巧添辅助线解答几何疑难问题

（湖南省洞口县文昌街道城关初级中学 湖南邵阳 422300）

添置辅助线是解几何题中常用的手段，在几何问题中，添加辅助线可以说是解题的关键点。辅助线好比是一座桥梁，将已知条件与待解决的问题联系起来，从而找到解决问题的方法，起到化难为易的作用。很多平面几何都不是直接可以证明出来的，而是要借助辅助线才能证明出来。添加辅助线时，应从题设条件和结论之间的关系来分析，使辅助线成为有效的过渡之“桥”。

下面我举几个例子来说明：

一、添加辅助线，将不规则的四边形转化为三角形

例1：如图1.已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°

图1

求AD和BC的长

分析：作辅助线、延长边AD和BC相交于点E，将四边形ABCD补全成△ABE再利用直角三角形性质求解。

解：延长BC、AD相交于点E

∵∠B=∠D=90°∴△ABE和△CDE都是直角三角形

∵∠B+∠ADC=180°∴∠A+∠BCD=180°∵∠A：∠BCD=1：2

说明：本题采用延长补形法，将不规则的四边形补形成为直角三角形，再利用勾股定理求解。

二、作辅助线，将三角形整体移动，构成特殊图形进行计算

例2：如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°

图2

A C=B C，D、E是A B上的两点，且AD=4，BE=6，∠DCE=45°，求DE的长。

分析：已知条件中AD、BE和所求DE分布在不同的三角形中，可以在△ABC的外部做一个△CBF，使△CBF≌△CAD，从而得到BF=AD，EF=DE，将三条线段移到同一个三角形中，求解。

解：在△ABC的外部，作△BCF，使∠BCF=∠ACD CF=CD

连结 EF

∵AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF ∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF ∠A=∠CBF ∵∠ACB=90°

∴∠EBF=90° ∵∠DCE=45° ∴∠ACD+∠ECB=45°

即：∠ECF=45° ∴△DCE≌△FCE ∴DE=EF

说明：本题采用作辅助线的方法，将△ACD移到BC边的右侧，从而将不相关联的三条线段，移至同一直角三角形中求解。

三、利用补形法，把图形补成有利于问题解决的基本图形

例3：如图3，已知△ABC中，AO=DO，AO是∠BAC的角平分线，CD⊥AO，垂足为D，求证：AC=3AB

图3

分析：延长AB、CD相交于E点，由AO平分∠BAC，AD⊥CD，可 知AC=AE，DE=DC，取BE的中点F，连接DF，利用三角形中位线性质可得，AB=BF=EF，最后可得AC=AE=3AB。

证明：延长AB、CD相交于点E，取BE的中点F，连接DF。

∵AO平分∠BAC，AD⊥CD ∴△ACD≌△AED ∴ AC=AE CD=DE

∵F为BE的中点∴DF∥BC 又∵AO=DO ∴AB=BF

∵F为BE的中点 ∴AB=BF=EF

即：AE=3AB ∴AC=3AB

说明：本题是将不规则图形补形成等腰三角形，再利用三角形中位线的性质做桥梁，得出结论。