数学复习课中开放型问题的设计思考

朱建明

摘 要：在数学复习教学中设计开放型问题，可以着力于知识巩固、技能强化、方法感悟、示错纠错、数学能力提升诸方面.设计好数学复习课中的开放型问题，对提高学生复习课参与度，增强复习课效益具有重要作用.

关键词：数学复习课；开放型问题；问题设计

复习是一种常见的教学活动，贯穿于教学的全过程.数学复习课首先是以系统复习所学知识为主要任务，加深学生对知识的理解与掌握，使之系统化、结构化，同时，数学复习课还要落实基本技能的训练，并在其中渗透基本的数学思想方法，提升数学能力，具有总结与回顾、沉淀与生长的独特教学功能.在数学复习课中，设置开放型问题，不仅可以充分利用开放型问题固有特性帮助学生梳理学过的知识，训练应有技能，弥补过失缺漏，还能综合提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.下面就以苏科版初中数学教材中的内容为例，谈谈数学复习课中开放型问题的设计.

一、梳理基础知识 突出具体化

梳理基础知识是对已经学过的知识进行系统整理，这是复习课教学中不可或缺的重要环节，也能帮助学生进一步理解和掌握知识，提高知识系统化、网络化和结构化.在梳理基础知识时设计使用的开放型问题，要突出知识的附着点，使知识梳理更加直观和具体，也更容易促进学生理解和掌握.

例1 九年级下册的“二次函数复习课”

在本节课的导入阶段，教师出示问题：

写出一个形如y=ax2+bx+c的二次函数，画出它的图象，并说出它的性质.

教师根据学生所完成任务中的典型例子，概括梳理二次函数的图象和性质.

本例中的开放型问题，正是从学生提供的具体化的二次函数出发，学生可以看到自己举的例子，也可以与别人的例子进行比较，最后概括为二次项系数为正数和负数两类情况，这样的知识梳理直观具体，学生的参与性较强.

例2 九年级上册的“等可能条件下的概率复习课”

在本节课的导入阶段，教师出示问题：

（1）如何设计一个转盘，使得任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为[38]？

（2）请你再举出一些例子，它们发生的概率也为[38].

本例中的开放型问题，正是要求学生梳理等可能条件下概率为[38]的各种事件，回顾本章学习内容，进一步加深对概率知识的理解.本例也具有具体化的特点，学生的参与度也较强.

二、训练基本技能 强调个性化

数学复习课的教学要充分调动学生的学习主动性和积极性，要保证学生基本技能训练的数量与质量，这是培养数学能力的基础.利用开放型问题训练学生的技能，要因人而异，强调个性化，这也是开放性问题中不确定因素带来的有利条件.

例3 七年级下册的“因式分解复习课”

在本节课的例题教学阶段，教师出示问题：

请写出一个单项式，使得多项式4a2b2+1加上这个单项式后，能成为一个多项式的完全平方.

本例主要训练运用公式法进行因式分解的技能，由于4a2b2+1加上一个单项式后，可以成为一个多项式的完全平方，因此可以有多种情况：（4a2b2+1）+4ab=（2ab+1）2；（4a2b2+1）+（-4ab）=（2ab-1）2；（4a2b2+1）+4a4b4=（2a2b2+1）2.所以加上的单项式可以是4ab，-4ab， 4a4b4.

例4 九年级下册的“图形的相似复习课”

在本节课的例题教学阶段，教师出示问题：

如图1，10×10的正方形方格中，△ABC的三个顶点都在单位小正方形的顶点上.请在图中画出一个顶点都在小正方形頂点上的△DEF，使得△DEF∽△ABC，它们的相似比不为1，并请说明你这样画的理由.

作为开放型例题，本例中的△DEF的大小不确定，位置也不确定，都需要学生自己确定.因为AB=2，BC=2[2]，AC=2[5]，所以根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理，只要DE=4，EF=4[2]，DF=4[5]，就可以画出△DEF了，这里的相似比为2.当然，也可以画相似比为[2]，3等的相似三角形.另外，由于∠ABC=135°，本题还可以利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理求解.因此展示学生的不同画法，让全班学生一起说明理由，这样可以在体现个性化的基础上，训练学生判定相似三角形的方法和技能.

三、掌握思想方法 注重普适化

初中数学包含丰富的数学思想方法，掌握这些思想方法，不仅能够增进数学知识的理解，也能强化数学技能，还能培养学生举一反三、触类旁通的能力.利用开放型问题渗透数学思想方法，注重普适化，能够拓展学生思考问题的广度和深度，有效提高数学复习课的效益.

例5 七年级上册的“有理数的加法与减法复习课”

在本节课的例题教学阶段，教师出示问题：

（1）任意说出两个数，比较它们的和与0的大小；

（2）如果x，y是两个不等于0的有理数，请比较x+y与0的大小关系.

相对于0而言，每个学生说出的数以及x，y都是不确定的，它们可以是正数，也可以是负数，于是要分情况讨论：x，y都是正数；x，y都是负数；x与y两数符号相反，正数的绝对值大于负数的绝对值；x与y两数符号相反，正数的绝对值小于负数的绝对值；x与y是相反数.本例既能深化学生对有理数的认识，也能强化分类讨论思想方法的运用，这是学生学了负数以后的普适化要求.

例6 九年级下册的“初三总复习课——函数”

在本节课的综合训练阶段，教师出示问题：

写出三个不同的函数表达式，使它们的图象经过点M（-2，4），N（-4，2），简要说明解答过程.

本例中的函数，可以是二次函数、反比例函数、一次函数.如果要写的函数是一次函数或反比例函数，可以直接利用待定系数法求解；如果要写的函数是二次函数，一是可以将点M，N中的一个点作为这个函数图象的顶点，这个图象又过另一点，那么用待定系数法便可求得；二是可以设所求函数的图象再经过另外一点，也可以通过待定系数法求解.因此，本题求解的过程，是反复使用待定系数法的过程，本例可以使学生充分体会待定系数法的普适性的价值.

四、弥补薄弱环节 凸显立体化

数学复习课一般都重视学生数学学习中的遗漏点、易错点和盲点的补缺矫正，不管是全班学生的薄弱环节，还是个别学生存在的问题，都需要强化纠错，明晰道理.紧扣知识的易混点、易错点设计开放型复习问题，能够立体式展示这些薄弱环节，做到对症下药，有的放矢.

例7 八年级下册的“二次根式的复习课”

在本节课的小结阶段，教师出示问题：

举一个例子，说说二次根式运算中的常见错误.

根据学生举出的例子，包括本节课产生的，也包括以前学生做练习时的错误，教师选择其中的典型错误，师生一起讨论这些错误以及产生错误的原因.

这个问题不仅主体开放，如每个学生都有自己的问题；也有典型错误的开放，如每个人产生错误还不尽相同.这些错误案例需要学生总结提供，涵盖所有学生，因此具有立体化、全面性的特点.对每个学生而言，都能感悟这些典型错误，可以达到示错、纠错和防错的效果.

五、提升专项能力 力求延展化

提升学生的数学能力，是数学复习课的教学目标之一，也是它的重要使命.利用开放型问题，延展复习内容，使得学生在新情境、新方法、宽视域中提升分析问题和解决问题的能力，发展学生数学学科素养.

例8 七年级下册的“一元一次不等式复习课（二）”

在本节课的导入阶段，教师出示问题：

一元一次不等式是揭示现实世界数量关系的一个重要的数学模型，编拟一个用一元一次不等式解决的实际问题，并列出不等式求解.

教师选择学生编拟的典型问题，要求全班学生一起求解.

一般而言，应用问题复习教学中，都是教师给出具体问题，要求学生求解，本例却让学生提出问题，延展了教学内容，有利于培养学生的模型意识及应用意识.

例9 九年级下册的“圆复习课（二）”

在本节课的思维拓展阶段，教师出示问题：

如果两个圆只有一个交点，并且一个圆在另一个圆的外部，那么我们就称这两个圆外切，此时，这两个圆的圆心所连的线段长等于这两个圆的半径之和.过这两个圆交点的两圆的切线，叫作两圆的内公切线，其他的两圆的公切线叫作两圆的外公切线.

如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，CD为它们的内公切线，AB为它们的外公切线，且A，B为切点，CD与AB相交于点D.根据图中给出的已知条件及线段，写出三个正确结论，并说明理由.

这个开放型问题拓展了教学内容，丰富了探究素材.本例可以引导学生从线段关系、角的关系、三角形的关系等角度去考虑，并由此推出相关结论.这些结论包括：△ABC是直角三角形；AC2+BC2=AB2；∠BAC=∠CBO2；△O1AC∽△DBC；AB2=4O1C·O2C等.此类开放型问题能有效提高学生的探究能力和逻辑推理能力.

总之，在复习课教学中设计开放型问题，要与学生的认知水平适切相当，与复习课的目标合理匹配，與复习课的内容无缝对接，只有这样，才能最大限度发挥开放型问题在复习课教学中的作用和价值，从而为复习课有效教学服务，为学生的可持续发展服务.