数学思想在中学“概率统计”课程教学中的运用

罗胜云

摘 要：文章以中学“概率统计”课程相关教学内容为研究对象，采用案例式教学方法阐述了如何在教学过程中通过数学思想的渗透，提高学生学习的兴趣，激发学生学习的潜能，发挥学生学习的主观能动性，引导学生养成主动发现问题、思考问题、解决问题的好习惯，对推动当前中学数学课堂教学改革具有一定的参考价值。

关键词：课程教学；数学思想；“概率统计”

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2018-05-02

“概率统计”的理论与方法目前已渗透到现代生活的方方面面，被广泛应用于工业、农业、经济、军事、科技等诸多领域，同时它又向其他学科渗透发展成为交叉学科。因此，伴随着新一轮基础教育课程改革的纵深推进，“概率统计”这门课程的入门知识被纳入初等数学内容体系，国家希望中学生掌握一定的概率统计思想，为今后的学习和工作打下基础。

但在教学实践过程中，我们通过长期观察，发现当前“概率统计”这门课程的教学有时竟然变成单调枯燥的习题讲解。虽然这种授课方式在某种程度上可以提高学生形式上的逻辑推理能力，但不能引导学生真正理解并深入思考“概率统计”课程内容所蕴含的数学思想，无法发挥学生学习的主观能动性。我们认为，一门课程的具体内容也许会被学生遗忘，但如果教师在教学过程中能够抓住课程的核心思想，这些精髓将会对学生今后的学习和工作起到潜移默化的作用。

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想具有本质性、概括性和决定性的意义，因而，可将数學思想看作是数学的“内核”。掌握好了数学思想这个内核，学生的思维能力就有了内生发展的原始动力，而思维能力是学生创新意识和创新能力的源泉。在当今大众创业、万众创新的新时代背景下，培养学生创新意识和创新能力至关重要，而数学思想在教学过程中的渗透无疑可以对学生创新能力培养起到很好的促进作用。

一、课程内容与教学目标

为有针对性地剖析中学“概率统计”课程蕴含的数学思想，我们不妨以高中数学人教A版（必修三）教材中所包含的教学内容为研究对象，以2017年新课标的课程目标为教学目标。

教学内容大致包括三部分：第一部分为计数原理：加法原理与乘法原理、排列组合、二项式定理；第二部分为统计：随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系、统计案例；第三部分为概率：随机事件的概率、古典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率、独立事件与乘法公式、独立重复试验与二项分布、离散型随机变量的均值、方差和正态分布。

课程目标：新课程标准由以前的六大课程目标调整为现在的三大课程目标：①获得进一步学习以及未来发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强创新意识和应用能力；②发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界；③提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。

二、几种常见的数学思想

为实现新课标的课程目标，改变传统“填鸭式”单向灌输的教学方式，实现从“要我学”到“我要学”学生学习态度的转变和从“以教师为中心”到“以学生为主体”教师角色的转变，下面我们以中学“概率统计”课程相关教学内容为研究对象，阐述如何在教学过程中通过数学思想的渗透，让学生领悟到数学思想的魅力。

1.史论思想

任何一门学科都有它独特的发展历史，“概率统计”也是如此。我们只有让学生充分了解它的发展历史，清醒认识它的发展现状，才能激励学生去探索它的未来。

我国著名数学家、数学教育家徐利治先生认为，数学思想发展史向人们揭示了数学创造思想的萌芽、成长、发展的客观历史过程，也反映了数学成果的发现、发明、创制的动力、契机及其增殖发展的规律。数学思想发展史汇聚了各种数学思想方法，向人们揭示了许多经典数学成果创造的过程，对拓宽学生数学领域的知识起到画龙点睛的作用。

在中学“概率统计”课程教学过程中适当补充一些数学思想发展史的相关内容，可以包括“概率统计”产生的历史背景和发展的主要历程，以及与内容有关的著名数学家和他们的研究成果等。比如，在起初接触“概率论”这门课程时，教师可以给学生介绍一下赌金分配问题，以及帕斯卡、费马、惠更斯围绕这一问题的讨论细节；介绍“概率论”史上的第一部专著是詹姆斯·伯努利的《推测术》，它标志着数学概率论的开端；伯努利大数定律的出现使以往陷于零碎计算的概率知识，逐渐形成了一门统一的数学理论。在讲授统计部分时，教师可向学生介绍英国数学家贝叶斯提出的贝叶斯方法，开创了数理统计的先河。

这些例子不胜枚举，在中学“概率统计”的课堂教学过程中，始终贯穿史论的思想可以让学生清晰了解这门学科的发展历史脉络，同时激发学生学习的浓厚兴趣，让学生积极主动探索思考未知世界。

2.辩证思想

辩证思想指人们通过概念、判断、推理等思维形式对客观事物辩证发展过程的正确反映。辩证思想最基本的特点是将对象作为一个整体，从其内在矛盾的运动、变化及各个方面的相互联系中进行考察，以便从本质上系统地、完整地认识对象。辩证思想最主要的特征有普遍联系的观点和对立统一的观点。

（1）普遍联系的观点。“概率统计”的知识点比较多，学生学起来容易顾此失彼，我们在教学过程中用普遍联系的观点向学生讲授知识点之间的关系，一来可以加深学生对“概率统计”这门课程的理解，二来有利于让学生的知识点串起来结成网，形成系统，融会贯通。例如，贝努利分布、二项分布、超几何分布之间的联系；几何分布、巴斯卡分布、负二项分布之间的联系；伽玛分布、卡方分布、指数分布之间的联系；古典概型和几何概型之间的联系；几何分布与指数分布都具有无记忆性；二项分布、泊松分布、正态分布、伽玛分布、卡方分布等都具有参变量的可加性。

（2）对立统一的观点。“概率统计”这门课程研究的对象是随机现象，随机现象的发生隐含着必然性和偶然性。随机现象的结果在多次随机实验中一定会发生，这其中包含着必然性，但对每一次实验来说结果又是不确定的，具有偶然性。这种必然性和偶然性是对立统一的辩证关系：必然性存在于偶然性之中，通过偶然性表现出来；偶然性中深藏着必然性，是必然性的表现和补充；两者相互依存，又在一定条件下相互转化。

随着“概率统计”这门课程研究的深入，人们已经发现了很多普遍的规律，但这种普遍的规律之外也不乏一些特殊的个案。这种普遍性和特殊性也是概率统计课程对立统一辩证关系的另一种体现形式。例如，连续型随机变量的密度函数不一定是连续函数；两个和事件的概率为1，一般为对立事件，但也有特殊的例外情形；概率为零的事件不一定是不可能事件。

3.建模思想

一切数学概念、公式、数学理论体系以及由数学概念与符号刻画出来的某个系统中的关系结构都可成为数学模型。简单地说，模型思想就是构造模型、使用模型的思想方法。在教学中，培养学生借助模型思想方法解決和研究问题，并在此基础上进一步运用想象力和创造力构建出新模型的能力是十分必要的。

在“概率统计”中，有很多经典的数学模型为我们解决问题提供了一些基本的模式：一是由实际问题抽象概括出来的具有典型背景的模型；二是为研究实际问题而建立的实用模型。

例如，甲、乙约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1：15，1：30，1：45，2：00，如果他们约定：①见车就乘；②最多等一辆车。 求甲、乙同乘一辆车的概率。假定甲、乙两人到达车站的时刻是互不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是可能的。

思路分析：这道题的已知条件不满足古典概率的定义，因为甲乙两人到达的时间t是连续的，但由于开车的时刻是离散的，故我们可将连续问题离散化。记第1，2，3，4趟车开车时刻分别为1：15，1：30，1：45，2：00；到达时间记为状态1（乘坐第一趟车，以下类推），到达时间记为状态2，到达时间记为状态3，到达时间记为状态4。记X，Y分别表示甲乙两人乘坐的公共汽车的车次，则样本空间中基本事件（X，Y）的组合总数为42=16。对于第一种见车就乘的情形A1，从图1不难发现；对于第二种情形A2，从图2不难发现。

点 评：本题采用连续时间状态离散化的方法，将非古典概率的问题转化为古典概率，从而柳暗花明又一村，打破了固定思维的僵局。利用建模的思想，寻找原问题对应的数学模型使问题的解答简洁明朗，思维豁然开朗。

中学“概率统计”课程与中学数学其他内容比较而言，具有抽象性、复杂性等特点，学生学习起来常常感到单调枯燥，无所适从。如果在教学过程中，授课教师能够紧紧抓住数学思想这一具有本质性、概括性和决定性的内在特性，则很容易激发学生的学习兴趣，启迪学生的创新思维，提高学生发现问题、解决问题的能力，从而达到事半功倍的教学效果。

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