2018年全国课标卷命题特点分析与备考建议

2018-10-12广东省广州市教育研究院510030曾辛金

中学数学研究(广东) 2018年17期

广东省广州市教育研究院(510030) 曾辛金

2018年全国高考数学命题的主要依据是《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)、《普通高等学校招生全国统一考试大纲—数学(文、理科)》(以下简称《考试大纲》)和《普通高等学校招生全国统一考试(课标卷)考试大纲的说明—数学(文、理科)》(以下简称《考试说明》).2018年全国高考数学课标卷试题围绕为什么考—“立德树人、服务选拔、导向教学”,考什么—“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”和怎么考—“基础性、综合性、应用性、创新性”精心打造,为高中数学教学指明了方向.

2018年全国高考数学课标卷文理科试题整体难度与往年全国卷比较有所降低,填空题难度降低较为明显,解答题的门槛也低于往年.以下通过对2018年全国课标卷命题特点的分析,提出几点备考建议,不当之处,敬请斧正.

一、2018年全国高考数学课标卷知识点分布

从表1、表2可以看出:

(1)2018年全国高考数学课标卷文理科在客观题中必考的有集合、函数的图像和性质、立体几何初步、概率、平面向量、线性规划、复数、圆锥曲线和方程、函数与导数等;没有单独考查常用逻辑用语、推理与证明;

(2)有些往年常考的知识点在2018年发生了变化,如只有II卷考了算法初步,但II卷没考三视图,这应该是为新一轮高考改革作铺垫.

表1:2018年全国高考数学课标卷(文科)试题考查知识点分布表

表2:2018年全国高考数学课标卷(理科)试题考查知识点分布表

(3)2018年全国高考数学课标卷文理科相同的题目明显增多,除了两道选做题文理科内容与要求完全相同外,I卷文理科相同的题目有6道,II卷文理科相同的题目有10道,且文理科第9题均为长方体中求异面直线所成角的三角函数值,文理科第10题三角函数的图像与性质几乎相同,文理科第13题都是求自然对数函数在某点的切线问题,文理科第16题圆锥中的运算从题设到解法基本相同,立体几何解答题的题干与第(1)问相同,III卷文理科相同的题目有11道,且立体几何解答题的题干与第(1)问相同,解析几何只是问法稍微不同,为新一轮高考数学不分文理科的改革进行了积极的探索.

二、2018年全国高考数学课标卷知识点考查与试题分析

1.集合

(1)考点考查概况

说明集合是中学数学的基本概念,也是现代数学的基本语言,是高频考查的知识点之一,主要考查集合的基本概念、元素与集合间的关系以及集合的简单运算,文科侧重考查数集的运算,理科侧重考查与不等式有关的集合运算.

(2)试题呈现分析

II卷理科第2题已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()

A.9 B.8 C.5 D.4

分析本题主要考查集合与元素的关系,点与圆的位置关系,考查学生对概念的理解与识别.根据枚举法,可以确定圆及其内部整点个数,选A.

2.复数

(1)考点考查概况

说明复数是中学数学的重要内容,是解决数学问题的重要工具,是高考数学的高频考点,复数题主要以选择题形式出现,主要考查复数的基本概念以及复数的运算.

(2)试题呈现分析

I卷文科第2题理科第1题设则|z|=()

分析本题主要考查复数的四则运算以及复数模的概念与求解.利用复数的除法及加法运算法则化简得到z=i,根据复数模的公式,得到|z|=1.选C.

3.算法

(1)考点考查概况

说明算法是课程标准的新增知识点,算法题均以选择题形式出现,主要考查程序框图的三种基本逻辑结构(顺序、条件分支、循环)以及基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句),算法试题主要考查考生的阅读理解能力,是得分较高的考题之一.

(2)试题呈现分析

II卷文科第8题理科第7题为计算设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入( )

A.i=i+1 B.i=i+2

C.i=i+3 D.i=i+4

图1

分析本题主要考查流程图的循环结构,考查数列的求和.根据程序框图可知先分别对奇数项累加,偶数项累加,再两个和式相减.因此在空白框中应填入i=i+2,选B.

4.平面向量

(1)考点考查概况

说明向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.平面向量是高考数学常考的内容之一,主要考查平面向量的模、平面向量的数量积及其运算等.由于平面向量是代数与几何的有机结合体,所以数形结合是解决平面向量的有效方法.

(2)试题呈现分析

I卷文科第7题理科第6题在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则

分析本题主要考查平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题.既可以利用向量的分解与合成(即三角形法则)求解,也可以利用数形结合的方法直观得到答案.选A.

5.线性规划

(1)考点考查概况

说明线性规划问题主要是能准确画出二次一次不等式组表示的平面区域,并根据平面区域确定目标函数的最优解,一般难度不大.

(2)试题呈现分析

分析本题主要考查线性规划的问题,在求解的过程中,首先要正确画出约束条件满足的可行域,再根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值.填6.

6.计数原理

(1)考点考查概况

说明计数原理是数学中的重要研究对象之一,基本计数原理是解决计数问题最基本、最重要的方法,为人们解决很多实际问题提供了思想和工具.因此,计数原理是高考数学中考查实际应用能力的一个重要载体.在高考中主要考查使用二项式定理解决二项式系数、项的系数以及简单的实际应用问题.

(2)试题呈现分析

III卷理科第5题的展开式中x4的系数为( )

A.10 B.20 C.40 D.80

分析本题主要考查二项式定理,考查利用二项式系数公式求解项的系数,属于基础题.选C.

7.三角

(1)考点考查概况

说明三角包括三角函数、三角恒等变换和解三角形等三部分内容.高考对这部分内容是作为一个整体来考虑的,高考中三角试题一般为3道小题或1道小题目1道大题,小题主要考查三角函数的性质与同角三角函数的关系,大题主要考查解三角形中的问题,且为解答题的第一题,基本属于中等偏易题.

(2)试题呈现分析

III卷理科第15题函数在 [0,π]的零点个数为____.

分析本题主要考查三角函数的性质和函数的零点,属于基础题.既可以先确定的范围,再考虑在这个范围内使余弦值为0的个数;也可以先得到的通解,再考虑在[0,π]上的零点个数.填3.

II卷理科第15题已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则 sin(α+β)=____.

分析本题主要考查三角中的基本运算,既可以根据已知条件分别求出sinα与cosβ的值,再代入计算得到结果;也可以利用整体思想,直接将已知两式两边平方后相加得到结果.填

I卷理科第17题在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=求BC.

分析本题主要考查解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理.第(1)问利用正弦定理与同角三角函数的关系式可以求得结果,但要结合角的范围,判断三角函数值的符号;第(2)问需要利用第(1)问的结论,再根据余弦定理即可求解.

8.数列

(1)考点考查概况

说明数列专题包括数列、推理与证明等内容.在近几年的高考试题中,数列部分仍是考查的重点之一,高考中数列题一般为2—3道小题或1道大题,小题主要考查等差数列、等比数列的性质,大题主要考查等差数列、等比数列的通项与前n项和公式及简单的递推关系(主要是Sn与an的关系)等问题,难度不大.

(2)试题呈现分析

I卷理科第14题记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=____.

分析本题主要考查数列{an}的求和问题,在求解的过程中,需要先利用题中的递推关系,求出首项,并得到数列是一个等比数列,最后应用等比数列的求和公式求解即可;由于本题的项数较少,也可以直接利用递推关系得到前6项,直接相加得到结果.填-63.

I卷文科第17题已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设

(1)求b1,b2,b3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求{an}的通项公式.

分析本题主要考查数列的问题,涉及到的知识点有递推关系,等比数列的概念等基础知识.第(1)问直接根据数列的递推公式确定数列的项;第(2)问利用递推关系和等比数列的概念证明数列{bn}是等比数列;第(3)问根据等比数列通项公式求得数列{bn}的通项公式,借助于{bn}的通项公式求得数列{an}的通项公式.

答案:(1)b1=1,b2=2,b3=4;(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列;(3)an=n·2n-1.

9.立体几何

(1)考点考查概况

说明立体几何包括立体几何初步和空间中的向量与立体几何(理科)等内容.立体几何部分侧重考查空间概念、推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.立体几何题一般为2小1大,文理科在立体几何的要求上有所不同,文科主要考查线面位置关系,面积与体积的计算.理科重点考查用空间向量求角的问题,证明线面间的平行与垂直关系等问题.

(2)试题呈现分析

III卷文理第3题中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

图2

分析本题主要考查空间几何体的三视图,把中国传统文化与三视图紧密结合在一起,主要考查学生的空间想象能力,属于基础题.观察图形可知选A.

II卷理科第16题已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB,所成角的余弦值为SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为则该圆锥的侧面积为____.

分析本题主要考查圆锥中的有关计算,涉及到的知识点主要有线面角,圆锥的侧面积,三角形面积等,考查学生空间想象能力与运算求解能力.先根据三角形面积公式可以求出圆锥的母线长,再根据圆锥母线与底面所成角可求得圆锥的底面半径,最后根据圆锥侧面积公式求得结果.填

I卷文科第18题在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.

图3

(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)Q为线段上一点,P为线段BC上一点,且BP=求三棱锥Q-ABP的体积.

分析本题主要考查立体几何中的折叠问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定定理以及三棱锥的体积的求解.第(1)问证明的逻辑思路是“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”,找到相关的线线垂直是基础;第(2)问根据已知条件,求得相关的线段长度,再由第(1)问垂直的相关条件,求得三棱锥的高,最后求得三棱锥的体积.

答案:(1)略;(2)VQ-ABP=1.

III卷理科第19题如图,边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.

图4

(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

分析本题主要考查立体几何中的线面位置关系与二面角的计算,涉及到的知识点有面面垂直的判定定理、三棱锥的体积,二面角的平面角等.第(1)问证明的逻辑思路是“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”,找到相关的线线垂直是基础;第(2)问主要考查建立空间直角坐标系,利用空间向量求出二面角的平面角,考查数形结合,将几何问题转化为代数问题进行求解,考查学生的运算求解能力和空间想象能力,属于中档题.

10.概率与统计

(1)考点考查概况

说明概率与统计包括统计、概率、统计案例等内容.概率与统计内容是中学数学的重要知识,也是新课改后高考常考常新的内容之一,在应用题的考查方面,它基本上取代了传统的数学应用题,与高等数学联系非常密切,是进一步学习高等数学的基础,也是高考数学命题的热点内容.概率与统计一般为2—3道题,小题主要考查古典概型与抽样方法等,大题更注重应用性,且与函数的联系较紧密,考查随机事件的分布列与数学期望较为频繁,统计案例也是高考的常考知识点.

(2)试题呈现分析

II卷理科第8题我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )

分析本题主要考查古典概型中基本事件数的探求方法,以我国数学家陈景润的研究成果为背景,目的是弘扬中华优秀传统文化.解答本题关键要理解素数的概念,一般用列举法即可.选C.

I卷文科第19题某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:

(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;

(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)

分析本题主要考查统计中的相关问题,涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制,利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率,利用频率分布直方图求平均数等.第(1)问根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,算出落在相应区间上的频率,借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率,从而确定出对应矩形的高,从而得到直方图;第(2)问结合直方图,算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和,即为所求的频率;第(3)问根据各组的中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值,作差乘以365天得到一年能节约用水多少m3,从而求得结果.

答案:(1)略;(2)0.48;(3)47.45m3.

II卷文理第18题下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,···,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量y的值依次为1,2,···,7)建立模型②:=99+17.5t.

(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

分析本题主要考查线性回归方程问题,涉及的知识点主要有线性回归方程的简单运算和问题决策.第(1)问直接将数值代入已知的两个模型中即可得到两个预测值;第(2)问需要根据折线图的趋势作出正确判断.本题思维难度不大,运算量也较小.

答案:(1)利用模型①预测值为226.1,利用模型②预测值为256.5,(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

III卷文理第18题某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

(3)根据(2)中的列表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:

分析本题主要考查了茎叶图和独立性检验,重点考查学生的计算能力和分析问题的能力,贴近生活.第(1)问计算两种生产方式的平均时间即可;第(2)问先计算出中位数,再由茎叶图数据完成列联表;第(3)问先根据公式计算出K2,再与6.635比较可得结果.

答案:(1)第二种生产方式的效率更高;(2)80;(3)能.

11.解析几何

(1)考点考查概况

说明解析几何包括平面解析几何初步、圆锥曲线与方程等两部分内容.平面解析几何侧重于形象思维、推理运算和数形结合,综合了代数、三角、几何、向量等知识,所涉及的知识点较多,对解题能力考查的层次要求较高.基于“多考一点思维,少考一点运算”的命题理念,近几年全国课标卷在解析几何解答题中加大了思维能力的考查,减少了对复杂运算的考查.高考中解析几何题一般为2小1大,小题主要考查圆锥曲线中的基本概念与性质,大题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,属于难度较大的试题.

(2)试题呈现分析

I卷理科第19题设椭圆的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

分析本题主要考查直线与椭圆的位置关系,涉及到的知识点有直线方程的两点式,直线与椭圆相交的综合问题,角与斜率的关系等.第(1)问求直线方程的时候,要注意点A的不同位置;第(2)问先要证明在特殊情况下两个角相等,再证明在一般情况下两个角相等,重点是要善于将角相等的问题转化为斜率之间的关系来处理.

II卷文科第20题理科第19题设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

分析本题主要考查直线与抛物线的位置关系,圆的方程,涉及的知识点主要有直线方程,直线与抛物线相交的弦长,圆的方程等.第(1)问联立直线与抛物线方程,消元后利用韦达定理与弦长公式(或利用定义)求解;第(2)问利用(1)的结果求出AB的中垂线方程,得到圆心坐标的关系,再根据圆心到抛物线准线的距离等于半径得等量关系,解相关方程组可求得圆心与圆的半径,得到所求圆的方程.

答案:(1)直线l的方程为y=x-1;(2)圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

III卷文科第20题已知斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m＞0).

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且证明:

分析本题主要考查直线与椭圆的位置关系,涉及的知识点主要有直线方程,线段的长,椭圆中的相关元素等.第(1)问一般联立直线与椭圆方程,消元后利用韦达定理和中点坐标公式可以证得结论,本题若利用点差法,通过设而不求可减少运算量;第(2)问先利用向量关系求出点P的坐标,进而求出m的值,再利用两点间距离公式分别求出的表达式,根据整体的思想证得结论成立.

答案:(1)略;(2)略.

12.函数与导数

(1)考点考查概况

说明函数与导数包括函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)、导数及其应用等两部分内容.函数与导数是高中阶段数学中重要的基础知识,是高考考查的重中之重,涉及函数与导数的问题已成为经久不衰的热点,常考常新.考题既有选择题和填空题,又有解答题,难度既有容易题、中档题,也有压轴的难题.函数与导数一般为3—4道题,小题主要考查函数的性质,函数值(分段函数)的计算,导数的基本概念等;大题主要考查导数的几何意义,函数的零点问题,且常与不等式等知识融合在一起,思维要求很高,属于难题.

(2)试题呈现分析

II卷文理第3题函数的图象大致为( )

分析本题主要考查函数的图像与性质,解答这类问题一般要结合图像综合运用函数的性质,常常会用到解答选择题的特殊方法,如特例法、排除法等等.如根据f(-1)＜0,可以排除A,D.再利用求导,判断函数的单调性,确定答案.选B.

I卷文科第21题已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点.求a,并求f(x)的单调区间;

分析本题主要考查导数的综合运用,考查逻辑推理能力、运算求解能力以及放缩的数学思想,涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题等.第(1)问先确定函数的定义域,对函数求导,利用f′(2)=0,求得a值,则函数的解析式确定,根据导函数并结合极值点的位置,从而求得函数的单调区间;第(2)问先根据将参数a放缩,得到再构造新函数只要证明g(x)≥0,利用不等式的传递性,即可证得结果.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:

分析本题主要考查函数的综合问题,考查考生抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及等价转化的思想,涉及到的知识点有导数与单调性、极值、不等式等.第(1)问先确定函数的定义域,对函数求导后对a进行分类讨论,从而确定导数在相应区间上的符号,最后得到函数对应的单调区间;第(2)问首先要将所证不等式进行等价转化,然后根据f(x)存在两个极值点,结合第(1)问的结论,可以确定a＞2,并将双变量问题转化为单变量问题,通过构造新的函数,利用函数的单调性证得结果.

答案:(1)当a≤2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,当a＞2时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增;(2)略.

III卷理科第21题已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,证明:当-1＜x＜0时,f(x)＜0;当x＞0时,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

分析本题主要考查函数与导数的综合应用,考查考生抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及等价转化的思想,涉及到的知识点有导数与单调性、极值等.第(1)问属于常规问题,利用函数的单调性求出最值,即可证明不等式;第(2)问分类讨论,当a≥0时,结合(1)的结论,可知与已知条件矛盾,当a＜0时,通过构造函数通过讨论g(x)的性质解答,本题构造g(x)的目的是减少运算量,思维能力要求较高,难度较大.

13.极坐标与参数方程

(1)考点考查概况

说明极坐标与参数方程包括极坐标和参数方程的基本概念,曲线的多种表现形式.极坐标与参数方程是两道“选考题”中的第一题,且文理试题相同,每年的试题都是2个小问,主要考查直线与圆锥曲线(重点是圆与椭圆)的参数方程形式,极坐标与直角坐标的互化,考查数形结合的思想、坐标系思想和参数方程思想,主要考查参数方程,当涉及到极坐标问题时,则主要考查极坐标与直角坐标的互化.

(2)试题呈现分析

I卷文理第22题在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为:y=k|x|+2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

分析本题主要考查坐标系与参数方程的相关问题,涉及到的知识点主要有平面直角坐标方程与极坐标方程的互化,平面直角坐标方程的转化,直线与曲线相交问题等,考查抽象概括能力、运算求解能力以及分类讨论的思想、数形结合的思想.第(1)问只要运用互化公式直接将极坐标方程化为直角坐标方程,属于送分题;第(2)问根据第(1)问的结论可以断定曲线C2是圆心为(-1,0),半径为2的圆,而C1是过点(0,2)且关于y轴对称的两条射线,通过分析图形的特征,结合直线与圆的位置关系,可以得到两条曲线有三个公共点时k所满足的关系式,从而求得结果.

答案:(1)(x+1)2+y2=4;(2)

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

分析本题主要考查直线的参数方程的标准形式的应用,涉及的知识点主要有直线与椭圆的参数方程,参数方程与直角坐标方程的互化,直线与椭圆相交等,考查运算求解能力等.第(1)问直接将直线与椭圆的方程化为直角坐标方程,但要注意分类讨论;第(2)问既可以利用第(1)问的结果直接联立方程,在直角坐标系下解答,也可以将直线l参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,根据直线参数t的几何意义解答.

答案:(1)C的方程为l的方程为x=1或y=xtanα+2-tanα;(2)l的斜率为-2.

14.不等式选讲

(1)考点考查概况

I卷文理第23题已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)＞1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立,求a的取值范围.

分析本题主要考查绝对值不等式的解法,以及含参的绝对值的式子在给定区间上恒成立求参数的取值范围的问题,考查运算求解能力和等价转化思想、分类讨论思想等.第(1)问将a=1代入函数解析式得f(x)=|x+1|-|x-1|,利用零点分段得到分段函数,再分情况讨论求得不等式的解集;第(2)问根据题中所给的x∈(0,1),可以去掉其中一个绝对值符号,将不等式f(x)＞x转化为|ax-1|＜1在(0,1)上恒成立,分类讨论即可求得结果.

III卷文理第23题设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图像;

(2)当x∈[0,+∞),f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

分析本题主要考查函数图像的画法,已知不等式成立求参数的取值范围,考查抽象概括能力与分类讨论思想、等价转化思想等.第(1)问将函数写成分段函数,再画出在各自定义域的图像即可;第(2)问根据第(1)问的图像,结合y=f(x)与y=ax+b在[0,+∞)上满足的图像特征,可以得到a≥3且b≥2,进而得到a+b的最小值.

答案:(1)略;(2)5.

三、高考数学备考建议

高考数学备考没有统一的标准模式,每个学校都有基于学生自身水平的备考措施,广州市一直坚持“抓基础、抓重点、抓落实”的备考策略,“抓基础”与“抓重点”对于一般老师来说都能把握到位,但要做到“抓落实”未必能得心应手,由此我们提出了“抓落实”的十六字方略:精选材料、分层教学、有效训练、及时反馈,以下仅“十六字方略”提几点粗浅建议,仅供参考.

1.精选材料,突出重点

训练材料的选取是高考复习的重要一环,材料选得好,可以起到事半功倍的作用.建议选用以下材料进行训练:

(1)教材上的经典试题:高考数学命题的原则是“源于教材、高于教材、但不拘泥于教材”,因此教材上的典型试题是高考命题专家的首选素材.在复习时,要充分挖掘教材例、习题的功能,深刻理解教材实质,挖掘教材内涵,利于课本辐射整体,实现“由内到外”的突破.在每年的高考数学试卷中都有部分试题源于教材,高于教材,特别是选择题与填空题,绝大多数是教材上的例、习题改编的,在解答题中也不乏有教材上试题的影子(或直接用教材上的定理或公式).如2016年全国课标I卷文理科第16题线性规划的利润最大问题,与人教A版教材必修5第91页练习2基本相同;2016年全国I卷理科第17题解三角形中镶嵌了任意三角形中的“射影定理”(也称第一余弦定理),而这一定理在人教A版教材必修5第18页练习3已经证明.

(2)历年全国高考数学课标卷和部分自主命题高考数学试题:高考题是高考要求的具体体现,它既反映了高考的范围、重点,又展示了题型、特点,是高三教学的“无形指挥棒”,所以我们应选用历届高考题中的典型题目作为例题进行复习教学,引导学生分析,使学生经常将复习数学基础知识与解答高考题挂起钩来,真正做到着眼于高考.如2018年全国高考数学课标I卷理科第21题源于2011年湖南卷文科第22题.

(3)历年全国各地的高考数学模拟试题:特别要注意省内各地、市模拟题的特点,模拟题毕竟代表本地区骨干教师的集体智慧,具有较好的参考价值.如2018年全国高考数学课标I卷文科第21题源于2016年广州市“一模”文科第21题.

在选取材料时,要有一定量的非常规题,在选择题与填空题中要有部分陷阱题.

另外,数学有其复习的特殊性,要求每天都有一定的训练量,每周至少要做一套完整的模拟卷.训练要有针对性,必须精选精练,杜绝见题就印的不良习惯.

2.分层教学,关注差异

“分层教学”实际上是一种课堂教学的策略,“分层教学”包括对学生学习特点的分层与课堂教学中对学生学习要求的分层:

(1)对学生学习特点的分层.

对学生学习特点的分层就是教师通过调查和观察,掌握班级内每个学生的学习状况、知识水平、特长爱好及社会环境,教师根据学生现有的知识、能力水平和潜力倾向把学生科学地分成几组各自水平相近的群体并区别对待,这些群体在教师恰当的分层策略和相互作用中得到最好的发展和提高.

(2)对学生学习要求的分层.

对学生学习要求的分层首先体现在课堂教学上,一方面要按照教学目标、面向全体学生完成课堂教学的任务,另一方面既要兼顾优等生“吃饱”,又要照顾后进生“吃好”,真正达到“使不同的学生在数学上得到不同的发展”的课程理念.

由于参加高考的考生的层次不同,高考数学试题也基本按照考生的不同层次进行命题,因此在教学中应按照学生的实际能力组织真正有针对性的教学,既不能随意降低要求而无法对接高考,也不能盲目拔高要求而加重学生负担,以致偏离了高考数学备考的轨道.

3.有效训练,强化规范

高考数学的本质其实就是解题,因此高考数学备考的重要任务就是要通过有效训练提高学生的解题能力.对不同难度的试题要有针对性地训练,以达到满意的效果,可以从以下几个方面着手:

(1)容易题争取不丢分—规范表述少跳步.

加强表述的规范性,准确运用数学语言,尽量做到容易题不丢分,其中解答题中出现的“跳步”现象是较为普遍存在的丢分原因之一.

(2)中等题争取少丢分—得分点不能省.

容易题和中档题是试卷的主要构成,是考生得分的主要来源,是高校录取的主要依据,是进一步解高难题的基础.要确保基础分、拿下力争分、不丢零碎分.

(3)难题争取多拿分—知道一点写一点.

一道高考题做不出来,不等于一点想法都没有,不等于所涉及的知识一片空白.尚未成功不等于彻底失败,应尽量将自己知道的写出来.例如,涉及到直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般只要联立直线与圆锥曲线方程,消去一个未知数(如y),然后写出这个一元二次方程(假如二次项系数不为零,否则要讨论)的判别式和根与系数的关系,哪怕后面一点都不会解,也已拿到一定的分数.

(4)克服“会而不对,对而不全”的老大难问题.

有些学生不怕难题不得分,就怕每题都扣分,例如在代数论证中“以图代证”,尽管解题思路正确甚至很巧妙,但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”,得分少得可怜.只有重视解题过程的语言表述,“会做”的题才能“得分”.

(5)要正确处理难题与容易题的关系.

近年来高考数学试题的顺序并不完全是按先易后难排列,在答题时要合理安排时间,不要在某个卡住的题上打“持久战”,那样既耗费时间又拿不到分,会做的题又被耽误了,造成“隐性失分”.解答题一般都设置了层次分明的“台阶”,入口宽,入手易,但是深入难,解到底难,因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡,看似难做的题也有可得分之处.所以尽量做到中等题少丢分,难题多得分.