高中函数值域与最值的解析

吕晓蝶

摘 要 函数是高中数学的重要组成部分，本文将讨论有关函数的值域与最值的相关问题，并且给出了典型例题进行解析。

关键词 函数 值域 最值

中图分类号：G633.64 文献标识码：A

1考点一：函数的值域与最值的求解方法

考点解析：函数的值域与最值的求解方法通常有以下几种：

（1）基本函数法：对于基本函数的值域问题，如：指数函数，二次函数、对数函数等，可以通过基本函数的图像和性质直接求解。

（2）配方法：对于形如类的函数的值域问题，均可用配方法求解。

（3）换元法：利用三角变换或者代数，将所给函数的转化为易于求解值域的函数，形如：，令；又形如结构的函数，可利用三角代换，令。

（4）基本不等式法：利用基本不等式求解值域和最值问题要注意看使用的条件，需要满足“一正，二定、三相等”。如利用不等式求最值时，应满足三个条件：；为定值；取等号的条件为。

（5）分离变量法：分离变量法专门针对形如：的函数的值域问题，均可采用此法，将其转化为基本初等函数，再进行求解。

（6）函数的单调性法：确定函数在定义域上的单调性，从而求出函数的值域。例如，当利用基本不等式法等号不能成立的时候，可以考虑用函数的单调性进行求解。

（7）判别式法：利用判别一元二次方程有无实数根来处理函数最值问题。

例1：求下列函数的值域

（1）

解析：（1）观察函数的形式，易知有两种解法：配方法法和判别式法均可求解；（2）观察函数的形式，可以考虑用换元法和单调性法来求解值域。

（1）解法一：配方法。

因为

所以

故原函数值域为

解法二：判别式法。

由得到

当时，方程无解

当时，

所以

故原函数值域为

（2）解法一：换元法。

令，则

于是

显然函数在上单调递减，所以

故原函数的值域为

解法二：单调性法。

函数的定义域是，當增大时，增大，减小，

所以增大

因此，函数在其定义域上是一个单调递增的函数，

所以当时，函数取得最大值

故原函数的值域为

2考点二：与恒成立有关的最值问题

考点解析：对于含参量的不等式成立的问题，首先考虑参数分离法；如果参数分离法不便于分离，则看给出的是哪个变量的范围，就整理成这个变量的函数形式，再由不等式恒成立条件得出结果。

例2：已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是多少？

解析：首先要求解出函数的值域，再令f（x）=t，对不等式进行参数分离，将问题转化为求函数的最值问题。

解：由题意可知，当时，，

当时，，

所以当时，，

令，则，即不等式在上恒成立，

即在上恒成立，问题转化为求函数

在上的最大值，又因为在上单调递减，

在上单调递增，且，

所以，故。

参考文献

[1] 黄新.求函数值域与最值的方法[J].语数外学习（高中版中旬），2017（05）：40.

[2] 王金.例谈函数值域与最值的求解策略[J].中学数学教学参考，2016（09）：32-33.

[3] 季其梅.求函数值域与最值的几种常用方法[J].新高考（高一版），2007（09）：30-31.