变式训练在数学教学中的应用

韩丽

数学教学要注重培养学生的逻辑思维能力，而变式训练是最好的训练思维能力的方式，教师可以利用“变式训练”引导学生对数学问题进行多角度、多方位、多层次的讨论和思考，体会所学知识发生、发展和应用的过程，教育学生从“变”的现象中发现“不变”的本质.下面以一道习题为例阐述变式训练在数学教学中的应用.

原题：已知在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别是垂足，求证：DE=DF.

这是在复习全等三角形和等腰三角形知识时遇到的一道习题，可以利用全等方法证明，也可以利用等腰三角形性质证明，还可以利用面积证明.为了培养学生的发散思维能力，使课堂教学更加高效，下面就此习题谈下如何进行变式训练：

一、变特殊为一般

变式1：过B作BH⊥AC于H，将“D为BC的中点”改为“D在BC上，且D不与B、C重合”，其余条件不变，问DE、DF、BH的关系，并证明.

把中点改为底边上任意一点，可以使问题由特殊到一般，结论的探究化更有利于培养学生的划归、迁移能力，提高他们思维的灵活性.

变式2：过B作BH⊥AC于H，D在BC或CB的延长线上，其余条件不变，问DE、DF、BH的关系，并证明.

可得出结论：|DE-DF|=BH.此变式可使学生的认识更具一般性.

变式3：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的一条高.

证明的方法与上面的方法类似.这是等边三角形很重要的性质.

二、变条件的同时变结论

变式4：已知点D为BC边上任意点，把“DE⊥AB，DF⊥AC”变为“DE∥AC，DF∥AB”，探究DE+DF是否为定值，如果是，等于什么？如果不是，说明理由.

此变式由特殊到一般，符合学生的认知规律，由标准化命题变为探索性命题，增加了习题难度，调动了学生的积极性，进而培养学生的探索能力和发散思维能力.

变式5：已知在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别是垂足，若∠A=90°求证四边形DFAE是正方形.

三、变直接为间接

变式6：等腰条件不变，变“DE⊥AB，DF⊥AC”为“以AD为直径的圆与AB、AC相交于E、F，与BC切于点D”，连接DE、DF，求证DE+DF为定值.

变式7：已知A是圆O外一点，向圆O引切线，切点为B、C. D为BC上任意一点， DE⊥AB ，DF⊥AC，AB=4厘米，圆O半径为3厘米.求：DE+DF的值.

以上两个变式把等腰三角形的模型镶嵌在圆中，学生既能复习等腰三角形知识，同时又应用了圆的相关知识.由直接到间接，无形中又增设了一道障碍，在图形的结构上干扰了学生的视线，使学生必须进行思维迁移，同时培养了他们战胜困难的能力和信心.

四、变单一为综合

变式8：已知：正方形ABCD的边长为a， E是BD上一点，BE=BC，F是EC上任意一点，FM⊥BD，FN⊥BC，FM·FN= a2.

求证：FM、FN是一元二次方程x2- ax+ a2=0的两根，并确定F点的位置.

将原题与代数知识相结合，加大了题目的难度.数学学习会经历从表象到本质，由片面到全面，由外部联系到内部联系的过程，知识的推移与不断深化有助于纵穿横拓学生的思维，有利于提高学生的思维能力和探索能力.

总而言之，變式训练有利于引导学生的思维向纵深发展，强化了学生对数学概念、数学思想的认知与理解，有利于由浅入深、由易到难地培养学生的思维延伸能力.

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com