Hom-Leibniz超代数的广义导子

姚光同，贾 璐

(山东工商学院数学与信息科学学院，山东 烟台 264005)

1 预备知识

Hom-型代数是在原有代数基础上，将其定义代数的等式用一个或几个线性映射(称为扭曲映射)进行扭曲，从而得到的一类新的代数.当扭曲映射是恒等映射时，Hom-型代数便退化为原来的代数.为了刻画Witt代数和Virasoro代数的某些形变结构，Hartwig等[1]给出Hom-李代数的概念，从而开始了对Hom-型代数的理论研究.Hom-型代数与数论、Yang-Baxter方程、量子群等都有联系.[2-5]

1993年，Loday等[6]给出一种非对称代数的同调，从而Leibniz代数的概念被确定.与李代数相比，Leibniz代数的定义中少了反对称的条件，因此Leibniz代数是李代数的推广，Leibniz超代数是李超代数的推广.[7]Hom-Leibniz代数可以看成是Hom-李代数的推广[8]，因此，Hom-Leibniz超代数可以看成是Hom-李超代数的推广[9]，即Hom-Leibniz超代数包含Hom-李超代数、Hom-李代数、Hom-Leibniz代数、李代数、Leibniz超代数等.

导子和广义导子代数在李(超)代数的研究中有重要的地位.[10-11]本文将文献[4-5]中的结果推广至Hom-Leibniz超代数，主要研究Hom-Leibniz超代数L的广义导子(导子代数Der(L)、拟导子代数QDer(L)、中心导子代数ZDer(L)、型心代数C(L)、拟型心代数QC(L))的重要性质及其之间的关系.

定义1.1[5]设(L，[，]，α)是一个三元组.其中：L为域K上的Z2-阶化线性空间；[，]：L×L→L满足偶双线性，即[Lθ，Lμ]⊆Lθ+μ；α：L→L是偶线性映射.记hg(L)是L的所有齐次元的集合，(-1)x的x表示x的阶化次数.若∀x，y，z∈hg(L)，有：(1) [x，y]=-(-1)xy[y，x]；(2) (-1)zx[α(x)，[y，z]]+(-1)xy[α(y)，[z，x]]+(-1)yz[α(z)，[x，y]]=0.则称(L，[，]，α)是Hom-李超代数.

定义1.2[9]设(L，[，]，α)是一个三元组.其中：L为域K上的Z2-阶化线性空间；[，]：L×L→L满足偶双线性，即[Lθ，Lμ]⊆Lθ+μ；α：L→L是偶线性映射.若∀x，y，z∈hg(L)，有

(-1)zx[α(x)，[y，z]]+(-1)xy[α(y)，[z，x]]+(-1)yz[α(z)，[x，y]]=0，

则称(L，[，]，α)是Hom-Leibniz超代数.这里(-1)x的x表示x的阶化次数.

显然，Hom-李超代数是特殊的Hom-Leibniz超代数.

定义1.3[9]设(L，[，]，α)是一个Hom-Leibniz超代数.若∀x，y∈L，有α([x，y])=[α(x)，α(y)]，则L称为保积的Hom-Leibniz超代数.

定义1.4[9]设(L，[，]，α)是一个Hom-Leibniz超代数.L的子空间S称为L的子代数，若[S，S]⊆S；L的子代数S称为Hom-子代数，若α(S)⊆S；L的子代数I称为T的理想，若[I，L]⊆I且[L，I]⊆I.并且，若[I，I]=0，则称I为L的交换理想.设I是L的非空子集，若Z(L)={x∈L|[x，y]=[y，x]=0，∀y∈L}，则称Z(L)为L的中心.

2 主要结果

证明由Hom-李超代数定义直接验证即可.

定义2.1设(L，[，]，α)是一个保积的Hom-Leibniz超代数.次数为θ的线性映射D：L→L若满足：Dα=αD；[D(x)，αk(y)]+(-1)θx[αk(x)，D(y)]=D([x，y])，∀x∈hg(L)，y∈L.则称其为L的αk-导子，其中k∈N.

定义2.2设(L，[，])是域K上的Hom-Leibniz超代数，D∈Endθ(L).若存在D′，D″∈Endθ(L)，使得

Dα=αD，D′α=αD′，D″α=αD″，

[D(x)，αk(y)]+(-1)θx[αk(x)，D′(y)]=D″([x，y])，∀x∈hg(L)，y∈L，k∈N.

则称D是L的αk-广义导子.将αk-广义导子全体构成的集合记为GDerαk(L)，令

定义2.3设(L，[，])是域K上的Hom-Leibniz超代数，D∈Endθ(L).若存在D′∈Endθ(L)，使得：Dα=αD；D′α=αD′；[D(x)，αk(y)]+(-1)θx[αk(x)，D(y)]=D′([x，y])，∀x∈hg(L)，y∈L，k∈N.则称D是L的αk-拟导子.将αk-拟导子全体构成的集合记为QDerαk(L)，令

定义2.4设(L，[，])是域K上的Hom-Leibniz超代数，D∈Endθ(L)且

Dα=αD，[D(x)，αk(y)]=(-1)θx[αk(x)，D(y)]=D([x，y])，∀x∈hg(L)，y∈L，k∈N.

则称D是L的αk-中心导子.将αk-中心导子全体构成的集合记为ZDerαk(L)，令

定义2.5设(L，[，])是域K上的Hom-Leibniz超代数，D∈Endθ(L)且

Dα=αD，[D(x)，αk(y)]=(-1)θx[αk(x)，D(y)]=D([x，y])，∀x∈hg(L)，y∈L，k∈N.

则称D是L的αk-型心.将αk-型心全体构成的集合记为Cαk(L)，令

定义2.6设(L，[，])是域K上的Hom-Leibniz超代数，D∈Endθ(L)且

Dα=αD，[D(x)，αk(y)]=(-1)θx[αk(x)，D(y)]，∀x∈hg(L)，y∈L，k∈N.

则称D是L的αk-拟型心.将αk-拟型心全体构成的集合记为QCαk(L)，令

根据以上定义，容易证明

ZDer(L)⊆Der(L)⊆QDer(L)⊆GDer(L)⊆End(L)，C(L)⊆QC(L)⊆QDer(L)⊆End(L).

证明(1) 设D1∈(GDerαk(L))θ，D2∈(GDerαs(L))μ.则对∀x，y∈hg(L)，有

因此∀x，y∈hg(L)，

设D1∈Cαk(L)，D2∈Cαs(L).则∀x，y∈hg(L)，

[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=[D1D2(x)，αk+s(y)]-(-1)θμ[D2D1(x)，θk+s(y)]=
D1([D2(x)，αs(y)])-(-1)θμD2([D1(x)，αk(y)])=[D1，D2]([x，y]).

同理，

(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，[D1，D2](y)]=[D1，D2]([x，y])s.

(2) 设D1∈ZDerαk(L)，D2∈ZDerαs(L).则对∀x，y∈hg(L)，有

[[D1，D2]([x，y])]=D1D2([x，y])-(-1)θμD2D1([x，y])=
D1([D2(x)，αs(y)]+(-1)μx[αs(x)，D2(x)])=0，

[[D1，D2](x)，αs+k(y)]=[(D1D2-(-1)θμD2D1)(x)，αs+k(y)]=
-(-1)θμ(D2([D1(x)，αky])-(-1)μ(θ+x)[αs(D1(x))，D2(αky)])=
-(-1)μ(θ+x)[D1(αs(x))，αk(D2(y))]=0.

因此[D1，D2]∈(ZDerαk+s(L))θ+μ，从而ZDer(L)是Der(L)的Hom-理想.

命题2.2设(L，[，]，α)是一个保积的Hom-Leibniz超代数，则：(1) [Der(L)，C(L)]⊆C(L)；(2) [QDer(L)，QC(L)]⊆QC(L)；(3) [QC(L)，QC(L)]⊆QDer(L)；(4) C(L)⊆QDer(L).

证明(1) 设D1∈(GDerαk(L))θ，D2∈(Cαs(L))μ，∀x，y∈hg(L).则有

[D1D2(x)，αk+s(y)]=D1([D2(x)，αs(y)])-(-1)θ(μ+x)[αk(D2(x))，D1(αs(y))]=
D1([D2(x)，αs(y)])-(-1)θ(μ+x)[D2(αk(x))，αs(D1(y))]=
D1D2([x，y])-(-1)θ(μ+x)(-1)μx[αk+sk(x)，D2D1(y)]，

且

[D2D1(x)，αk+s(y)]=D2([D1(x)，αk(y)])=
D2D1([x，y])-(-1)θxD2([αk(x)，D1(y)])=
|D2D1([x，y])-(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，D2D1(y)].

因此，

[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=[D1D2(x)，αk+s(y)]-(-1)θμ[D2D1(x)，αk+s(y)]=
D1D2([x，y])-(-1)θμD2D1([x，y])=[D1，D2]([x，y]).

另一方面，

[D1D2(x)，αk+s(y)]=D1([D2(x)，αs(y)])-(-1)θ(μ+x)[αk(D2(x))，D1(αs(y))]=
(-1)μx(D1([αs(x)，D2(y)])-(-1)θ(μ+x)[αk+s(x)，D2D1(y)])=
(-1)μx[D1(αs(x))，αk(D2(y))]+(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，D1D2(y)]-
(-1)θμ(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，D2D1(y)]，

[D2D1(x)，αk+s(y)]=(-1)μ(θ+x)[D1(αs(x))，αk(D2(y))]，

则

[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=[D1D2(x)，αk+s(y)]-(-1)θμ[D2D1(x)，αk+s(y)]=
(-1)(θ+μ)x([αk+s(x)，D1D2(y)]-(-1)θμ[αk+s(x)，D2D1(y)])=
(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，[D1，D2](y)].

因此[D1，D2]∈(Cαs+k(L))θ+μ，[Der(L)，C(L)]⊆C(L).

结论(2)的证明同结论(1)的证明类似，此处略去.

(3) 设D1∈(QCαk(L))θ，D2∈(QCαs(L))μ，∀x，y∈hg(L).则

[[D1，D2](x)，αk+s(y)]+(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，[D1，D2](y)]=0.

设D′=0，因此[D1，D2]∈(QDerαk+s(L))θ+μ.

结论(4)与结论(1)—(3)的证明类似.

定理2.2设(L，[，]，α)是一个保积的Hom-Leibniz超代数，其中α是满射，Z(L)是L的中心.则[C(L)，QC(L)]⊆End(L，Z(L)).特别地，若Z(L)={0}，则[C(L)，QC(L)]={0}.

证明设D1∈(GDerαk(L))θ，D2∈(Cαs(L))μ，∀x，y∈hg(L).因为α是满射，所以∀y′∈L，∃y∈L使得y′=αk+s(y).则

[[D1，D2](x)，y′]=[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=
[D1D2(x)，αk+s(y)]-(-1)θμ[D2D1(x)，αk+s(y)]=
D1([D2(x)，αs(y)])-(-1)μx[αsD1(x)，D2αk(y)]=
D1([D2(x)，αs(y)])-(-1)μxD1([αs(x)，D2(y)])=
D1([D2(x)，αs(y)]-(-1)μx[αs(x)，D2(y)])=0.

同理，

[y′，[D1，D2](x)]=[αk+s(y)，D1D2(x)]-(-1)θμ[αk+s(y)，D2D1(x)]=
D1([D2(y)，αs(x)]-(-1)μx[D2(y)，αs(x)])=0.

因此[D1，D2](x)∈Z(L)，且[D1，D2]∈End(L，Z(L)).特别地，若Z(L)={0}，易知[C(L)，QC(L)]=0.

定理2.3设(L，[，]，α)是一个保积的Hom-Leibniz超代数，α是满射.若Z(L)={0}，则QC(L)是一个Hom-李超代数，当且仅当[QC(L)，QC(L)]=0.

证明设D1∈(QCαk(L))θ，D2∈(QCαk(L))μ，x∈hg(L).因为α是满射，则∀y′∈hg(L)，存在y∈hg(L)使得y′=αk+s(y).因为QC(L)是Hom-李超代数，则[D1，D2]∈(QCαk+s(L))θ+μ，即

[[D1，D2](x)，y′]=[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，[D1，D2](y)].

利用命题2.2，

[[D1，D2](x)，y′]=[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=-(-1)(θ+μ)x[αk+s(x)，[D1，D2](y)].

因此[[D1，D2](x)，y′]=[[D1，D2](x)，αk+s(y)]=0，即[D1，D2]=0.

充分性显然.

[xλ⊗ti，xθ⊗tj]=[xλ，xθ]⊗ti+j，

xλ，xθ∈hg(L)，i，j∈{1，2}是一个Hom-Leibniz超代数.

证明设xλ，xθ，xμ∈hg(L)且i，j，k∈{1，2}，有

记xt(xt2)=x⊗t(x⊗t2).

φ(D)(at+bt2+ut2)=D(a)t+D′(b)t2，

其中D′和D满足定义2.3，a∈hg(L)，b∈hg([L，L])，u∈hg(U)且d(a)=d(b)=d(u).

证明(1) 若φ(D1)=φ(D2)，则对任意a∈hg(L)，b∈hg([L，L])和u∈hg(U)，有

φ(D1)(at+bt2+ut2)=φ(D2)(at+bt2+ut2)，

故D1(a)=D2(a)，D1=D2，即φ是单射.

假设存在D″使得

φ(D)(at+bt2+ut2)=D(a)t+D″(b)t2，

[D(x)，αk(y)]+(-1)Dx[αk(y)，D(y)]=D″([x，y])，

则有D′([x，y])=D″([x，y]).因此D′(b)=D″(b).故

φ(D)(at+bt2+ut2)=D(a)t+D′(b)t2=D(a)t+D″(b)t2，

可得φ(D)由D决定.

对任意x，y∈hg(L)，有

定义映射f：Lt+[L，L]t2+Ut2→Lt2使得

(ɡ-f)(Lt)=ɡ(Lt)-ɡ(Lt)∩Lt2=ɡ(Lt)-Lt2⊆Lt，(ɡ-f)(Ut2)=0，

因此存在D，D′∈End(L)，使得∀a∈hg(L)，b∈hg([L，L])，有

(ɡ-f)(at)=D(a)t，(ɡ-f)(bt2)=D′(b)t2，

f(at+bt2+ut2)=φ(D)(at+bt2+ut2)=D(a)t+D′(b)t2.