一道空间向量题的随堂演绎

程海龙

摘 要：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，它是解决空间中图形的位置关系和度量问题的非常有效的工具，而江苏高考的附加部分空间向量也是一个重要内容，其中的一个重点：求空间角，本文以一道题为例，引发相关内容的复习。

关键词：高中数学；空间向量；随堂演绎

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）13-081-1

【试题呈现】

在四棱锥P-ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA=AB=2BC=2。

（1）求二面角P-CD-AB的正弦值；

（2）试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD。

【解法展示】

解：（1）因为PE⊥底面ABCD，过E作ES∥BC，则ES⊥AB。

以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴，ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），

【错误提示一】

问（1）考查二面角的正弦值，而不是线面所成角的正弦值，学生不注意细节，直接写了64，要提醒学生仔细读题。

【相关知识复习】

1.相关空间角的求解方法：（1）求异面直线所成的角：转化为向量与向量的夹角（或其补角）；（2）求直线与平面所成的角θ可先求出平面的法向量n与直线的方向向量l的夹角，有sinθ=|cos〈n，l〉|；（3）求二面角的大小，可先求出两个平面的法向量所成的角（或其补角）。

2.将立体几何问题转化为空间向量计算问题也体现了化归思想，用空间向量解决立体几何问题的基本方法（分三步）：（1）向量表示（把立体几何问题中的点、线、面等元素用空间向量表示）；（2）向量运算（针对立体几何问题，进行空间向量运算）；（3）回归几何（对空间向量运算结果作出几何意义上的解释）。

3.解题过程中，学生必须通过训练达到的能力：（1）正确建立空间直角坐标系，并且能快速写出各点的坐标。本题当中就有学生以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，添加z轴建立空间直角坐标系，也可，但不方便xOz平面内点的表示；（2）能够灵活运用相关公式，并能正确回答题中的问题，就是要看清题目，本题错误率很高；（3）正确理解线线角，线面角和面面角与向量夹角间的关系，这对二轮复习的高三学生问题不太大。

【错误提示二】

问（2）很多学生无从下手，无法联系相关知识。

【相关知识复习】

要用“探究”“思考”等方式提出问题，引导学生积极思维，对相应内容进行深入研讨。例如：（1）如何用空间向量的形式表示EM⊥平面PCD，学生自然会想到EM是平面PCD的法向量从而EM∥问（1）中n，设M点的坐标为（x1，y1，z1），有y1=2x1，z1=3x1；（2）如何对各种几何元素及其关系进行恰当的向量表示和坐标表示，我们还需要一个等式才能解出三个变量，等式从何而来？学生想法很多：（ⅰ）利用空间向量基本定理，即将有关向量用空间的一组基底表示出来，然后通过向量的有关运算求解，PM=λPC+μPD学生能想到（类似的CM=λCP+μCD）；（ⅱ）学生会想到线面垂直的性质定理，有PM⊥n，很多时候空间向量方法与综合法是不分家的；（ⅲ）学生也会想到等体积法求出EM的模，所以要立足于课本，夯实基础，理解和掌握课本中的基本概念和基本运算，学生的能力是无限的。不同学生的思维风格和解决问题的习惯是不同的，比如分析型思维风格的学生倾向于从局部到整体的解决问题的方式，综合型思维风格的学生则恰好相反。学生应当根据个人的学习习惯、思维风格等选择自己的方法。空间向量也需要综合法的帮助。要鼓勵学生灵活运用空间向量方法和综合法，这样可以帮助学生全面发展。

【教学反思】

1.重视空间角的计算，异面直线所成角要注意范围，线面所成角，二面角要注意转化。要看清题目求得是哪类角再动笔。

2.逻辑证明和空间向量有机结合，把几何逻辑推理和向量的代数运算有机结合起来，为多角度展开解题思路提供广阔的空间。强调空间向量方法与综合法的链接，相互渗透，相互促进，共同使用。