浅谈立体几何中的作图

（吉安市教研室 江西吉安 343000）

立体几何是高中数学中一个重要的组成部分，在高考试卷中的分值也很高，整体难度不会太大，但是对于空间思维相对较弱的学生来说，这就是一个无法逾越的难题，怎么提高学生的空间思维---——学会作图，一般的作图学生能听懂，但是他们只是知其然而不知其所以然，他们不知道作图的理论依据是什么，下面就从几个案例中来探索立体几何中的一些作图的依据，希望在增加对立体几何概念的理解、提高空间思维能力方面起抛砖引玉的作用。

类型一 利用公理和定理作截面图

例1．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E, F, G 分别在AB, BC, DD1上，作过E, F, G三点的截面

分析：设过E, F, G 三点的截面为α根据公理2可知，

两平面相交成一交线，而且确定一条直线只需两个点，E, F∈平面ABCD ，连接E, F使得EF∩AD=P, EF∩CD=M

所以P, G 是平面ADD1A1与平面α的公共点，连接PG, PG∩AA1=Q 同理M, G 是平面CDD1C1与平面α的公共点，连接MG, MG∩AA1=N 连接QE, CN 所以截面为五边形EFNGQ

类型二 利用直线与平面平行的性质定理作平行线

例2．如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点，求证：AP∥平面BEF；

分析：要证明AP∥平面BEF，只需证明AP平行平面BEF上的一条直线，证明之前要作出这条直线，怎么作出的直线就一定平行呢？根据直线与平面平行的性质定理（一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行）可知，只需过AP作一平面与平面BEF相交，则AP就一定会平行这条交线，所以只需连接AC交BE于点O，连接OF即可．

证明 连接EC，

∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．

又∵F是PC的中点，

∴AP∥平面BEF．

类型三 利用平面与平面垂直作平面的垂线

例3．已知三棱锥A－BCD中，AB=BC=BC=BD=CD＝2，AD＝1，则D与平面ABC的距离为。

分析：要用传统方法来解决这个问题，就必须准确地作出点D到平面ABC的垂线，当垂足在平面内部时，怎么作呢？可以根据平面与平面垂直的性质定理（如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），首先过点D作一平面垂直于平面ABC，然后过点D作交线的垂线，则垂线的长即是我们要找的点D到平面ABC的距离。

解：作BC的中点E，连接AE，DE，过点D作AE的垂线，垂足是点O。

通过上述案例我们可以发现，如果能快速、准确地作出需要的辅助线，那么就可以很简便的利用传统方法解决立体几何问题，而且计算量很小，同时也无形中增强了空间思维能力，切实提高解决立体几何问题的能力。