平面中一种保长度的曲线流

张海霞，孙泽镇

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

近年来，受外力影响的曲线发展问题受到了有关学者的关注．文献[1-4]所研究的著名的平面曲线收缩流，证明了在曲线发展过程中，平面上的初始闭凸曲线仍保持凸性，并且变得越来越圆，最后，在有限的时间内，收缩成一个圆点．Gage[5]研究了平面上一种保面积流，这种流在发展过程中保持面积不变，曲线长度减小，保持凸性，最终收敛到一个圆．在Gage保面积流的基础上，Mao等[6]又提出了新的保面积流．文献[7-9]介绍了平面上三种不同类型的保长度流．Jiang和Pan[10]研究了一种曲线长度减小但其所围区域面积不断增大的非局部平面曲线，证明了曲线在发展过程中仍保持凸性且最终发展成一个圆．

本文的主要结论如下：

定理1 假设 F0（u）是平面上的一条光滑的闭的凸曲线，是一簇平面曲线且满足：

其中0≤α≤1．那么对任意的 t ∈ [ 0,+ ∞) ，曲线流问题（2）都有全局解，曲线保持凸性，曲线的长度保持不变和所围区域的面积增大，并且在发展的过程中，曲线变得越来越圆，当时间t趋于无穷时，曲线在 C0范数下收敛到有限圆．

1 预备知识

由于改变发展方程的切向向量只影响曲线的参数表示，而不影响曲线的最终几何形状[3,11]，所以可以选择一个适当的切向向量 m =m（u, t）来简化曲线的几何分析．因此，可以考虑如下与式（2）等价的发展问题：

注意到曲线的长度L以及它所围区域的面积A都是不依赖于m的，一般来说，θ是关于u和t的函数，为了使θ和时间t独立，令方程（7）为0，即为了简化分析过程，可以将参数（u, t）变换成参数（θ, ϖ ）．

接下来，继续讨论如下与式（2）等价的发展问题：

在新的参数下，T和N都是不依赖于时间t的，并且在参数θ和ϖ下曲率的发展方程可以表示如下：

2 主要引理

引理1 如果平面上一条严格凸曲线按照（12）发展，那么在发展过程中，曲线的长度不变，面积增大．

证毕．

引理 2 如果平面上一条严格凸曲线按照（12）发展，且在发展过程中没有产生奇点，那么发展曲线的等周差L2-4Aπ单调递减，并且当时间t趋于无穷时，等周差收敛到0．

证明：

因此，L2-4Aπ单调递减，不等式两边同时积分，得到故当t→ ∞ ，有 L2- 4 A π → 0 ．

引理3 曲线流（2）的曲率发展方程可以变换为标准热方程，且解存在．

证毕．

引理4 如果一条严格闭凸曲线按照（12）发展，那么它在发展过程中保持凸性．

证明：因曲率 k0（θ）在区间［0, 2 π］上有界，所以在区间［0, 2 π ］上也有界．

假设在区间［0, 2 π］上，有 δ ≤ W （θ, 0 ） ≤ M ，由于所以有：

因此，热传导方程的解 W （θ, ϖ ）在区间［0, 2 π ］× ［ 0 , ∞ ）上一致有界，即存在一个整数，使得那么存在，当）时，有所以

本文中，曲线流的支撑函数是光滑的，且具有整体存在性，可以利用此特征来推导出曲线的整体存在性．

引理5 支撑函数p的发展方程满足如下方程：

引理6 支撑函数p满足如下方程：

且p∈ ［ 0,2π ］ × ［ 0 , ∞ ）．

根据热传导方程的解，可以得到：

即

接下来，将方程（16）变形，可得：

证明：平面上任意一条闭凸曲线都可由支撑函数唯一地表示，那么）可以表示为那么有：

作参数变换，令θ =θ（ μ, t ），ϖ=t，则θ满足如下函数：

可知θ （μ, t ）是上述方程的唯一解，那么有：

于是引理得证．

3 定理1的证明

如果曲线按照（2）发展，由引理1和引理4可知，在发展过程中，曲线的长度保持不变和所围区域的面积增大，曲线保持凸性．由引理6和引理7可知，支撑函数具有长时存在性，因此曲线流（2）也具有长时存在性．由引理3可知，曲率k是可微的．由引理2可知，等周差单调递减，当t→+∞ ，有 L2- 4 A π → 0 ．根据Bonnesen不等式[12]有：

于是完成了证明．