非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的全隐式有限差分格式

马亮亮, 谭千蓉, 刘冬兵

(攀枝花学院 数学与计算机学院, 四川 攀枝花 617000)

近年来,随着人们对微积分学的认识和研究的不断深入,分数阶微分方程引起了越来越多的关注.随着分数阶微分方程自身理论的迅速发展、完善，以及它在数学、物理、化学、生物、环境、工程建模、金融和应用软件等学科的广泛应用,分数阶微分方程数值算法的研究也日益广泛[1-4].作为分数阶微分方程的一个重要分类,分数阶对流-扩散方程可描述自然环境、工程装备和生物中的多种物理现象(如气体扩散、液体渗透、热传导和半导体材料中的杂质传播等).然而，现实的工程问题往往很难找到其解析解,因此只能通过求解其数值解的途径来获取该问题的信息.目前,常用的数值求解分数阶对流-扩散方程的方法主要有有限差分法、有限元法、有限体积法和谱方法等.在这些方法中,有限差分法以其求解问题时的易操作性、易理解和容易编程,在科学研究和工程计算中得到了广泛的应用.因此,建立精确、稳定、高效的有限差分格式和求解算法,对于分数阶对流-扩散方程问题的解决具有重要意义.关于分数阶微分方程(特别是分数阶对流-扩散方程)问题的求解,已经有了多种有限差分格式[5-8].

变阶算子的概念是近年来发展起来的,它的出现带来了分数阶微分方程研究领域中新的范例[9].目前,在文献中出现的变阶算子的定义主要有Riemann-Liouville变阶算子、Caputo变阶算子、Marchaud变阶算子、Coimbra变阶算子和Grünwald变阶算子等[10-14].当应用不同类型的变分数阶导数算子解决变分数阶微分方程时,就会诞生各种各样的数值方法,且事实表明,对于复杂情形,变分数阶微分方程的计算可为描述复杂事物、地理问题等提供更有效的数学架构[15-18].

本文考虑如下类型的非线性空间-时间分数阶对流-扩散方程:

(1)

u(x,0)=u0(x), 0≤x≤L,

(2)

u(0,t)=u(L,t)=0, 0≤t≤T,

(3)

xRβ(x,t)是阶数为β(x,t)的广义Riesz分数阶导数[20],

xRβ(x,t)u(x,t)=

关于变阶分数阶微分方程的数值解法,沈淑君[9]给出了变时间分数阶扩散方程的一种数值模拟方法;于春肖等[18]通过对变分数阶导数算子进行离散化处理得到了一种求解变分数阶扩散方程的隐式差分解法;马维元等[20]提出了一种变阶非线性分数阶扩散方程的全隐式差分格式;Zhuang等[21]给出了带非线性源项变分数阶对流- 扩散方程的显式和半隐式差分格式;Lin等[22]给出了变阶非线性分数阶扩散方程的显式差分格式.本文针对一类非线性变阶空间-时间分数阶对流- 扩散方程,在已有文献的基础上提出一种全隐式有限差分格式,并分析其稳定性和收敛性,最后通过数值算例验证该差分格式的有效性与可行性.

1 数值逼近和全隐式有限差分格式

1.1非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的数值逼近为了数值求解方程(1)～(3),首先对求解的区域进行网格剖分.考虑区域[0,L]×[0,T],给定等距剖分,选取正整数M、N,并令h=L/M,=T/N.记xi=ih,i=0,1,2,…,M,tn=nτ,n=0,1,2,…,N;0=x0

u(xi,tn+1-jτ)=

u(xi,tn+1-jτ)+O(τp),

(4)

其中p为正整数.为方便研究,取p=1,则(4)式变为

(5)

其中

(6)

其中

可以递推计算

此外,广义Riesz分数阶导数xRβ(x,t)采用变阶的移位Grünwald-Letnikov公式进行离散:

(7)

(8)

其中

1.2全隐式有限差分格式为了得到方程(1)～(3)的全隐式有限差分格式,给出如下约定,令

将(5)～(8)式代入方程(1),考虑如下形式的全隐式有限差分格式:

(9)

与此同时,初值和边界条件分别等价地记作

(10)

(11)

进一步，(9)式可以改写成如下的形式:

(12)

2 全隐式有限差分格式的稳定性和收敛性

定理1假设方程(1)～(3)的解u(x,t)是充分光滑的,则当τ充分小时,全隐式有限差分格式(9)～(11)是稳定的.

因此,全隐式有限差分格式(9)～(11)是稳定的.

定理2假设方程(1)～(3)的解u(x,t)是充分光滑的,则当τ充分小时,全隐式有限差分格式(9)～(11)的解依L∞-范数收敛到初边值问题(1)～(3)的解,且收敛阶为O(τ+h).

定理2得证,故全隐式有限差分格式(9)～(11)的解依L∞-范数收敛到初边值问题(1)～(3)的解,且收敛阶为O(τ+h).

3 数值实例

考虑如下的非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程

B(x,t)xRβ(x,t)u(x,t)+f(u,x,t),
0≤x≤1, 0≤t≤1,

其中

β(x,t)=2-sin(xt), 1<β(x,t)<2;

初值条件u(x,0)=10x2(1-x),0≤x≤1;边值条件为u(0,t)=u(1,t)=0,0≤t≤1.当ρ=1,δ=0时,此方程有精确解u(x,t)=10x2(1-x)(t+1)2.

下面将通过图1、图2和表1提供的数据信息来验证文中的全隐式有限差分方法的可行性与有效性.取定时间步长τ=0.000 1,空间步长h=0.02.图1是在t=0.01时刻由全隐式有限差分格式(9)～(11)计算得到的数值解与精确解的平面图,可以看出由全隐式有限差分方法得到的数值解可以很好地与精确解吻合,从而表明了文中所使用方法的可行性和有效性.图2是利用全隐式有限差分格式(9)～(11)计算得到的数值解与空间轴、时间轴之间的三维立体图,易得全隐式有限差分方法(9)～(11)所得数值解都可很好地逼近上述方程的精确解,表明文中所提出的全隐式有限差分格式是稳定的,继而表明了该方法求解非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程问题的精确性与有效性.

图 1 数值解与精确解比较图

图 2 三维立体图

表 1 全隐式有限差分格式的误差及收敛率

‖eN(h,τ)‖∞/‖eN(h2,τ2)‖∞‖eN‖∞/(h+τ)-0.218 796 4832.036 368 0660.214 888 9352.095 256 6470.205 119 4402.215 268 4820.185 186 9801.999 007 5500.185 278 9201.992 002 2710.186 022 800

4 结束语

论文主要研究非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的初边值问题,通过对变分数阶导数算子的离散化处理,提出了求解该类问题的全隐式有限差分方法;而后,利用离散的能量方法证明了该方法的收敛性和稳定性;最后,通过一个数值例子验证了文中全隐式有限差分方法求解非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程初边值问题的可行性与实用性.

致谢攀枝花学院校级科研项目(2016ZD010、2014YB38、2013YB05和2012YB21)、攀枝花学院院级科研创新项目(Y2013-04)及攀枝花学院教育教学研究与改革青年项目(JJ1682)对本文予以了资助，谨致谢意.