）17-075-1

数学素养就是会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界[1]。本文试图根据近几年开放性课堂提问的尝试，探讨提升数学素养的新途径——由母题构建开放性设问。所谓“母题”，是指诱导一个问题串的主要问题；所谓“开放性问题”，就是没有标准的过程、没有标准的条件和结论的问题。这种问题有利于发动学生积极探究、体验过程，有利于创造性思维的培养、有利于数学精神的发扬、有利于数学语言的表达，是一种值得开发的教学方式。

一、请学生拟小题

母题1.将asinα+bcosα写为Asin（α+φ）（A>0）的形式。

公式asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）称为“辅助角公式”。讲完这个公式的推导后，不是让学生训练一系列从左到右的套用公式，而是提出

问题1：“请每个同学帮老师拟三个小题目，要求是：选择适当的一对实数a，b，使得y=asinx+bcosx能转化成为y=Asin（x+φ）（A>0）的形式。”

问题2：“试在黑板上这些题目中选出至少6个并作从易到难的排序。”同时请三个同学一起上台从易到难整理和筛选，得以下结果：

1）y=22sinx+22cosx，2）y=32sinx-12cosx，3）y=sinx-3cosx，

4）y=sinx+cosx，5）y=3sinx+4cosx，6）y=2sinx-3cosx。

问题3：“为什么要这样排序？这几个题目有什么特点？”

问题4：请大家“将上面的6个式子转化一下。”……

评析：通过这个拟小题的问题串，学生在构建习题的活动中同时感受到了动手实践、自主探索、合作交流等多种学习方式。在寻题中发展了直观想象素养，在整理中发展了数学抽象素养，在表述中发展了数学表达能力，在最后的解题中发展了运算素养。学生感觉到在做教师做过的事，建立了自信，可谓一举多得。

二、带学生探命题

母题2.已知在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（1，3），O为坐标原点，且OM=αOA+βOB（α+β=1），若N（1，0），求|MN|的最小值。

同学们几乎都做了同一种方法：|MN|=|OM-ON|=（-2α+β-1）2+（3β）2

=32β2-2β+1，当β=12时|MN|的最小值为322。

这时老师提出

问题1：“满足OM=αOA+βOB（α+β=1）的M点的轨迹是什么？”

问题2：“点N到直线AB上的点的最短距离如何求出？”

问题3：“点N到线段AB上的点的最短距离如何求出？”

问题4：“设OM=αOA+βOB，则线段（而不是直线）AB上的点用向量如何表示？α+β>1和α+β<1表示M在什么位置？”

同学们表示了各自的猜想，但不能进行当场证明。老师十分简洁地给出分析总结，得到重要命题：“已知不在原点的两点A，B，则平面上的任何点M的位置都可以表示为OM=αOA+βOB，α+β=1，α+β>1，α+β<1分别对应点M在直线AB上，关于点O在AB的异侧，关于点O在AB的同侧。”

评析：带学生探究本题，可以将数形结合思想发挥到极致，其中直观形象和数学抽象素养也同时得到体现。本题发挥作用远不在于题目本身，而在于探究过程，学生通过这个过程获得了形式推理的体验并得出一般结论，理解并表达了现实世界中事物的本质与规律，这是数学素养的重要体现。

三、让学生做评价

母题3.讨论函数y=lnx-ax的零点个数。

教师先让学生课外解题，次日课上请同学们讨论

问题1：“本题有哪些解法？”

选出不同方法的学生上台讲题，不到位的方法由老师补充，得到多种方法。

问题2：“这些方法有什么联系和区别？哪种方法最为便捷？”

问题3：“如何讨论函数y=ax-ex的零点个数？”

同学们口头描述出五种解法。

评析：让学生思考一题多解是从不同角度对同一个问题的分析，特别是这种零点的讨论，富含直线或曲线的运动过程，对培养数学思维很有益处。而学生通过对方法的归纳总结，实质是提高了数学策略的素养，也可视作数学建模的核心素养。

综上所述，对一个数学母题进行多方位挖掘，是学生参与数学活动的重要方式，而数学活动是数学素养生成的载体。在数学活动中，学生经历和体验了数学应用，感悟了数学思想方法，就会形成一种综合性特征，这种特征会在真实情境中表现出来，生成数学核心素养[2]。因此，母题的运用，既能提高学生的解题能力，又能培养学生的数学素养，可谓一举两得、事半功倍。

[参考文献]

[1]赵光礼.数学素养新思维：儿童数学素养内涵发展与评价的研究[M].北京：光明日报出版社，2012.

[2]康世刚.数学素养生成的教学研究[D].西南大学，2009.