基于修正翘曲位移函数的薄壁箱梁剪力滞效应分析

李夏元 万 水 陈建兵 Mo Yilung

(1东南大学交通学院， 南京210096)(2苏州科技大学土木工程学院， 苏州 215011)(3Department of Civil and Environmental Engineering, University of Houston, Houston 77004, USA)

薄壁箱形截面抗弯、抗扭性能良好，广泛应用于桥梁结构.近年来，随着公路交通需求的不断增加，箱型截面趋于采用腹板间距大、横向悬挑长的断面形式，箱形截面剪力滞后效应影响越来越显著[1].文献[2]指出，薄壁箱梁桥翼板横向裂缝的产生与未考虑剪力滞效应有关.欧洲也多次发生过因忽视剪力滞效应而引起的桥梁失稳或破坏事故.为此，国内外学者[3-9]对薄壁箱梁剪力滞效应进行了大量的试验研究和理论分析.Reissner[3]引入了纵向翘曲位移二次抛物线分布的假设，应用能量变分法给出了无伸臂轴对称矩形梁剪力滞效应的近似解.张元海等[6-7]通过弯曲剪力流分布规律论证二次抛物线是较为合理的剪力滞翘曲位移函数表达形式.钱寅泉等[8-9]使用余弦函数作为纵向翘曲位移的分布形态，应用能量变分原理构造了计入翼缘板宽度、翼缘板中面与形心距离变化影响及轴力平衡的翘曲位移函数.甘亚南等[10]研究了不同纵向翘曲位移函数表达式对剪力滞效应的影响，所选取的翘曲位移函数表达式没有充分考虑顶板悬臂板、顶板内侧翼缘板、底板纵向翘曲位移差函数的关系及内力平衡条件的影响，结论有待商榷.蔺鹏臻等[11]根据剪力流的分布规律，在顶板悬臂板和底板翘曲位移函数中引入修正系数，并考虑了翘曲正应力的平衡条件.Luo等[12-13]针对不同翼缘板建立互不影响的翘曲位移函数.然而，相关文献[8-9,11-13]中顶板悬臂板的翘曲位移修正系数均由顶板悬臂板宽度与腹板之间1/2顶板宽度的比值确定，未考虑腹板对顶板悬臂板的纵向约束作用.当箱梁悬臂板的悬臂长度等于腹板之间1/2顶板宽度时，顶板悬臂板的实际纵向应力明显小于顶板的纵向应力[11-12].为反映剪力滞效应下悬臂板纵向翘曲位移真实状态，张元海等[14]通过试算对顶板悬臂板引入了边界约束修正系数，但该修正系数仅针对特定模型得出，不具备普遍性.

综上所述，剪力滞翘曲位移函数不仅与剪力流的分布有关，而且受边界条件影响.本文以余弦函数作为剪力滞翘曲位移分布形态的描述，考虑剪力流分布对薄壁箱梁弯曲曲率和顶底板纵向翘曲位移差函数的影响，引入顶板悬臂板纵向翘曲位移差修正系数及内力平衡因子，利用能量变分法，建立薄壁箱梁剪力滞效应的微分方程，选取简支箱梁[15]和连续箱梁[13,16]进行算例验证分析.

1 纵向翘曲位移模式

单箱单室薄壁箱梁横截面几何参数及坐标轴的位置见图1.图中，b为箱型截面宽度；b1,b2分别为底板、顶板宽度的1/2；b3为顶板悬臂板宽度；h为顶板中面至底板中面的距离；h1，h2分别为底板中面、顶板中面至形心轴的距离.

图1 单箱单室薄壁箱梁横截面示意图

薄壁箱梁横截面顶、底板任意一点的纵向翘曲位移u(x,y,z)可表示为[3-5]

u(x,y,z)=u(x,y)+u(x,z)

(1)

u(x,z)=-φ(x)z

(2)

u(x,y)=Ui(x)f0(y)

(3)

1.1 纵向翘曲位移差函数与剪力流分布的关系

根据剪力滞的相关概念，翼缘板纵向翘曲位移差函数Ui(x)是由弯曲剪力流不均匀分布造成的，即纵向翘曲位移差函数与剪力流的分布有关.

薄壁箱形闭合截面任意位置的剪力流为[17]

(4)

式中，qn为开口箱形截面任意位置的剪力流；q(x)为虚设开口处的剪力流(见图2).

图2 弯曲剪力流分布

箱梁形心轴处腹板平均剪力流修正系数为

(5)

薄壁箱形截面任意两点的相对纵向翘曲位移差[17]为

(6)

式中，s1,s2分别为积分路径的起点与终点；tm为剪力流计算区间的翼缘板或腹板厚度.

由于薄壁箱形截面顶板内侧翼缘板和底板的纵向约束情况相似，底板纵向翘曲位移差函数与顶板纵向翘曲位移差函数的关系可表示成

(7)

式中，t1,t2分别为底板和顶板内侧翼缘板的厚度.

令U2(x)=U(x)，则

U1(x)=α1U(x)

(8)

式中，U(x)为基准剪切变形位移差函数；α1为底板纵向翘曲位移差函数的修正系数.

由内力平衡条件可知，薄壁箱形截面剪力滞效应产生的附加应力应满足轴力平衡条件，即

(9)

式中，σi(i=1,2,3)分别为底板、顶板内侧翼缘板和顶板悬臂板的纵向应力；Ai(i=1,2,3)分别为底板、顶板内侧翼缘板和顶板悬臂板的面积.

由式(9)可知，顶板悬臂板纵向翘曲位移差函数U3(x)与U(x)相关，令

U3(x)=α3U(x)

(10)

则

(11)

式中，α3为顶板悬臂板纵向翘曲位移差函数的修正系数.

1.2 内力平衡因子

由于图2所示的顶板悬臂板端部是自由的，剪力滞后效应产生的纵向翘曲位移差明显大于通过剪力流不均匀分布得到的剪切变形位移差.故有

(12)

当b3=b2=b1时，由式(11)可知，α3<1，而根据式(12)，α3>1，相互矛盾，故需要引入内力平衡因子D.式(3)可写成

u(x,y)=Ui(x)f0(y)+DU(x)

(13)

翘曲位移函数的修正项DU(x)会在腹板产生附加应力，则内力平衡方程(9)改写成

(14)

式中，E为弹性模量.

由式(14)可知，内力平衡因子D可表示成

(15)

当b3=b2=b1时，α3=α1能较好地反应顶板悬臂板在剪力滞效应下的纵向翘曲变形规律.

2 控制微分方程

薄壁箱形梁体系总势能Π表达式为

(16)

式中

式中，p为均布荷载;Iw为膜板惯性矩；Iy为截面惯性矩.

由能量变分原理[3-5]可知，当体系处于稳定平衡状态时，体系总势能Π取极值，总势能的一阶变分为零，即

δΠ=0

(17)

由式(17)可知，剪力滞效应的控制微分方程可表示成

(18)

a2U-a3U″-a4w″′=0

(19)

式(18)和(19)成立的必要条件为

(20)

通过对微分方程组(18)和(19)解耦，并令

可得基准剪切变形位移差值函数U(x)和挠曲变形w(x)的微分方程表达式

(21)

(22)

3 算例分析

为验证本文方法的正确性，分别选取单箱单室简支箱梁[15]与连续箱梁[13]算例进行分析.

3.1 简支箱梁

简支箱梁有机玻璃模型[15]如图3所示.集中荷载P=272.2 N，对称作用于跨中截面两侧腹板处，以消除箱形截面扭转、畸变及横向弯曲效应的影响[18].材料的弹性模量E=3 GPa，泊松比μ=0.385.根据圣维南原理，跨中截面顶板测点受局部效应影响明显，不宜作为分析对象；跨中截面底板测点远离集中荷载加载区域，可以作为分析对象.

按本文方法得到的跨中截面底板测点应力计算值、ABAQUS有限元计算值、文献[14]的计算值和文献[15]的实测值分别列于表1.

表1 简支箱梁底板测点应力分析 MPa

由表1可见，按本文方法得到的跨中截面底板测点应力值与文献[15]的实测值吻合较好，从而验证了本文分析方法的正确性.

图4给出了跨中集中荷载作用下按本文方法得到的单箱单室薄壁箱梁挠度沿梁跨方向分布的计算结果、ABQAQUS有限元计算结果以及初等梁理论得到的计算结果.由图可见，按照本文方法得到的挠度值与ABAQUS有限元值沿梁跨方向分布吻合较好，而采用初等梁理论得到的挠度与有限元结果偏差较大.取跨中位置的挠度分析，本文方法计算值与有限元计算值误差仅为1.31%，而初等梁理论计算值与有限元计算值误差达到26.65%，说明剪力滞效应使集中荷载作用下简支箱梁跨中挠度增加了25.34%.

图4 简支箱梁集中荷载下的挠度曲线

为进一步验证本文方法的适用性，基于文献[15]中的简支箱梁有机玻璃模型，沿梁长满跨布置均布荷载p=6 kN/m，对称作用于截面两侧腹板处.选取L/2，3L/8，L/4断面顶板中面和底板中面为分析对象，将本文分析方法和ABAQUS有限元法得到的纵向应力横向分布曲线绘制于图5和图6.由图可见，通过本文方法得到的均布荷载作用下单箱单室薄壁箱梁顶、底板中面纵向应力值与ABAQUS有限元计算值吻合较好.本文分析方法较好地解决了相关文献中顶板悬臂板应力偏大的情况，真实反映了顶板悬臂板的应力分布状态。

图7给出了均布荷载作用下基于本文方法得到的单箱单室薄壁箱梁挠度沿轴向分布的计算结果以及ABQAQUS有限元计算结果和初等梁理论计算结果. 由图可见，本文方法得到的挠度值与ABAQUS有限元值沿梁跨方向分布吻合较好，而采用初等梁理论得到的挠度分布与有限元结果偏差较大.对于跨中位置的挠度，本文方法计算值与有限元计算值误差仅为1.83%，而初等梁理论计算值与有限元计算值误差达到21.05%，说明剪力滞效应使均布荷载作用下简支箱梁跨中挠度增加了19.22%.

3.2 连续箱梁

两跨等截面连续箱梁模型[13,16]如图8所示.材料弹性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37.分2种工况进行加载：① 分别在跨中截面作用集中荷载P=20 N；② 满跨布置均布荷载p=0.2 kN/m.

(a) L/2断面

(b) 3L/8断面

(c) L/4 断面

(a) L/2断面

(b) 3L/8断面

(c) L/4断面

图7 简支箱梁均布荷载下挠度曲线

图8 横截面尺寸及计算点布置(单位：mm)

表2 两跨连续箱梁顶板与腹板交界处应力MPa

表2列出了2种荷载工况下文献[13]中连续箱梁跨中截面和中间支座截面顶板与腹板交界处的应力计算值、ANSYS计算值、文献[13,16]的实测值以及本文方法计算值.由表可知，采用本文方法计算得到的顶板和腹板处应力值与文献[13,16]提供的实测值、ANSYS计算值[13]吻合较好.

为进一步验证本文方法的正确性，以均布荷载作用下中跨截面测点应力作为分析对象(见图8)，将本文方法计算得到的应力值与文献[13-14,16]提供的应力值进行比较，结果见表3. 由表可见，本文方法较好地反映了均布荷载作用下跨中截面纵向应力的横向分布情况，与文献[13]提供的ANSYS有限元计算值吻合较好.

表3 两跨连续箱梁均布荷载作用下跨中截面应力 MPa

4 结论

1) 以单箱单室薄壁箱梁的弯曲理论为基础，基于弯曲剪力流的分布规律，确定顶、底板内侧翼缘板之间纵向翘曲位移差值函数Ui(x)的关系.根据内力平衡条件得出顶板悬臂板的纵向翘曲位移差函数与基准剪切变形位移差函数有关.

2) 通过剪力流分布规律确定的纵向翘曲位移函数不满足内力平衡条件，需要引入内力平衡因子D对纵向翘曲位移函数进行修正.当顶板悬臂板的宽度等于腹板之间顶板宽度1/2时，取α3=α1，能较好反应顶板悬臂板纵向翘曲变形状态.

3) 单箱单室简支箱梁和连续箱梁算例分析结果表明，通过本文方法得到的应力计算值与有限元值、实测值吻合较好，从而验证了本文方法的正确性及适用性，尤其改善了目前相关研究对顶板悬臂板应力分布预测偏大的情况.

4) 跨中集中荷载、满跨均布荷载作用下单箱单室简支箱梁挠度分析表明，考虑剪力滞效应的挠度计算值与有限元计算值吻合较好，跨中挠度最大误差分别为1.31%和1.83%，而未考虑剪力滞效应的初等梁理论计算值与有限元计算值偏差较大，跨中挠度最大误差分别为26.65%和21.05%.由此表明，剪力滞效应显著增加了箱梁挠度，工程中不容忽视.