关于数学思维与数学教育的思考

裴贵丰

数学教育的一个重要任务就是培养学生的数学思维能力。努力提高学生的数学思维能力.不仅是数学教育进行“再教育”的需要，更重要的是培养能思考，会运筹善于随机应变.适应信息时代发展的合格公民的需要。本文从数学思维的特征，品质出发、结合中学数学教育的实际，探讨了中学数学教育如何有效地培养学生数学思维能力的问题。

1、数学思维及其特征

思维就是人脑对客观事物的本质、相互关系及其内在规律性的概括与间接的反映。而数学思维就是人脑关于数学对象的思维、数学研究的对象是关于现实世界的空间形式与数量关系、因而数学思维有其自己的特征。

第一，策略创造与逻辑演绎的有机结合。一个人的数学思维包括宏观和微观两个方面。宏观上，数学思维活动是生动活泼的策略创造。其中包括直觉、归纳、猜测、类比联想、合情推理、观念更新、顿悟技巧等方面，微观上，要求数学思维具有严谨性。要求严格遵守逻辑思维的基本规律，要言必有据，步步为营，进行严格的逻辑演绎。事实上，任何一种新的数学理论、任河一项新的数学发明、只靠严谨的逻辑演绎是推不出来的，必须加上生动的思维创造.诸如特殊化一般化、归纳、类比、顿悟等等。一旦有了新的想法，采取了新的策略，掌握了新的技巧，通过反复深入地提出猜想，加以修正，不断完善，才有可能产生新的数学理论。也可以说，数学思维过程总是似真推理与逻辑推理相互交织的过程。似真推理起着为逻辑思维探路.定向的作用.可以用来帮助在数学领域中发现新命题，提出可能的结论、找到解题的途径与方法等。其中，类比推理和不完全归纳推理更是两种重要的策略推理形式，而逻辑推理则是似真推理的延续和补充。由似真推理所获得的结论.往往需要借助逻辑推理作进一步的论证、证实。因此，数学思维只有将策略创造与逻辑演绎有机结合，才能显示出强大的生命力。

第二、聚合思维与发散思维的有机结合。发散思维是指从不同方向、不同侧面去考虑问题，从多种途径去求得解答的一种思维活动。它是创造性思维的一个重要特征，其特点是具有流畅性、变通性和独特性。通常所说的一题多解、多题一解、命题推广、升维策略、降维策略等都于这方面的反映。聚合思维是以“集中”为特点的一种思维，其特点是具有指向性、比较性、程性等论文开题报告范例。在数学思维活动中，这两种思维也是常常被交替使用的。在解决一个较为复杂的数学问题时，为了探查解题思路，人们总是要将思维触角伸向问题的各个方面、考虑各种可能的解模式、并不断地进行尝试、设法找到具体的思路、在探测思路的过程中又要对具体问题进行具体分析，要集中注意力，集中攻击目标，找到问题的突破口或关键。因此，在数学教学中要注将聚合思维与发散思维有机结合，特别要重视发散发性思维的训练。

2、数学思维品质

数学思维能力高低的重要标志是数学思维品质的优劣，为了提高学生的数学思维能力，弄清数学思维品质的内容是必要的，但对这个问题的争论很多，我們认为数学思维品质至少应包含以下几个方面的内容。

第一，思维的灵活性，它是指思维转向的及时性以及不过多地受思维定向的影响。善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来。思维灵活的学生，在数学学习中，善于进行丰富的联想，对问题进行等价转换，抓住问题的本质，快速及时地调整思维过程。

第二，思维的批判性。它是指对已有的数学表述或论证提出自己的见解，不是盲目服从，对于思想上已经完全接受了的东西，也要谋求改善，包括修正、改进自己原有的工作，事实上，数学本身的发展就是一个“不断提出质疑，发现问题、提出问题进行争论。直到解决问题的过程。

第三、思维的严谨性。它是指考虑问题的严密、准确、有根有据。在思维过程中，善于运用直观的启迪，但不停留在直观的认识水平上；注重运用类比、猜想、但不轻信类比，猜想的结果；审题时不但要注意明显的条件；而且要挖掘其中隐含的不易被察觉的条件：运用定理、公式时要注意定理、公式成立的条件；在概念数学中初中数学论文，要弄清概念的内涵与外延.仔细区分相近或易混的概念，正确地运用概念，在解决问题时，要给出问题的全部解答，不重不漏，这些都是思维严谨性的表现。

第四、思维的广阔性。它是指思维的视野开阔，对一个问题能从多方面洞察。具体表现为对一个事实能从多方面解释.对一个对象能用多种方式表达，对一个题目能想出各种不同的解法.等等。如果把数学比作一座大城市.那么它间四面八方延伸的大路.正好表现出数学思维发展和应用的广阔性。

第五、思维的深刻性。它是指数学思维的抽象逻辑性的深刻程度.是抽象慨括能力的重要标志，它以抽象思维为基础，对事物在感性认识的基础上，经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及理”的加工制作上升到理性认识。它要求人们在考虑问题时，一入门就能抓住事物的本质、把握事物的规律、能发现常人不易发现的事物之间的内在联系。

第六、思维的敏捷性。它是思维速度与效率的标志，它以思维的合理性为基础。所谓合理性，主要反映在解决问题时：方法简明、单刀直入、不走弯路、辣荃杈叮快速获。它往往是思维深刻性、灵活性的派生物。

第七、思维的独创性。它以直觉思维和发散思维为基础，善于对知识、经验从思维方法的高度上进行概括，灵活迁移、重新组合，在更高的层次上作移植与杂交、思人所未思、想人所未想，具有思维新颖，别具一格、出奇制胜、异峰突起、独树一帜等特点。

以上，我们列举了数学思维品质的几个方面，这些方面是相互联系、互为补充的，是一个有机结合的统一体。数学教育中，要根据不同的素材、灵活选择恰当的教学方法，有意识、有计划、有目的的培养学生的数学思维品质。

3、培养学生数学思维品质的教学方法

数学教育必须重视数学思维品质的培养，数学教育也有利于培养学生良好的思维品质。蕴含在数学材料中的概念、原理、思想方法等，是培养学生良好思维品质的极好素材，作为数学教师，只有在培养学生的思维品质方面下功夫，方能有效地提高数学教学的质量。

第一、应使学生对数学思维本身的内容有明确的认识。长期以来，在数学教学中过分地强调逻辑思维，特别是演绎逻辑初中数学论文，都是教师注重给学生灌输知识，忽视了思维能力的培养。只注重结论，忽视了知识发生过程的教学，造成学生机械模仿，加大练习量，搞“题海战术”，抑制了学生良好的数学思维品质的形成。我们应当使学生明白，学习数学，不仅仅是为了学到一些实用的数学知识，更重要的是得到数学文化的熏陶。其中包括數学思维品质.数学观念.数学思想和方法等，因此，数学教师必须从培养学生的优秀思维品质出发.冲破传统数学教学中把数学思维单纯理解为逻辑思维的旧观念，直觉、想象、合情推理、猜测等非逻辑思维也作为数学思维的重要组成部分.在数学教学中，要通过恰当的途径，引导学生探索数学问题，要充分暴露数学思维过程，这样，数学教育就不仅仅是赋予给学生以“再现性思维”.更重要的是给学生赋予了“发现性思维”。

第二、优化课堂教学结构，实现思维品质教育的最优化。优良思维品质的培养，是渗透在数学教育的各个环节之中的，但中心环节是在课堂教学方面论文开题报告范例。因此，我们必须紧紧抓好课堂教学这个环节。在课堂教学中，学生的思维过程，实质上主要是揭示和建二新旧知识联系的过程当然也包含了建立新知识同个体的新的感知的联系。在这里我们要特别强调知识发生过程的教学。所谓知识发生过程，通常指的是概念的形成过程，结论的探索与推导过程.方法的思考过程。这些实际上是学生学习的主要思维过程，为了加强知识发生过程的教学，我们可从如下几个方面着手：首先，要创设问题情境、激起意向、引起动机。思维处问题起初中数学论文，善于恰到好处地建立问题情境，可以调动学生的学习积极性，使之开启思维之门其次.要注重概念形成过程的教学。概念是思维的细胞.在科学认识中有重大作用。因此，数学教学必须十分重视概念的准确度与清晰度。概念的形成过程是数学教学中最重要的过程之一。那种让学生死记硬背概念.忽视概念形成过程以图省事的做法是实在不可取的。有经验的教师把概念的形成过程归结为 “引进一酝酿一建立一巩固一发展”这样五个阶段，采用灵活的教学方法，取得了良好的教学效果。最后，要重视数学结论的推导过程和方法的思考过程。数学教学中的结论通常是通过归纳、类似、演绎等方法进行探索的，我们要善于发现隐含于教材内容中的思维素材，有意识地让学生自己去发现一些数学结论，帮助学生掌握基本的数学思想和方法。比如分析法、综合法、类比法、归纳法、演译法、映射法（尤其是关系映射反演原则）、反证法，同一法等等。数学方法的思考过程其实就是解决问题的思维过程。教师要通过对具体问题的分析，引导学生掌握从特殊到一般.从具体到抽象再到更广泛的具体等一般的思考问题的方法。

第三、激发学生数学学习的动力、重视数学的实际应用、唤起学生学习的主动性和自觉性。数学学习的动力因素包括数学学习的动机、兴趣、信念、态度、意志、期望、抱负水平等。数学学习的动力因素不仅决定着数学学习的成功与否，而且决定着数学学习的进程：不仅影响着数学学习的效果，而且制约着数学能力的发展和优秀数学品质的形成。事实证明：在数学上表现出色的学生，往往与他们对数学的浓厚兴趣，对数学美的追求，自身顽强的毅力分不开。因此，在数学教学中，教师要利用数学史料的教育因素、数学中的美学因素、辩证因素、困难因素以及数学的广泛应用性等，不断激发学生的学习兴趣，激励学生勇于克服困难，大胆探索鼓励学生不断迫求新的目标，不断取得新的成功。