2017年全国Ⅲ卷文科数学第17题试题分析和教学建议

何清平

摘 要 从全国卷试题与四川卷试题的差异，试题的多个易错点和试题的多维度的解法对2017全国Ⅲ卷文科数学17题进行分析。

关键词 易错点 数列 解法

中图分类号：G633.3 文献标识码：A

2017年是四川省高考科目全面回归全国卷的第一年，数学试题使用的是全国（Ⅲ）卷。无论是老师还是考生都对全国卷充满了期待。接下来我就今年全国（Ⅲ）卷文科数学试题第17题数列作简要分析，希望能对老师和考生有所帮助。

1试题呈现

（2017.全国Ⅲ.文17）

设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n1）an=2n。

（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和。

2试题评价

本题主要考查数列的概念、数列的通项公式与前n项和的含义等基础知识，通过递推式作差、an和sn关系式等求数列通项和裂项相消求数列的前n项和，考查运算求解能力、推理论证能力，考察函数与方程，转化与化归等数学思想。本题采用递推式的设问方式，层层递进，第一小题和第二小题连贯性强，逻辑性强，属于中等题。

今年试题与四川卷的命题风格有一定的区别：四川卷是从数列的概念、通项和前n项和出发或者已知中间数列以此为入口。而 （Ⅲ）卷中是采用构建递推式求通项的考查形式，这样的考查方法新颖，创新度高，为中学数学教学指引方向，也能充分考察学生综合分析问题、解决问题的能力，灵活处理知识与知识衔接的问题的能力。然而这也造成部分对数列知识掌握不全面、思维不灵活的考生在这道题上的得分率偏低。同时该题作为文科数学第一道大题，不仅导致该题的得分率偏低，也导致整套试卷在大题方面入口高，难度大。

紧扣教材，立足考纲，在教材的基础上适当创新来命制高考试题的理念和方法，充分体现回归教材、来源于教材的指导思想，引导我们中学教学应重视教材、夯实双基，也体现了新课标和考纲的理念和要求。

3考生答题情况综述

（Ⅰ）本题第一问解题方法比较多，考生主要采用如下几种方法：

方法一：构造递推式作差：

解：形式1：当n≥2时，a1+3a2+…+（2n3）an-1=2（n1）

形式2：由题知a1+3a2+…+（2n+1）an+1=2（n+1）

问题：（1）整个解题过程未求首项a1，未考虑项数n的取值范围，未验证首项a1是否满足n≥2的通项公式。原因是对数列的概念理解不透彻，犯了逻辑错误。我们在解决数列问题时，首要需解决首项，其次是通项公式同时需要注意是否考虑到所有项。

（2）书写递推式时，不准确：

递推式构造为a1+3a2+…+（2n2）an-1=2n1或a1+3a2+…+2nan+1=2n+1或3a1+5a2+…+（2n+1）an+1=2（n+1）或a1+a2 +3a3+…+（2n3）an-1=2（n1）

原因：部分考生在书写递推公式的时候，将递推公式中的项数取值不准确。而这部分考生出现思维定势错误，对数列的通项公式和项数的实质理解不透彻，面对新的数列机械套用公式。

方法二：构造中间数列bn=（2n1）an，利用前n项和Sn与bn的关系解决通项公式。部分考生采用此方法，但在解题过程中出现两种问题：（1）bn=SnSn-1=2n2（n1）=2n，这类考生主要是运算错误，运算不准确，运算过程中没有等价转化。（2）因为Sn=a1+3a2+…+（2n1）an。所以an=SnSn-1=2。原因：對公式死记硬背，没有领会公式的实质，运用时张冠李戴，机械式的照搬照抄，思维不够灵活。

方法三：不完全归纳法。

问题和原因：部分考生选择不完全归纳法，得出数列{an}的通项公式。但是不完全归纳法是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论，这样作出的结论不严谨。因此，还需利用数学归纳法证明所得结论。

本题第二问主要考查裂项相消求数列的前n项和。

4教学建议

高考的考查方向对我们中学教学具有导向性。从今年全国（Ⅲ）卷文科数学的数列试题考查上就体现出考生在对数列的基本概念、原理上理解不透彻，存在偷换概念、混用公式的情况；对解决数列通项公式和求和方面的方法掌握不到位，思维定势严重不能灵活的运用公式、缺乏变通性；还反映出考生的运算能力不足，运算过程没有进行等价转化。

因此，教学中的几点建议：

（1）注重教材，落实分层教学：重视基础知识的归纳和方法点拨。回归教材，研究课本例题、习题，发挥例题、习题功能。注重数学概念、原理的讲解，分层教学，及时检查学生对概念、原理的理解和作业完成情况。

（2）教学设计要有直观性、启发性、符合学生的认知发展，重视知识的生成过程，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。

（3）加强数学思想方法的培养：在教学中，狠抓函数与方程、数形结合思想、转化与化归、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法的培养，比如：例题的设计需注重一题多解、一题多变。

（4）规范解答、强化运算求解能力：在教学过程中，规范学生的解题书写过程，明确答题点和得分点，实现时间和答题空间的最优化。加强定时训练，提升学生做题的速度、准确率，实现计算能力的提升。

（5）重视课后辅导：课后辅导是课堂教学的继续和补充，分层进行培优补差，及时检查辅导效果。