在操作中探究 于变式中生成

周杰

[摘 要] 认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、推理、验证等活动过程. 本文以“线段的轴对称性”为例，阐述操作、变式在教学中的作用.

[关键词] 操作；探究；变式；设计说明

分析教材

“线段的轴对称性”这节课是在学生已经学习了轴对称和轴对称图形、轴对称的性质后继续学习的一节课，本节内容既是前面知识的深化和应用，又是后续学习“角的轴对称性”“等腰三角形的轴对称性”的基础，它所采用的“操作—探究—归纳—证明”是今后研究几何的基本数学思想方法. 因此，本节内容在教材中占据着至关重要的地位，起着承上启下的作用.

确定学生认知历程维度

本节课的授课对象是初二学生，该阶段的学生经历了一年的初中学习，基本掌握了平面几何图形的特征和类比归纳方法，但动手操作能力、语言表达能力等方面还有待加强. “线段的轴对称性”“角的轴对称性”“等腰三角形的轴对称性”这几个课时的学习有着相似的地方，需要用类比的方法进行探究，所以上好起始课显得尤为关键. 根据布鲁姆教育目标分类学原理，确定本节课学生的认知历程维度如表1.

学生之前所学习的垂直平分线的概念是本节课的事实性知识，需要回忆才能进行后续探究，因此本节课的研究重点是线段的垂直平分线的相关性质，所以垂直平分线的性质定理应作为本节课的概念性知识进行呈现. 通过本节课的学习，教师需要让学生感悟到探究数学性质时的一般路径和方法，并培养学生思维的严谨性和表达的条理性——初中阶段需要通过合情推理、演绎推理来有条理地进行说理，得出性质. 因此，本节课的教学设计就是围绕这样的程序性知识来串联各项活动，即操作—探究—归纳—证明.

分层设定教学目标

根据三维目标要求，分层设定教学目标如下：（Level 1）探索并掌握线段垂直平分线的性质，并能运用性质解决实际问题；（Level 2）经历探索线段轴对称性的過程，进一步体验轴对称的性质，发展空间观念；（Level 3）在“操作—探究—归纳—证明”的过程中发展合情推理能力和演绎推理能力. 围绕以上教学目标，本课时着重采用实验操作及变式探究组织教学.

分步设计教学流程

1. 创设情境，激发兴趣

师：同学们，前面我们已经学过了轴对称和轴对称图形，也了解了轴对称的相关性质，线段是我们日常生活中最常遇到的几何图形，它是轴对称图形吗？

生（齐）：是.

师：为什么说线段是轴对称图形呢？

生（齐）：沿着一条线折叠后可以重合.

设计说明 此环节，教师引导学生从轴对称图形的概念角度来进行判断，在初步判断的基础上，引入实验操作，让学生动手验证，为下一教学环节的设计做好铺垫.

2. 引入操作，探究新知

（1）活动一：画一画，折一折

师：请在你手中的空白纸上画一条线段AB，并验证你的想法.

验证后归纳：线段是轴对称图形.

设计说明 课前每位学生发一张课堂用纸，让学生在纸上任意画线段AB，然后通过折叠、重合得出结论. 此时教师需要追问：折痕所在的直线是什么？学生可能回答对称轴或垂直平分线，对于出现的两种回答，教师均需给予肯定. 接着，教师继续追问：刚刚有同学说这条线不仅是线段的对称轴，而且是线段的垂直平分线，那么如何去说明呢？请同学们把这条线画出来，标记为直线l，进行说理. 引导学生从垂直、平分两个角度去验证.

（2）活动二：猜一猜，量一量

师：线段AB的垂直平分线l上有一点P，连接PA，PB，猜想PA与PB有何数量关系，量量看！再任意找一点Q，连接QA，QB，QA与QB还有上述数量关系吗？

设计说明 设计此活动的目的，旨在让学生从动手量的过程中发现线段之间的相等关系. 通过任意找一点Q，让学生感知这样的结论应该具备一般性，为下面的证明设置悬念，激发学生的学习欲望.

（3）活动三：想一想，证一证

师：你能用之前所学的知识证明你的结论吗？

设计说明 大部分学生都能用之前学过的全等理论解释这样的规律，此时教师可以引导学生从翻折的角度（即图形运动的角度）进行说理，为后续学习角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性打好基础.

（4）活动四：归纳定理

文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

符号语言：∵PO垂直平分线段AB于点O（即PO⊥AB，OA=OB），

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.

图形语言：如图1.

设计说明 通过数学三大语言（符号语言、图形语言、文字语言）的板书呈现，规范学生书写的同时，让学生加深对知识的理解和记忆，从而提升应用数学的意识.

3. 运用新知，注重变式

例1 已知：如图2，线段AB的垂直平分线l分别与PA，AB交于点Q和点E，PA=12，PB=9，求△PQB的周长.

变式1 如图2，线段AB的垂直平分线l分别与PA，AB交于点Q和点E，PA=12，△PQB的周长为21，求PB的长.

变式2 如图2，线段AB的垂直平分线l分别与PA，AB交于点Q和点E，PB=9，△PQB的周长为21，求PA的长.

变式3 如图3，若点P是线段AB的垂直平分线l外一点，那么PA与PB还相等吗？说说你的理由.

设计说明 设计变式1、变式2的目的是让学生熟练运用线段垂直平分线的性质去解决实际问题，通过给定边长求周长、给定周长求边长的变式练习，得到“知二求一”的简单模型，体会“转化”的数学思想. 设计变式3的目的是让学生在讨论中认识到：不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离不相等，从而从侧面证实：只有线段垂直平分线上的点到线段两端的距离才相等，为下一节课学习线段垂直平分线的判定打下良好的学习基础. 变式3还注重引导学生得出：初中阶段体现线段不等关系的定理要从三角形三边关系方面进行思考，并尝试利用这样的定理进行证明.

例2 如图4，DM，EN分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，两条垂直平分线分别交BC边于D，E两点，已知BC=10，求△ADE的周长.

变式 如图5，EN，DM分别是△ABC中AC，AB边的垂直平分线，两条垂直平分线分别交BC边于E，D两点，已知BC=10，你能求出△ADE的周长吗？若不能，还需要添加什么条件？

设计说明 例2的设计重在让学生感受遇到两条垂直平分线时的处理机制. 变式设计，能让学生感受到图形中的变与不变，感受到图形的变化给结论带来的改变. 通过变式，能让学生更加清晰、明了图形之间的线段关系，从而巩固线段垂直平分线的性质定理.

一些思考

操作探究教学的优点在于，能让学生通过动手实践增强感性认识，丰富大脑想象，促进学生把外界生活实际和自身思维活动紧密联系起来，能促使其感性认识深化为理性认识. 上述教学设计通过设计诸如“画一画，折一折”“猜一猜，量一量”“想一想，证一证”等活动，让学生多感官参与到学习中，从而提高课堂学习效率. 教学过程中渗透了“从特殊到一般”“转化”的思想，建构了探究数学的一般方法，明确了数学学习的一般路径，为学生的可持续发展奠定了坚实的基础.

例题变式在检验学生对知识、技能掌握情况的同时，通过变换问题中的条件或结论使学生掌握研究对象的本质属性，其一定程度上克服和减少了思维定式，增强了学生主动探究的欲望，能使学生真正成为课堂的主人. 上述教学设计中的例题变式使得一题多用，多题重组，唤起了学生的好奇心和求知欲，特别是例2的变式，能培养学生的“问题”意识，通过设计开放性问题，能培养学生的发散思维，使定理在变式中得以升华.