角平分线的故事

徐建耀

角平分线是初中几何教学中一条重要的射线，对于刚刚进入初中学习的七年级同学是个难点，由于刚刚接触平面几何内容，对和角平分线有关的角度计算、表达或者由角平分线构成的图形的观察分析产生了一定的障碍，最近笔者进行七年级上册期末复习时经常性碰到有关角平分线的习题，学生或是无从下手或是做而不全，尤其是用字母来表示某个角度时感觉非常棘手，为此我整理了以下习题串，让学生通过习题串的专题练习来突破這个难点，更加看清楚问题的本质，从而对这类问题有较为深刻的认识。

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线

一、一条角平分线

（嘉兴）已知∠ABC=500，在∠ABC的外侧作∠CBD，BE平分∠ABD设∠CBD=m0，（00

（1）用含m的代数式表示∠EBD的度数；

（2）当m=800时，∠EBD的度数；

（3）当射线BC与BE的夹角为20度时，求m的值

解：（1）∠EBD= ∠ABD= （m+500 ）

分析：让学生学会用字母表示角度的能力，实际上是角平分线的定义与代数式的知识内容的相结合。

二、两条角平分线

2.（磐安）已知∠AOB=90°，∠BOC=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。

（1）求∠MON的度数；

（2）当∠BOC改变大小，请问∠MON度数也会改变吗？请说明理由；

（3）当∠AOB=a，∠BOC=β，请直接写出∠MON的大小。

解：（1）∠MON=∠MOC-∠NOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）

= ∠AOB=450

（2）∠MON=∠MOC-∠NOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）

= ∠AOB，所以当∠BOC改变大小，∠MON度数不会改变。

（3）由第二题得：∠MON= ∠AOB== a

（4）当∠AOB=a，∠BOC=β，请直接写出∠MON的大小。

解：∠MON=∠AOM-∠AON= ∠AOC- ∠AOB= （∠AOC-∠AOB）

= ∠BOC= β

射线OM是大角∠AOC的角平分线，当射线ON是小角∠BOC∠MON= ∠AOB== a；当射线ON是小角∠AOB的角平分线时，∠MON= ∠BOC= β也就是说，∠MON的大小是受角平分线ON的位置的影响即——大角和其中的一个小角的平分线形成的夹角等于剩下没有画角平分线这个小角度数的一半。同样的，线段中的也有类似的数量关系，如图：线段AB上有任意一点C把线段AB分成两段AC、CB，再作点E，F分别是线段AB和线段AC的中点，则线段EF=AF-AC= AB- AC= （AB-AC）= BC，若点E，F分别是线段AB，线段BC的中点，则EF= AC，故可以得到类似结论，一条线段被任意一点分成两条线段，则所得两条线段中任意一条线段的中点与整条线段中点之间的线段长等于剩下没有取中点的这条线段长的一半。

通过习题串教学，变式教学，让同一个知识点以不同问题的形式出现，让学生看清问题的本质，触类旁通，达到做一题会一片的效果，从而降低学生低效的重复练习，提高教育教学质量。