航空输流管道动力学的非参模型研究

2018-09-28曹建华刘永寿

振动与冲击 2018年18期

曹建华，刘永寿，刘伟

(1. 西北工业大学力学与土木建筑学院，西安 710029; 2. 黄山学院机电工程学院，安徽黄山 245021)

输流管道在工业和日常生活中应用非常广泛，其流致振动现象引起了众多的研究，取得了很大的成果。Paidoussis[1]在其专著中总结了输流管道研究结果，并细致分析了各类线性和非线性的问题。Yu等[2]研究在有外部移动载荷的情况下，弹性基础上的输流循环管道的振动波传播。Chang等[3]建立了基于轴线不可伸缩时三维非线性直管微分方程，并研究在基础激励下管道响应。Kheiri等[4-5]采用广义哈密顿方法推导输流管道的运动方程，并与其他方程进行对比。Qian等[6]分析了输流直管在非线性基础上的动力学行为。王琳等[7-8]采用伽辽金方法研究了输流直管在轴向分布力作用下的颤振失稳问题。Ghayesh等[9]推导了基于轴线可伸缩假充下三维非线性直管微分方程，并与轴线不可伸缩假设相对比。

目前，大部分输流管道研究都是参数确定的动力学分析，然而，在航空工业中，输流管道一般是由卡箍支承，由于各种不确定性因素存在，比如卡箍的材料、结构和力学性能等因素，导致数值计算误差较大，需采用考虑系统误差的模型，如非参模型(Nonparametric Model)[10-11]，以便更加准确地预测管路振动特性。本文针对两端由卡箍夹紧的航空输流直管，考虑不确定性，采用非参方法进行输流管道的动力学研究。在航空系统中，支承输油管道的卡箍，一般简化为简单支撑，在本文中，将卡箍简化为简支和扭转弹簧，在此不采用参数随机的方法时行仿真，而采用不确定性的非参模型方法[12-13]建模，研究输流直管的振动特性。非参方法已经被Ritto等[14-15]应用于求解流速的不确定性求解。

1 输流管道的均值模型有限元格式

如图1所示，水平放置的输流管道长为L，单位长度的流体质量和管道质量分别为mf,mp，两端有扭转弹簧，其扭转刚度为kt，管内流体流速为U，忽略重力影响，根据Hamilton原理[16]

图1 两端有扭转刚度的输流管道模型Fig.1 The geometry of a fluid-conveying pipewith clamps at two ends

(1)

其中,

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：E为弹性模量;I为截面惯性矩。经过变分可得控制微分方程为

(6)

式(6)与Paidoussis研究中的直管方程一致。边界条件为

z=0,w(0)=0,EIw″(0)=ktw′(0)
z=L,w(L)=0,EIw″(L)=-ktw′(L)

(7)

本文采用小波有限元对输流管道进行离散。利用尺度j为3，阶数m为4的样条小波尺度函数作为插值函数，其理论参考文献[17-20]，其位移表达式为

(8)

定义单元qe为

qe=[w(ξ1)w′(ξ1)/lew(ξ2) …w(ξn)w(ξn+1)w′(ξn+1)/le]T

(9)

式中:le为单元长度；ξi=(i-1)/2j,i=1, …, 2j+1。

将式(9)代入式(8)，可以得到

qe=Reae

(10)

其中，

Re=[ΦT(ξ1)Φ′T(ξ1)/leΦT(ξ2) …ΦT(ξn)ΦT(ξn+1)Φ′T(ξn+1/le)]T

(11)

将式(10)代入式(8)

w(ξ,t)=Φ(Re)-1qe=Nqe

(12)

式中：N=Φ(Re)-1为形函数。

采用传统有限元方法过程，将式(6)进行离散，得到单元矩阵，单元离散方程为

(13)

式中：小波单元质量矩阵、小波单元阻尼矩阵、小波单元刚度矩阵和小波单元受力向量分别为

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：()’为关于ξ的导数；()为对时间t的微分;ξ=ze/le(0≤ξ≤1);le为单元长度;ze(0≤ze≤le)为单元局部坐标。

(18)

均值(参数确定)模型的输流管道频率响应为

(19)

(20)

2 输流管道刚度矩阵的随机模型

(21)

随机矩阵[Kg]可以表示为

(22)

采用最大熵原理，构建[G]的概率密度函数表达式为

(23)

式中:n为矩阵[G]的维数，CG表达式为

(24)

式中：δ为耗散因子，其表达式为

(25)

在系统中，系统质量矩阵Mg和系统阻尼矩阵Cg不变，仅有[Kg]为随机矩阵。由式(22)可知，当[G]为单位矩阵时，非参模型即退化为均值模型。输流管道的随机模型为

(26)

式中：Q(t)为相应输流管道随机模型的随机响应，其频域形式为

(27)

3 数值仿真

输流管道几何尺寸如下：L=2.032 m, 内径为ri=0.122 m，ro=0.132 m。材料参数如下：流体密度为1 000 kg/m3，管道密度为7 850 kg/m3，管道的弹性模量E为210 GPa。本节采用非参模型，首先对两端有扭转弹簧的输流管道时频率响应，以及频率随流速的变化进行分析，其次对边界不确定情况下的输流管道非参模型研究。

为了方便，定义无量纲频率

(28)

无量纲流速表达式为

(29)

式中：ω为频率。

图2 均值模型和可信区间为99%非参模型的输流管道频率响应曲线Fig.2 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图3 输流管道无量纲频率实部随流速变化比较(参数确定模型和可信区间为99%非参模型)δ[K]=0.001Fig.3 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图4 输流管道无量纲频率虚部随流速变化(参数确定模型和可信区间为99%非参模型)δ[K]=0.001Fig.4 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图5中粗线表示可信区间为99%的频率响应曲线，即在非参方法中，频率响应有99%的概率在粗线包含区域中。均值模型的频率响应曲线(虚线)被完整地包含在此区域中(见图5)。由图5也可知，随着频率增大，可信区域增大，不确定性对高阶频率影响大。

图5 均值模型和可信区间为99%非参模型的输流管道频率响应曲线Fig.5 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图6 输流管道无量纲频率实部随流速变化比较(参数确定模型和可信区间为99%非参模型)δ[K]=0.1Fig.6 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图7 输流管道无量纲频率虚部随流速变化 (参数确定模型和可信区间为99%非参模型)δ[K]=0.1Fig.7 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

增大耗散因子δ数值，进一步分析其对数值结果的影响。当δ[K]=0.4时，非参模型的99%可信区间不能完美地包含均值模型的响应曲线(见图8)。在非参模型中，频率实部的可信区间总体上包含均值模型的曲线(见图9)，而由图10可知，频率虚部的99%可信区间包含不了均值模型的曲线。增大耗散因子δ，并没有像文献[16]中针对Timoshenko梁，耗散因子越大，其均值模型就越稳定地被包含在非参模型的可信区间中。对于输流管道，在文献[14]中，其数值结果也仅仅考虑耗散因子δ=0.1。

图8 参数确定模型和可信区间为99%非参模型的输流管道频率响应曲线Fig.8 Frequency response curves of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图9 输流管道无量纲频率实部随流速变化比较(参数确定模型和可信区间为99%非参模型)δ[K]=0.4Fig.9 The variation of real part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model

图10 输流管道无量纲频率虚部随流速变化 (参数确定模型和可信区间为99%非参模型)δ[K]=0.4Fig.10 The variation of imaginary part of frequencies with flow velocity of mean model and 99% confidence limits of nonparametric model