电磁场理论对线性电路叠加原理的解释

摘要：从稳恒电磁场中电场强度、磁场强度的叠加性出发，重点研究以稳恒条件下线性电路中电流、电压的叠加性。结果表明，线性电路中电流、电压的叠加性可以从电场强度、磁场强度具有的矢量叠加性及欧姆定律成立时电流密度与电场强度的线性关系得到完善解释。

关键词：电场；磁场；电流；电压；叠加

在电路理论中，特征物理量主要是电流 和电压 ；在电磁场理论中，最重要的概念是“场”，特征物理量主要是电场强度 和磁场强度 。电路的重要作用之一是将电源的能量传输给负载。能量由空间传递，似乎导线的作用不大，但正是因为导线上有电荷和电流分布，才使空间存在电场和磁场，通过场把能量传递给负载，而且导线还起着引导能量走向的作用 。这表明，电路中电压、电流的叠加性与电场强度 、磁场强度 密切相关。电磁场的能量以电磁能流密度 为基本单位、以电磁波的形式向空间、负载传输。可以想到，电场强度 、磁场强度 应该与电流 和电压 有密切联系。通过欧姆定律的微分形式 ，更能明确看出电流和电场强度的内在联系；通过安培环路定律—— 亦可以看到磁场强度 和电流 存在着紧密联系。本文以从电磁场的角度对线性电路叠加原理作出理论上的一些解释来说明并引起人们对“路”和“场”的重视，以及认识到电磁场理论对电路理论的指导意义，认识到不同学科知识的有机融合有助于建立新的知识联系桥梁。

1线性电路叠加原理内容阐述

线性电路叠加原理 可表述为：“线性电阻电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。”当电路中含有g个电压源和h个电流源时，任意一处的电压 或电流 都可以写为以下形式：

（1.1）

式中 ， 分别表示第m个独立的电压源和独立的电流源。

根据基尔霍夫电流定律及电压定律可以将式（1.1）改写为： （1.2）

式中 分别为电路中电流源或电压源单独作用时产生的电流、电压。式（1.2）明确地反映出线性电路的叠加性。对于稳恒电路，式（1.2）可改写为： （1.3）

2电磁场理论对线性电路叠加原理的解释

2.1静电场中电场强度 、电势 的叠加性

2.1.1点电荷产生的电场中场强 、电势 的描述

在静止点电荷 激发的电场中的某一点 放置一个静止的检验点电荷 ，由库仑定律知： 所受到的电场力为：

（2.1.1）

式中 是场点 与点电荷 的距离， 是从场源点电荷 到场点点电荷 的单位矢量。

在静止点电荷 激发的电场中，点 放置一个静止的检验点电荷 ， 点的场强为：

（2.1.2）

根据电势的定义 ，可得到 点的电势为： （2.1.3）

设参考点 的电势为零。由式（2.1.3）可得到静电场中任意两点 间的电势差（也称为电压）： （2.1.4）

式（2.1.4）清楚表明电压和场强 的积分关系，电场强度 和电压 都从不同角度描述了电场的性质，也将电磁场理论中的特征量 与电路理论中的特征量 紧密联系起来。

2.1.2任意点电荷系中的场强 、电势 的叠加性

当电场是由 个点电荷激发时，电场中的场点 处的点电荷 受到的电场力 为各个场源电荷的库仑力的叠加，即： （2.1.5）

则点电荷系中电场中某点的场强为： （2.1.6）

式（2.1.6）表明了 个点电荷所激发的电场在某点的总场强等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和。

同样的道理，根据场强的叠加原理，可以得到电势的叠加原理。点电荷系产生的电场中任意点 对参考点 的电势为： （2.1.7）

对比（2.1.4）和式（2.1.7），可以得到电场中任意两点 间电压的叠加原理：

（2.1.8）

可见，这里由电场强度 的可叠加性，得出了电压 的可叠加性。

2.2稳恒电路中电压的叠加性

对于电路来说，一个电源可看成一个点电荷系，多个电源可看成多个点电荷系。由前所述，可得到在稳恒线性电路中，电压的可叠加性依旧可由电源产生的场强叠加性来得出。

设电路中只有一个独立源时，电源两个极板所带的电荷组成点电荷系，由点电荷系的场强公式（2.1.6）可得到该电源产生于导体内部的场强为： （2.2.1）

其中 为极板上任意一个点电荷产生的静电场场强。当电路闭合后，在负载两端产生的电压（导线电阻很小，可以忽略导线上的电压） 为： （2.2.2）

对于稳恒电路中的任意一个独立源来说，电源的两极板上的电荷量 是一确定值，因此，可用 表示任意独立源在电路中任意点 产生的场强，则由场强的叠加原理可以得到电路中的多

个独立源在 点产生的总场强为： （2.2.3）

其中 ， 表示任意独立源到场点 的距离。

由式（2.2.2）和式（2.2.3）可以得到在多个独立源存在的稳恒线性电路中负载两端 间的电压的表达式：

（2.2.4）

它和（1.3）式中关于电压叠加的表达式 是一致的。

这样，就从电磁场的角度阐明了线性电路中电压的可叠加性。

2.3稳恒电路中电流的叠加性

实验指出 ：金属中欧姆定律的微分形式为： （2.2.5）

上式中 为金属的电导率，对于均匀材料 为常数，仅与材料的性质有关。式（2.2.5）反映了导体内部任一点的电流密度与该点的电场强度的关系：电流密度 只决定于该点的电场强度 ，且两者方向相同。

在导体内任一点处取一曲面 ，则通过任意曲面的电流 为： （2.2.6）

由式（2.2.5）和式（2.2.6）可以得到电流 与场强 的积分关系：

（2.2.7）

若稳恒电路中只有一个独立电源，则这个独立电源任一曲面 处产生的场强是恒定的，因为电压两极板上的电荷分布是不随时间而改变的，根据场强的表达式 可以知道场强是恒定的，该电源产生的场强所形成的电流也是恒定的。此时产生的電流可由式（2.2.7）确定。

当电路中含有多个独立源时，每个独立源在电路中导体内部将产生场强。根据式（2.2.3）可以得到电场中任意点 产生的总场强。

相应地，在导线中的任意点 取一曲面 ，则各独立源在该处产生的电流为：

（2.2.8）

那么，在曲面 处产生的总的电流相应地可表示为：

（2.2.9）

它和（1.3）式中关于电流叠加的表达式 是一致的。

这样，就从电磁场的角度阐明了线性电路中电流的可叠加性。

综上，线性电路中电流、电压的叠加性可以从电场强度 、磁场强度 具有的矢量叠加性以及欧姆定律成立时电流密度 与电场强度 的线性关系得到完善的解释。

参考文献：

[1][4][5]贾起民、郑永令、陈暨耀.电磁学.2版.北京：高等教育出版社，2001. 265，111，109.

[2]邱关源.电路.4版.北京：高等教育出版社，1999.82.

[3]梁灿彬等.电磁学. 2版. 北京：高等教育出版社，2004. 30～31.

【作者简介】何攀，男，汉族，四川省旺苍县人，大学本科，从事中学物理教育教学。