基于凸优化提高MIMO-STAP检测性能的波形设计*

刘玉春，王洪雁

（1.周口师范学院机械与电气工程学院，河南 周口 466000；2.大连大学信息工程学院，辽宁 大连 116622）

0 引言

近些年来，收发器均采用多个天线单元的雷达系统已成为国内外雷达信号处理领域的研究热点，此即所谓的多输入多输出（Multi-Input Multi-Output，MIMO）雷达[1]。MIMO雷达可以利用发射单元发射任意波形，此即波形分集的概念[1]。根据收发器阵元间距，MIMO雷达可分为以下两类：分置MIMO雷达[2]以及共置 MIMO雷达[1]。前者基于收发间距较大的天线单元并发射设定波形以从不同角度观察感兴趣目标，从而改善系统目标检测性能。相应的，后者采用收发间距较小的天线单元以期从不同收发路径得到一致的目标雷达横截面积（Radar Cross Sections，RCS），从而利用波形，分集增大接收阵列的虚拟孔径[1]。由此，共置MIMO雷达相对于传统相控阵雷达而言具有明显优势，比如，更好的参数辨识性能[3]，以及更加灵活的波束方向图设计[4]。

作为新的宽带低截获手段，正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技术近年来受到越来越多关注[5]。OFDM雷达利用多个正交子载波并行检测目标，因而可有效克服由多径效应引起的频率选择性衰落，进而提高系统的抗干扰性能。

为改善MIMO雷达的检测性能，途径之一为设计检测器。非均匀杂波条件下，Wang Pu等人基于新的混合模型设计了恒虚警-最大似然检测器（Constant False Alarm Ratio Generalized Likelihood Test，CFAR-GRLT）[6]。另一条途径则通过设计发射波形。文献[7]提出一种新的迭代方法以联合优化发射波形以及接收滤波器系数，最大化输出信干噪比（Signal Inference Noise Ration，SINR），并最终提高系统的检测性能。文献[8]则基于互信息准则设计发射波形从而提高自适应分布式雷达的目标检测性能。

众所周知，空时自适应处理（Space Time Adaptive Processing，STAP）技术在杂波及干扰抑制方面具有巨大优势，因而可以显著提高地面慢速目标的检测性能。D.W.Bliss等人首次将STAP概念引入MIMO雷达系统[9]。基于椭球波形函数的概念，文献[10]提出了一种正交波形条件下的MIMO-STAP算法，和全域空时自适应方法相比，所提方法具有较小的算法复杂度，有利于工程实现。H.Wang等人则通过设计发射波形以最大化输出SINR，从而提高MIMO-STAP检测性能[11]。为舒缓MIMO-STAP检测性能对初始参数估计误差的敏感性，H.Wang等人考虑了稳健波形设计[12]。此外，文献[13]利用目标的稀疏特性以及干扰的谱分布对OFDM-STAP进行深入研究，从而改善地面慢速目标的检测性能。由上述讨论可知，STAP检测性能可通过综合利用OFDM以及MIMO的优势获得显著提高，文献[14]已针对此问题进行了初步研究。

本文考虑了MIMO-OFDM雷达系统的波形优化问题，以改善STAP对地面慢速目标的检测性能。业已证明，高斯噪声条件下，最大化输出SINR等价于最大化系统检测概率，因此，本文通过设计具有恒模约束的发射波形以最大化输出SINR，从而提高STAP检测性能。为求解所得复杂非线性问题，本文首先将非凸约束-恒模约束松弛为凸约束-低峰均比（Peak-to-Average-Rate，PAR）约束以减少计算复杂度，从而利于工程实现，而后提出一种新的基于对角加载（Diagonal Loading，DL）[15]的方法，以将此问题转化为半定规划问题（Semidefinite Programming，SDP）[16]，进而此问题可利用诸如最陡梯度下降法获得高效求解从而方便硬件实现。

1 问题描述

本文采用的MIMO雷达中收发阵列皆为线性分布阵列且平行。发收阵元数分别为M，N，且收发阵元间隔分别为dR，dT。目标相对于收发阵列具有相同观测角，且以速度vt向雷达系统移动。位于固定高度为h的雷达系统以恒定速度v平行于收发阵列移动。每个发射阵元发射一个OFDM子载波信号，且在每个相干处理间隔（CPI，Coherent Processing Interval）以固定重复周期（PRI，Pulse Repetition Interval）T发射L个脉冲。

基于上述，对于第n个收阵元，第l个PRI中接收信号可表示为：

设目标所在距离单元的反射杂波可建模为NC（NC＞＞NML）个杂波反射块的叠加，令，，则经过下变频，式（1）可表示如下：

对于第l个PRI，所有接收单元的接收数据可表示为：

匹配滤波器输出可重写为如下矢量：

基于式（5），全部L个空时快拍可表示如下：

将式（5）代入式（6），可得：

基于最小方差畸变（MVDR）准则[17]，最优输出SINR可表示为：

其中，

假设杂波与干扰加噪声项不相关[17]，则式（9）可重写如下：

根据文献[17]可知，ρi可假设为服从均值为0，方差为σi2的独立高斯分布。由此，式（10）可重写为：

将式（11）代入式（8）可得：

根据矩阵求逆定理[18]，式（12）可重新表示为：

将式（14）代入式（13）可得：

需要注意的是，在实际应用中，为了避免非线性效应带来的波形畸变，雷达发射机必须工作在饱和状态，从而发射波形须具有恒模形态。

基于上述讨论，在发射功率及恒模约束下，最大化MIMO-OFDM-STAP检测概率的波形优化问题可表述如下：

式中，Cm为第m个发射波形的幅度，第3项约束是由于每个发射阵元的发射功率须大于等于0[4]。

明显地，此波形优化问题包含了恒模约束，因而为 NP 问题[16]。同时，由于且，则为非定矩阵[18]。因此，优化问题式（16）的目标函数为关于am非常复杂的非线性函数。因而，此问题不容易利用诸如凸优化[16]等传统方法进行求解。另外，如果采用数值方法，比如梯度法，进行求解，则可能出现收敛问题。此问题难以求解对波形设计在实际工程中应用非常不利。

2 基于DL的波形设计方法

为求解非线性优化问题式（16），须先处理恒模约束。根据文献[4]，恒模约束可等价为低PAR约束，即：

根据式（17），优化问题式（16）可等价为：

比较式（20）及式（16）中的约束可知，通过将非凸约束-恒模约束松弛为凸约束-低峰均比约束，本文将复杂的非线性约束松弛为较为简单的凸约束以减少计算复杂度，从而利于工程实现。

利用矩阵求逆定理，可得：

将上式代入式（22），则

此问题等价于

式中，t为辅助优化变量。

根据如下定理，优化问题式（26）可表述为SDP问题。

定理（Schur补）[18]：设为厄米特矩阵且，则成立，当且仅当，为Z的Schur补。

基于上述定理，式（26）可转化为如下SDP问题：

式（27）可由文献[19]开发的CVX工具箱高效求解。需要注意的是，式（27）的求解可利用诸如最度梯度下降法获得最优解，且计算量较小，从而非常便于硬件实现。

3 仿真结果及分析

通过与文献[11]提出的MIMO-STAP方法以及非相关波形比较验证所提方法的有效性。本文中，所使用雷达为发射接收阵元数皆为3的机载雷达，且具有如下配置：发射接收阵列中相邻阵元间距皆为半波长，记为MIMO雷达A，发射阵列相邻阵元间距为1.5倍波长，接收阵列相邻阵元间距为半波长，记为MIMO雷达B。设置脉冲重复频率（PRF）使得杂波脊斜率β=2，PRF为T=1/4 000 s。载波频率为f0=3 GHz。每个CPI中发射脉冲个数为L=3，多普勒频率为fD=0.064 9。雷达平台高度为9 km，速度为v=200 m/s，目标斜距为12.728 km。阵列信噪比（ASNR）定义为PMN/σw2，取值范围为10dB～50dB，σw2为加性噪声的方差。具有单位幅度的感兴趣目标位于-4°，目标速度为vt=20.45 m/s。假设杂波块均匀分布于目标所在距离环，且杂噪比（CNR）取值范围为10 dB～50 dB。由于接收阵元个数的限制，本文假设场景中存在两个发射与MIMO雷达信号不相关的高斯信号的干扰源，分别位于15°以及-20°。

本文通过以下两种情况验证所提方法的有效性：确知参数下输出SINR随ASNR或CNR的变化，以及初始参数估计误差对输出SINR的影响。

3.1 确知参数下输出SINR随ASNR或CNR的变化

首先所提方法可以得到ASNR=CNR=30 dB条件最优发射波束方向图，如图1所示。由图可知，所提方法在目标所在位置有最大的增益，这说明雷达发射功率集中于感兴趣目标，因而可提高输出SINR，从而改善MIMO雷达的检测性能。此外，可以看到图1（b）中存在栅瓣，这是由于MIMO雷达B的稀疏发射阵列所致。

所提方法，MIMO-STAP方法以及非相关波形得到的输出SINR与ASNR或CNR的关系如图2所示。明显地，所得的3个输出SINR皆随ASNR增加而增加，随CNR增加而减少。并且，相较于MIMO-STAP方法以及非相关波形，所提方法可显著提高输出SINR，这是由于所提方法综合利用MIMO的空域分集以及OFDM频域分集的优势，而文献[11]所提的MIMO-STAP方法仅仅利用MIMO的空域分集。此外，比较图 2中的（a）和（b）或（c）和（d），可知MIMO雷达B得到的输出SINR要优于MIMO雷达A，这是由于前者形成的虚拟阵列长度大于后者。

3.2 初始参数估计误差对输出SINR的影响

ASNR=30 dB及CNR=30 dB条件下，所提方法得到的输出SINR与初始角度或归一化多普勒频率估计误差关系如图3所示（其余参数设置与上述仿真相同）。由图3可知，输出SINR随初始参数估计误差变化非常明显，此现象表明所提方法对初始参数估计误差比较敏感。换言之，实际应用中所用参数从接收数据估计得到时，所提方法性能会下降。因此，减缓这种敏感性的稳健波形设计将在未来研究中加以重点关注。

4 结论

本文研究了复杂环境下提高STAP地面慢速目标检测性能的MIMO-OFDM雷达波形优化问题。基于最大化输出SINR准则，本文首先推导了改善STAP检测性能且具有恒模约束的波形优化问题的数学表达。为求解得到的复杂非线性问题，本文首先将恒模非凸约束松弛为低峰均比凸约束，从而降低了运算复杂度，利于波形设计的工程应用。而后提出了一种新的基于DL的方法，此方法可将非线性问题转化为SDP问题，因而可以通过诸如最度梯度下降法获得高效求解，从而利于硬件实现。数值仿真表明，相较于MIMO-STAP方法以及非相关波形，所提方法可显著提高输出SINR，因而可明显改善STAP检测性能。需要注意的是，所需参数需从接收数据中估计时，所提方法性能可能会下降。克服性能下降的路径之一是开发稳健波形设计方法。此问题在以后研究中会加以重点关注。