巧用一题多解培养学生的创造思维

张亚红

【关键词】 数学教学 ；一题多解；创造思维

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2018）14—0125—01

“课堂要以学生为本”、“要注重知识发生过程”、“知识的发生要教给学生”，这些都已成为数学教师实施课堂教学的共识.因此，在数学教学过程中，教师要利用一切有利条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学，这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径.下面，笔者以2017年甘肃高考理科中的一道不等式证明为例，谈谈一题多解对创造思维能力的培养.

例 （2017年高考理综23题） 已知a>b，b>0，a3+b3=2，证明：

（1）（a+b）（a5+b5）≥4；

（2）a+b≤2.

不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考查学生数学能力的主要方面.关于不等式的证明方法多种多样，如比较法、构造法、分析法、反证法、变量替换法分析、放缩法、综合法等.高中数学教学中常用比较法，以不等式证明的多样性来培养学生的创造思维，使学生从不同的角度思考问题，从而提高学生解决问题的能力.

证法1：一般证法（标准答案）

解题思路：求解（1）时，由于a>0，b>0，a3+b3=2，把（a+b）（a5+b5）展开，利用配方法，将其化为（a3+b3）2-2a3b3+ab（a4+b4）=4+ab（a2-b2）2，则不等式求证；求解（2）时，证（a+b）3≤8即可，由（a+b）3=2+3ab（a+b）及基本不等式证出，进而得出结论.

证法3 （构造法2，构造函数，利用二次函数的判别式）

对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.

解题思路：若二次函数f（x）=Ax2+Bx+C与x轴最多有一个交点时，其判别式？驻≤0，即B2-4AC≤0.这里可设A=a+b，C=a5+b5，B=2（a3+b3），得f（x）=（a+b）x2+2（a3+b3）x+a5+b5=a（x+a2）2+b（x+b2）2≥0.可知此二次函数与x轴最多有一个交点，由判别式？驻≤0，命题得证.

解析：（1）设A=a+b，C=a5+b5，B=2（a3+b3）得f（x）=（a+b）x2+2（a3+b3）x+a5+b5=a（x+a2）2+b（x+b2）2≥0 ，判別式？驻≤0得4（a3+b3）2-4（a+b）（a5+b5）≤0 整理得（a+b）（a5+b5）≥4.

（2）证明：（略）.

编辑：谢颖丽