一种直觉模糊熵的计算公式

2018-09-26黄天民胡忠雪

西华师范大学学报(自然科学版) 2018年3期

徐颖，黄天民，胡忠雪，曾庄

(西南交通大学数学学院，成都 611756)

0 引言

1965年，美国加利福尼亚大学控制论教授Zadeh[1-2]首先发表了题为《模糊集》的论文。但模糊集仅通过隶属度刻画论域中某元素对于某集合的隶属程度，过于单一且不能描述具有非此非彼性的问题。于是，在模糊集的基础上，1986年，保加利亚学者Atanassov[3]提出直觉模糊集，增加了一个新的属性参数—非隶属度，更细腻地去描述模糊概念，既突破了传统的二值逻辑束缚又可以描述具有非此非彼性的问题。直觉模糊集成为处理和描述具有不确定性和未知性问题的强有力工具。

直觉模糊熵是度量直觉模糊集不确定性和未知性的重要工具。1996年，Burillo[4]等首先提出用直觉模糊熵来刻画直觉模糊集的不确定性和未知性。2001年，Szmidt[5]等利用距离度量，提出另一种直觉模糊熵的计算公式。随后，王毅[6]等发展了Szmidt直觉模糊熵。2006年，Zeng[7]等基于相似度量，提出了直觉模糊熵的计算公式。2009年，彭芳艳[8]等基于不确定度和未知度，提出了直觉模糊熵的计算公式。后来，许多学者又相继提出了新的直觉模糊熵[9-18]。虽然诸多学者提出了直觉模糊熵的计算公式，但一些计算公式存在一定的局限性。

本文利用余弦函数构造直觉模糊熵的计算公式，验证该公式满足直觉模糊熵公理化定义。最后将所提出的公式与现有的直觉模糊熵公式应用于实例，说明所提出公式的有效性。

1 预备知识

定义1[13]设X是一个非空集合，则称A=〈xi,uAxi,vAxixi∈X〉为直觉模糊集IFSs，其中uAxi和vAxi分别为X中元素xi关于A的隶属度和非隶属度，即uA:X→0,1,xi∈X→uAxi∈0,1,vA:X→0,1,xi∈X→vAxi∈0,1,且满足条件0≤uAxi+vAxi≤1。

定义2[13]设X中的任一直觉模糊集，若πAxi=1-uAxi-vAxi,xi∈X,则称πAxi为元素xi属于A的犹豫度或者不确定度，显然0≤πAxi=1-uAxi-vAxi≤1,xi∈X。

定义3[11]实值函数E:IFSsX→0,1称为直觉模糊熵，若满足如下公理化要求：

1)EA=0⟺A是分明集；

2)EA=1⟺uAxi=vAxi=0,∀xi∈X;

3)EA=EAC;

5)当πAxi=πBxi时，uAxi-vAxi≤uBxi-vBxi,∀xi∈X,或当πAxi=πBxi时，uAxi-vAxi≤uBxi-vBxi,∀xi∈X,πAxi≥πBxi,则EA≥EB。

2 直觉模糊熵计算公式

根据公理化定义3，定义如下的直觉模糊熵计算公式：设A=〈xi,uAxi,vAxixi∈X〉,A∈IFSsX,X=x1,x2,…,xm,

(1)

直觉模糊熵是度量直觉模糊集不确定性和未知性的重要工具。该计算公式通过隶属度与非隶属的绝对值来刻画直觉模糊集的不确定性对直觉模糊熵的影响，通过犹豫度来刻画直觉模糊集的未知性对直觉模糊熵的影响，较全面地度量了直觉模糊集的模糊性。而且利用余弦函数来构造直觉模糊熵的计算公式较容易体现出隶属度和非隶属的绝对值不变时，直觉模糊熵是关于犹豫度的增函数；在犹豫度不变时，直觉模糊熵是关于隶属度和非隶属的绝对值的减函数。

定理1 式(1)E(A)是一个直觉模糊熵。

3 与现有直觉模糊熵的比较

例1[11]设有直觉模糊集A1=〈x,0.1,0.9〉x∈X,A2=〈x,0.1,0.7〉x∈X,A3=〈x,0.2,0.7〉x∈X,A4=〈x,0.1,0.5〉x∈X,A5=〈x,0.2,0.5〉x∈X,A6=〈x,0.2,0.4〉x∈X,

A7=〈x,0.4,0.5〉x∈X,A8=〈x,0.3,0.4〉x∈X,A9=〈x,0.3,0.3〉x∈X,A10=〈x,0.5.0.5〉x∈X,A11=〈x,0,0〉x∈X。用文献[11]和[12]以及本文的直觉模糊熵计算公式对直觉模糊集的不确定性和未知性进行度量，得到的结果如表1所示。

表1 三种直觉模糊熵计算结果的比较

通过分析数据可知，文献[11]的方法无法区分直觉模糊集A4，A5，A7，文献[17]改进的直觉模糊熵计算公式是文献[11]的推广，于是文献[17]中的计算公式也存在局限性；文献[12]的方法在区分A7，A8时，A7的直觉模糊熵比A8的直觉模糊熵要大，不符合实际也不符合直觉，通过对比发现，本文方法能够较好地对直觉模糊集的不确定性和未知性进行度量。