A-B效应中开路相位的厘定

李 兵，王明锋，刘 刚

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

早在1959年，Aharonov Y和Bohm D[1]预言电子在无电磁场而有电磁势的区域中运动时，电子虽然没有受到力的作用，但电子波的衍射图样同样会发生移动，从而证明电磁势在量子物理中是可以被观察的物理量．A-B效应体现了从整体描述物理过程的重要性，体现了物理过程的几何效应．同时，在非电磁领域，人们也发现和验证了一些类似A-B效应的物理现象[2-5]．1984年，Berry M[6]发表文章，论证了量子绝热过程中存在着不可积的相位因子，打开了人们研究相位因子的大门．Aharonov Y和Anandan J[7]推广了Berry相位，去掉了绝热过程的限制，在巡回过程中，发现也存在不可积的相位因子，称为A-A相位．关于相位因子的研究方兴未艾，著名物理学家杨振宁[8]指出，20世纪物理学主旋律是规范、相位因子和杨-米尔斯场．另外，利用几何相位的特性，开拓出了构建量子计算机的新途径——几何量子计算[9-11]．

本文在A-B效应的基础上，利用相位差的规范不变性，提出一种定义A-B效应中开路相位的思路，在此基础上，可以很方便地计算量子效应中的不可积相因子．

1 A-B效应

1959年，Aharonov Y等[1]预言电磁矢势有直接的观测效应，于1960年被Chambers R G[12]的实验证实，所以这种现象被命名为A-B效应．

实验装置如图1所示，在普通的电子双缝干涉实验装置的双缝隙和屏之间放置一个载有电流的半径为R的长直螺线管．

图1 A-B效应实验装置示意图Fig 1 The Schematic Diagram of Experimental Set-up for A-B Effect

在柱坐标（r,φ , z）表示下螺线管内产生强度为B沿着z轴（垂直纸面向上）的磁场．磁场强度只有沿着z轴的分量不为0：

矢势A亦只有沿着φ方向的分量：

因此，螺线管外部，磁场强度为零，但是磁势并不为零．

在量子力学中，电荷量为q的粒子在电磁场中运动的定态薛定谔方程为：

假设A和V和时间无关，则其形式解可写为：

所以，到达右边显示屏时的电子波函数应该写成经过不同路径的波函数的线性叠加：

右边屏上某一点，其干涉条纹的明暗程度取决于在该点处两个波函数相互叠加时的相位差δ，在忽略因路程差所引起的相位差后，上式中的Φ为路径1和路径2所包围的平面上的总磁通量．由式（6）可以看出电子到达显示屏时的相位差δ只与闭合路径所围的磁通量有关，可以通过调节通过通电螺线管的电流大小来控制显示屏的明暗条纹的移动．

2 A-B效应的本质

A-B效应具有深远的物理意义．从经典物理的观点看，在A-B效应中，电子没有受到力的作用，但是显示了力的效果，这个现象加深了人们对于量子力学和电磁场的认知．

电磁场是一种规范场，在经典物理学中，电磁场可以用电场强度E和磁场强度B描述，也可以用电磁势来描述．而电磁势具有规范不变性，用A和φ来描述电磁场，可以对矢势A施加一个任意函数的梯度，结果不影响磁场B，也不影响电场E，也就是说电磁势具有一种非物理的自由度．做变换：

又

在电动力学中，不同的规范对应着相同的电磁场，所以，当对势做规范变换时，由于规范对称性的要求，所有的物理量和物理规律都应保存不变．

无自旋荷电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程为：

假设有一个只涉及A的空间坐标的规范变换为：

要求薛定谔方程在该变换下保持不变性，则波函数需要做如下变换：

薛定谔方程形式不变：

所以，对矢势的规范变换被吸收到了波函数的相角中了，而且根据波函数的几率解释，这一规范变换也不影响可观察量：模的平方

因为矢势规范的任意性，所以，波函数的相位是一个不可直接观测量，一般默认利用规范变化把波函数的相位换为零．

于A-B效应中，经过路径1和路径2的波函数为：

因为规范变换的任意性，无法单独计算任何一路的波函数的相位，也是无意义的．有趣的是，二者的相位差δ是确定的，而且有宏观观测效应：

这个相位差和路径所包围的磁通量正相关，而且，显然，这个相位差是规范不变的．

A-B效应的发现使得人们认识到，利用电磁强度E和磁场强度A描述电磁场，会丢失物理信息；而用电磁势描述电磁场，又会引入一种非物理的不确定度．吴大峻和杨振宁[13]指出，相位因子）才是描述电磁场最恰当的物理量，称之为规范场的不可积相位因子．

3 开路相位的厘定

我们知道波函数的相位因子有电磁规范贡献，具有不确定性，无法也没有必要确定其大小．但是在A-B效应中，因为相位差是规范不变的，可以根据这一点来从数学上厘定开路相位的大小．假设只有一束电子经路径2到达显示屏（见图1），其相位为：

当然，这个相位是不确定的，我们可以虚拟一束电子经路径1到达显示屏，其相位为：

这两束电子的相位都有物理上不确定的规范自由度，但是它们的差是规范不变的．可以取某一规范使得经过路径1的虚拟路的相位为零，即：

所以，

有了这样一个标准，可以用闭合回路的相位差来标定开路相位的大小．

进一步研究任意开路的波函数的相位，如图2所示，假设在通电螺线管前面有一接收屏X，有一束电子经路径X到达显示屏，其相位为：

为了确定其相位，假设有一束电子经过上面的缝经图1所示的路径1到达显示屏，设其相位为Yδ，则：

因为，在这种情况下，路径所包围的闭合平面的磁通量Φ为零，所以，此时电子的相位无法确定．所以，电子的路径没有经过通电螺线管的位置，则其相位有任意的规范自由度，无法确定；反之，当电子的路径越过通电螺线管时，其相位可以经由和其组成闭合回路的电子波函数的相位之差确定．

图2 任意开路的波函数的相位Fig 2 The Phase Position of Random Open-circuit Wave Function

4 结 语

A-B效应中磁矢引入的相位差决定于闭合回路所围面积的磁通量，是规范不变的物理量．本文在这一基础上，定义了A-B效应中任意开路的相位因子，消除了由于规范变换引入的非物理的自由度，揭示了A-B效应的本质，可以用来从另一个角度计算量子现象中的不可积相因子.