一个具退化强制和零阶项的拟线性方程解的存在性

李仲庆，付 军

(吉林师范大学数学学院，吉林 四平 136000)

1 问题的提出与主要结果

研究如下拟线性椭圆型方程的L∞正则性以及弱解的存在性：

(1)

其中Ω是RN中具有光滑边界∂Ω的有界域.假设当1

引理1如果函数φ：R+→R+非负不增并且满足

其中k0非负，α>0并且β>1.那么

φ(k)=0，∀k≥k0+d，

以下是本文的主要结果.

‖u‖L∞(Ω)≤C.

其中常数C仅依赖于γ，α，N，p，‖f‖Lm(Ω)，不依赖于u本身.

2 结果的证明

考虑问题(1)对应的逼近方程

(2)

证明主要采用De Giorgi迭代技术，关键在于得到迭代关系式.因为同时具有退化强制项和零阶项，此时选取Gk(un)=un-Tk(un)是行不通的 (事实上，文献[8]选取Gk(un)作为检验函数做最大模估计是限制0≤γ<1的情形)，所以最大的难点是选取新的合适的检验函数.

令k>0，定义

并选取H(un)作为方程(2)的一个检验函数 (这个检验函数受Boccardo和Brezis[9]启发得到).记

Ak={x∈Ω：|un(x)|>k}，

则有

(3)

接下来估计(3)式的各积分项并且向迭代引理靠拢.

首先，关注左端项，

(4)

其次，运用文献[9]中的不等式，有

(1+|un|)(γ-1)(p-1)-(1+k)(γ-1)(p-1)=
(1+|un|)[γ(p-1)-p+2]-1-(1+k)[γ(p-1)-p+2]-1≤

(5)

这样就有

(6)

所以对(L2)有

(7)

(8)

(9)

对(9)的右端积分项运用Hölder不等式，

(10)

其中|A|表示集合A的Lebesgue测度.

运用Sobolev嵌入定理，

(11)

联立(10)和(11)式可得

(12)

(13)

从而

根据迭代引理，

其中常数C仅依赖于γ，α，N，p，‖f‖Lm(Ω)，但不依赖于n.这样就得到了un的一致L∞估计.

证明选取un作为方程(2)的一个检验函数，得到

利用条件(H1)与un的L∞有界性，去掉非负项可得

注意到

从而

(14)

(15)

(16)

(17)

存在ξ∈Lp′(Ω，RN)，使得

(18)

证明主要想法来源于文献[12].在(2)式中选取un-u作为一个检验函数，则有

首先对主部扩散项A1做如下分解

根据假设条件(H1)，(17)式和Vitali定理，

结合(16)式可得A11=ω(n).

其次估计低阶项.根据单调性和(14)式有

最后估计右端项.由fn在Lp′(Ω)中以及(17)式可得B1=ω(n).

综合上述估计，条件(H1)和un的L∞估计，有

即