应对“b b2 2--4 4acac”，你准备好了么？

姜鸿雁

在学习一元二次方程时，根的判别式“b2-4ac”掌握方程根情况的“生死大权”.我们知道，不解方程，可以直接根据它的符号，判断方程实数根的个数；反之也成立.但在解决问题的过程中，难免遇到字母系数等一些“突发事件”，稍不留神便会出错.现把几个典型错误列出来，进行剖析，相信你以后定能成功绕开它们！

例1 关于x的方程ax2+3x-1=0有实数根，求a的取值范围.

【错解1】由题意得：a≠0且b2-4ac≥0，即9+4a≥0，解得且a≠0；

【错解2】由题意得：b2-4ac≥0，解得

【剖析错误】“错解1”错在哪？题目是“若关于x的方程……有实数根……”，本方程一定是一元二次方程吗？可能是一元一次方程吗？若是，一元一次方程定有实数根哦.看来“路”只有一条：分类讨论！“错解2”错误原因：只有在“一元二次方程”的前提下，才能用“b2-4ac”解决问题，所以显然不对.

【正解】①当a=0时，原方程是一元一次方程，定有实数根；②当a≠0时，原方程是一元二次方程，因为方程有实数根，则b2-4ac≥0，即9+4a≥0，得所以且a≠0.综上

【反思】最终答案竟然与错解2相同！怎么回事？怎么理解“正解”把两种情况合并的结果？运用数形结合，利用数轴观察是好办法.情况②的解集可以用图1表示（因为a不等于0，所以用“空圈”表示），恰好情况①“a=0”将图1中的“空圈”“补上”，所以最终答案是a

图1

变式1 关于x的方程ax2+3x-1=0有两个实数根，求a的取值范围.

【分析与解答】对于本题，乍一读下来，与例1“长”得很像，是不是也需要讨论？再仔细读题，“……有两个实数根”，既然有“两个实数根”，则表明原方程定是一元二次方程，所以可得：a≠0且b2-4ac≥0，则a的取值范围是且a≠0.

例2 求证：关于x的一元二次方程x2-有两个不相等的实数根.

【剖析错误】众所周知，b2-4ac的符号与方程根的情况之间存在等价关系，本题是“求证……”，即“原方程有两个不相等的实数根”是要证明的结论，也就是证明b2-4ac＞0是目标，而非已知条件.理顺条件与结论，自然也不会出现一元二次不等式“解不下去”的情况.如何证明k2+k+1＞0？用配方法是很好的出路.