在探究活动中理解数学

【摘 要】数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程。开展数学探究活动，能够更好地促进学生“数学抽象”“逻辑推理”和“数学建模”等数学核心素养的形成，培养学生的科学精神与创新意识，使学生更加深刻地理解数学。数学探究活动的基本方式有“融入课堂的数学探究活动”“源于教材的数学探究活动”。

【关键词】数学探究活动；实施途径；选材原则；实施策略

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）51-0073-03

【作者简介】刘明，南京师范大学附属中学（南京，210003）教师，数学教研组长，正高级教师，江苏省特级教师。

美国著名教育心理学家罗伯特·米尔斯·加涅（Robert Mills Gagne）认为：教学就是“使学生参与到那些促进学习的事件和活动中去”[1]。数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。[2]笔者认为，在数学教学中，应当不失时机地让学生开展数学探究活动，并通过自主探究、合作交流等方式，亲身经历数学知识的发生与发展过程，促使学生更加深刻地理解数学。

一、为什么要开展数学探究活动

1.从数学学科特点来看。

由于数学是一门高度抽象的、以符号运算为主的、重视逻辑推理和模型思想的学科，因此数学知识有其自身的特点，南京师范大学喻平教授认为，“数学知识可分为陈述性知识、程序性知识和过程性知识等三类。”[3]

陈述性知识也叫“描述性知识”，它是指个人具有有意識地提取线索，并能直接加以回忆和陈述的知识。如“奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称”就是一个陈述性知识。一般地，数学的概念、命题都是陈述性知识。而程序性知识则是关于人们怎样做事的知识，它是由完成一件事所规定的程序、步骤和策略等组成的知识。例如“判定某个函数的奇偶性”“证明某个函数的单调性”都是程序性知识。因此，陈述性知识是关于“是什么”的知识，程序性知识则是关于“怎么办”的知识。

程序性知识的本质是一种技能，它又可以将程序性知识分成两类：一类是通过练习，其运用能达到相对自动化，很少或不需要受意识控制的知识；另一类是受意识控制，难以达到自动化程度的知识。加涅把前者称为“智慧技能”，后者称为“认知策略”。比如，高中数学中的“函数奇偶性的判断”“函数单调性的证明”等知识就是智慧技能，只要通过一定的训练，就能达到较为熟练的程度。而“如何研究指数函数的性质”则属于认知策略的范畴。

过程性知识是伴随着数学活动的体验性知识。体验分4个阶段：对知识产生的体验；对知识发展的体验；对知识结果的体验；对知识应用的体验。[4]过程性知识是一种内隐的、动态的知识，需要学习者在自主探究的过程中去经历、感受和体验。

因此，从数学学科的特点来看，让学生开展数学探究活动，能够帮助学生理解数学。

2.从教学实践经验来看。

数学学科的知识特点使得数学学习的策略也不同于其他学科，仅仅靠教师的“教”是远远不够的，还需要学生主动地“学”——通过数学探究活动、主动参与到数学概念（性质）的建构过程中去。这样学生才能够真正地理解数学，理解数学概念（性质）本身及其背后所蕴含的数学思想方法。

需要指出的是，尽管这一轮高中课程改革已经经历了十多年时间，可是，急功近利、“斩头去尾烧中端”的现象依然相当普遍：有不少教师在教学数学概念（性质）时，只是简单地抛出现成的结论，不让学生经历概念的建构过程（性质的推导过程），更不会引导学生思考新的概念（性质）产生的必要性及其作用；在抛出现成的结论后，往往通过大量简单、机械、重复的练习来“巩固”知识。这种教学，没有学生思维的积极参与，更没有学生的亲身经历与体验，学生也就难以理解数学概念（性质），更谈不上领会数学概念（性质）背后所蕴含的数学思想方法了。这样的教学，只能教会学生进行简单的模仿，而对数学概念及其本质往往是一知半解。

3.开展数学探究的意义。

数学探究活动的核心是“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”。在这一过程中，不仅能够更好促进学生“数学抽象”“逻辑推理”和“数学建模”等数学核心素养的形成，而且也有助于学生从已有的知识与方法出发“发现”新的数学概念（结论），更加深刻地理解新的概念（原理），并从整体上理解、把握数学知识的结构与体系，体验到创造的快乐，建立严谨的科学态度，形成不怕困难的科学精神。

二、实施数学探究活动的基本途径

1.融入课堂的数学探究活动。

课堂是师生教学数学的主阵地，“数学探究活动应根植于日常教学活动中，在日常教学活动中不失时机地体现”[5]。

（1）选材原则。

①聚焦核心概念与重要定理（性质）。

高中数学知识是由若干个核心概念与重要定理（性质）构成的，这些核心概念与重要定理（性质）通常也是数学思想方法的重要载体。因此，将这些核心概念与重要定理（性质）作为数学探究活动的资源，对学生更加深刻地理解数学概念、形成良好的数学素养有着重要的意义。

②重视能体现知识之间关联的内容。

在数学知识体系中，有一些知识之间存在着密切的联系，因此，让学生通过数学探究活动，感受到不同知识之间的内在联系，有利于学生从整体上理解数学，建立完整的数学知识网络，而非“碎片化”的知识。

③关注易于学生质疑创新的内容。

在高中数学教材中，有些教学内容，或编写者留有余地，或考虑到不同层次学生的可接受性等原因，使得一部分学生对这些教学内容有不同于教材的认识（或不同的解决问题的方法）。选取这些内容，让学生开展探究，能够充分激发学生的创造热情和质疑精神，享受创造的快乐，挖掘创造潜能，有利于学生从不同的角度思考问题，在形成探究习惯、提高探究能力的同时，形成创新意识。

④珍视便于学生延伸与推广的内容。

在高中数学教材中，编写者还有意识地安排了这样的两类内容：一类是可以进行类比延伸的内容，另一类是可以进行一般推广的内容。对这一些内容开展进一步地探究，不仅可以进一步培养学生的探究意识与探究能力，而且可以帮助学生更加深刻地理解“类比与迁移”“特殊与一般”等数学思想。

（2）实施策略。

①给学生发现问题、提出问题机会。

提出有价值的数学问题，是开展数学探究活动的起点。因此，在教学中，既要创造条件、给学生提出问题的机会，还要鼓励学生大胆质疑已有的结论与方法，培养学生的问题意识和质疑精神。

②创设问题情境，驱动学生思维。

“问题”是引发学生思考、开展数学探究活动的“助推器”。数学探究活动，就是学生围绕某个有意义的数学问题，通过自主探究、合作研究等学习方式，最终解决问题的过程。因此，创设“好”的数学问题情境，对学生开展数学探究活动能够起到推导作用。

③把握问题本质，形成认知策略。

数学探究的关键是形成解决问题的策略，而形成解决问题策略的前提，是要把握问题本质。形成解决问题策略，既是完成数学探究活动的关键步骤，也是发展学生认知策略的基本环节。认知策略是“支配个体自身学习、记忆和思维行为的性能”。“数学教学不仅仅只关注数学知识的学习，更重要的是发展学生的认知策略、完善学生的认知结构。

2.源于教材的數学探究活动。

源于教材的数学探究活动，就是结合高中数学教材的相关内容（可以是教材的一些定理或性质，也可以是教材中的例题或习题），由教师或学生提出探究主题，开展数学探究活动。这样，既可以培养学生的探究能力，还可以促进学生形成科学的态度和不怕困难的顽强精神。

（1）选材原则。

①趣味性原则。

一旦学生对新知识、新方法充满了兴趣，对现有的客观世界和未知世界充满了好奇和探求的欲望，那么，其学习的热情与创新的火花将被点燃并熊熊燃烧。教师要成为学生探究火花的点燃者、探究激情的促进者，这就需要教师能够从学生的角度出发，用稍显“稚嫩”的眼光，去发现、提出那些能够激发起学生探究欲望的、有趣的探究主题。

②参与性原则。

开展数学探究活动的最终目的，是为了促使学生形成良好的探究意识，能够在今后的数学学习过程中，自主地确立探究主题，开展数学探究活动，从而使得数学探究活动成为学生的自觉行动。因此，在选取相关的探究素材时，应当充分发挥学生主体参与的热情，让他们自主地确立探究主题，开展数学探究。

③发展性原则。

开展数学探究活动的目的，也是为了充分调动学生的学习积极性、挖掘学习潜能、提升数学能力。因此，在确立探究主题时，应当选取那些能够促进学生发展的探究课题。这些探究课题，可以是某些数学结论的深入与推广，不同数学内容之间的联系与类比，也可以是发现或探索对自己而言是“新”的结果。

（2）实施策略。

①由教师提出问题到学生自主提出问题。

“发现和提出有意义的数学问题”是开展探究活动的起点，也是发现与创新的前提。因此，教师要引导学生，用好奇的眼光看数学，对所学的数学知识敢于质疑并大胆猜想，进而能结合教材的相关内容，自主地发现问题、提出问题，确立探究主题。教师可以通过诸如“你还有其他的想法吗”“你有什么疑问吗”等问题，让学生主动质疑、提出问题，实现由教师提出探究主体、学生被动地开展数学探究活动，向由学生自主开展数学探究活动的转变。

②在知识方法类比迁移中形成探究习惯。

开展数学探究活动，一方面可以促进学生深刻地理解领会所学的知识，掌握知识背后所蕴含的数学思想方法；另一方面，也是让学生在一系列的数学探究活动中，形成探究习惯，为创新意识的形成奠定良好的基础。这样，既有助于学生从整体上把握数学的知识与方法，也有助于学生形成探究习惯、发展探究能力。

经过若干年的教学实践，笔者深深地感受到：开展数学探究活动，不仅可以让学生更加深刻地理解数学，而且还能够促进学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养形成，培养学生的创新精神和实践能力，从而使学生逐步地“会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维分析世界、会用数学的语言表达世界”。

【参考文献】

[1]R·M·加涅，等.教学设计原理（第五版）[M].王小明，等，译.上海：华东师范大学出版社，2007.

[2]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3]喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.

[4]黄燕玲，喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（03）.

[5]张云飞.数学探究活动应植根于日常教学活动之中[J].数学通报，2008（07）.