左拟中插式Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空间中同时逼近的强逆不等式

韩领兄，高会双

(内蒙古民族大学数学学院，内蒙古 通辽 028043)

1 预备知识

N函数M(u)是幂函数|u|p(p>1)的推广，而Orlicz空间是熟知的Lp(p>1)空间的推广.

定义1.1[1]称定义在(-∞，+∞)上的实值函数M(u)为N函数，如果其具有下列性质：

(1)M(u)为偶的连续凸函数，且M(0)=0；

(2) 当u>0时，M(u)>0；

对于给定的N函数M(u)，其余N函数记为N(v).

定义1.2[1]称N函数M(u)满足Δ2条件(简记为M(u)∈Δ2)，是指存在k>0，u0>0，当u≥u0时，

M(2u)≤kM(u).

由N函数M(u)生成的Orlicz类LM[0，1]，是指满足

的可测函数u(x)的全体.

有限的可测函数u(x)的全体.

其中

连续模ωr，φ(f，t)M与K-泛函Kr，φ(f，tr)M等价[2]，即存在常数k>0，使得

k-1ωr，φ(f，t)M≤Kr，φ(f，tr)M≤kωr，φ(f，t)M.

其中：

X=x(1-x)，(n)j=n(n-1)…(n+j-1)，

2 一些引理

引理2.1[4]对于j≥1，r∈N，有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

‖G‖M≤C‖f‖M.

引理2.4[7]对于r，s∈N0=N∪{0}，有

证明由(3)式，

(6)

由Hölder不等式以及(1)，(4)—(5)式得

利用引理2.3，

(7)

结合(6)—(7)式可得引理结论.

引理2.7[6]对于n≥2r，有

证明对于x∈[0，1]，r，s∈N0，由引理2.4得

(8)

由(2)与(8)式，

(9)

(10)

由(9)—(10)式，引理得证.

引理2.10[6]对于f∈W2r+1(φ)，则

3 主要结果

(11)

当x∈En时，nφ2(x)≥1，从而：

…

(12)

由引理2.6，

(13)

结合(11)—(13)式，

(14)

下面估计不等式(14)中右端的第一个和最后一个式子.利用引理2.5得

(15)

由引理2.8与引理2.9，

(16)

结合(14)—(16)式，

(17)

‖φ2rg(2r)‖M，[0，1]≤C‖φ2rg(2r)‖M，En.

(18)

再由(17)—(18)式得

(19)

选取满足l≥kn的充分大的k，使得

(20)

再由(19)—(20)式有

因此

由K-泛函与光滑模的等价性得

注当N函数M(u)=up(p>1)时，定理3.1即为文献[5]中定理3.1的结论.