关于“绳拉物体牵连速度”问题的再思考

郭培东 熊建民

摘 要：绳拉物体牵连速度问题是运动的合成与分解问题的难点，教师在授课中一般都只是简单地将船速沿绳和垂直于绳子方向分解。让学生感觉有点“突兀”和“玄乎”，本文分别用中学与大学的数学方法定量分析速度关系，从而对速度的合成与分解起到深化理解的作用。

关键词：牵连速度；加速度；速度的合成与分解

如图1所示，用轻绳以恒定速率v0沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当绳与水面夹角为θ时，求此时船靠岸的速度。

一、 教师常见教法

（一） 从运动的合成与分解角度分析

在绳牵引小船的运动过程中，小船在水平面上运动，就是合运动，所以小船在水平面上运动的速度即是合速度，如图2将合速度分别沿绳和垂直于绳方向分解得：v0=v船cosθ，使绳收缩；v1=v船cosθ，使绳绕定滑轮上的一点转动；所以v船=v0cosθ。

（二） 从能量转化及守恒角度分析

人对绳做功等于绳对船所做的功；人对绳的拉力为F，则对绳做功的功率为Fv0；绳对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为Fv船cosθ；所以v船=v0cosθ。

学生对这两种解法常常感到突兀与怀疑。我们用位移和时间的关系分别按照中学和大学的数学方法求出小船此时的速度。

二、 用位移和时间的关系

（一） 中学数学方法

如图3：经t时间后，小船（船头）由A运动到B，由勾股定理得：

Hsinθ-v0t2=H2+Htanθ-s2 ①

s=2Hcotθ-4H2cot2θ-8Hv0tsinθ+4v02t22 ②

所以v船=dsdt=H2cot2θ-2Hv0tsinθ+v02t2-12Hv0sinθ-v20t ③

所以t=0时，小船在A点的速度即为v船=v0cosθ ④

（二） 大学数学方法

由图4可知：L2=H2+X2 ⑤

将上式對时间t求导，得

2LdLdt=2xdxdt ⑥

所以v0=-dLdt，v船=-dxdt

即v船=-dxdt=-LxdLdt=Lxv0=v0cosθ ⑦

那么，此时小船的加速度等于多少呢？小球的加速度随角度的变化情况是怎样的呢？

（1）中学数学方法：③式对t求导

a=dv船dt=-v20H2cot2θ-2Hv0tsinθ-v20t2-12+Hv0sinθ-v20t2

H2cot2θ-2Hv0tsinθ-v20t2-32 ⑧

所以t=0时，小船在A点的加速度为

a=v20tan3θH ⑨

（2）大学数学方法：⑦式对t求导

a=dv船dt=XdLdt-Ldxdtx2v0=-v0x+Lv船x2v0

=-x+L2xv20x2=H2v20x3=

v20H-1tan3θ B10

说明两种方法船的加速度是相同的，而且其加速度会随着角度的增大而增大，其原因不多赘述。

综上所述，小船靠岸的过程中，如果匀速拉动绳子，小船的速度是逐渐增大的，加速度也是逐渐增大的，如此定量地分析小船和绳子的速度关系，从而升华了学生对速度的合成与分解的思维能力。

作者简介：郭培东，熊建民，福建省漳州市，厦门双十中学漳州校区。