“一次近似定理”的教学探究

摘 要：一次近似定理是控制理论中的重要定理之一，它为数学、物理、化学、工程技术等领域的非线性问题线性化提供了理论依据。为了帮助学生理解一次近似定理，本文通过借助Gronwall不等式，证明此定理，并给出了应用例子。此定理的证明方法，有助于培养学生的严密思维方式。

关键词：一次近似定理；Gronwall不等式；范数；特征根

一、 背景介绍

一次近似定理是控制论中十分重要的定理。由于数学、物理、化学、工程技术等领域大都是非线性问题，非线性化问题处理，不论是理论上还是实践中都非常困难，而线性问题我们有成熟的理论和方法。那么我们能否把非线性问题线性化呢？线性化得到的结论能否用到非线性系统？若没有理论根据，把非线性问题就想当然地线性化处理，这种很不严谨的处理方式，将会出现严重的后果。非常幸运的是我们有理论依据，即一次近似定理，它为非线性问题线性化提供了理论依据。由于国内教材大都直接使用此定理，极少有证明，甚至相当多的教材使用时根本不提此定理，把非线性问题想当然地线性化处理。一次近似定理及其证明过程，具有深刻的数学思想方法，其对大学生后续其他课程的学习及将来的研究习惯的培养具有重要意义。为了帮助学生理解一次近似定理，提高教学效果，本文将给出理论证明及应用例子。

二、 我们首先证明一个引理

引理（Gronwall不等式）：设a是常数，u（·）和v（·）都是区间[t0，+∞]上的实函数，v（t）≥0，且满足不等式u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，则u（t）≤ae∫tt0v（s）ds，t≥t0。

证明：令w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

上式两边对t求导得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，

则de-∫tt0v（s）dsw（s）dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。

两边从t0到t积分可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，

所以我们有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。

三、 定理（一次近似定理）的证明

考虑非线性系统

dx（t）dt=Ax（t）+f（x（t）），t≥0，（1）

若矩阵A的特征值全在左半平面，函数f（·）在x=0的鄰域连续可微，且存在常数C满足

‖f（x）‖≤C‖x‖2，

那么存在α>0，δ>0，K>0，使得当‖x（0）‖≤δ时，方程（1）的解满足不等式

‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt.（2）

证明：由于矩阵A的特征值全在左半平面，则存在α>0，K>0使得以下不等式成立‖eAt‖≤Ke-2αt，t≥0。

（1） 式由常数变易公式得

x（t）=eAtx（0）+∫t0eA（t-s）f（x（s））ds，t≥0，

从而

‖x（t）‖≤Ke-2αt‖x（0）‖+∫t0Ke-2α（t-s）‖f（x（s））‖ds ≤Ke-2αt‖x（0）‖+∫t0CKe-2α（t-s）‖x（s）‖2ds。

所以我们有e2αt‖x（t）‖≤K‖x（0）‖+∫t0CKe2αs‖x（s）‖2ds。（3）

令η=αCK，δ=ηK+1<η。下面我们首先证明当‖x（0）‖≤δ时，

‖x（t）‖≤η，t≥0.（4）

令T=inf{t|‖x（t）‖≥η}。由于‖x（0）‖≤η，所以T>0。若（4）成立，则T=+∞。下面用反证法。若（4）不成立，则T<+∞。把‖x（t）‖≤η，t∈[0，T]，代入（3）得

e2αt‖x（t）‖≤K‖x（0）‖+∫t0αe2αs‖x（s）‖ds。

令u（t）=e2αt‖x（t）‖，a=K‖x（0）‖，v（t）=α，利用Gronwall不等式得

e2αt‖x（t）‖≤K‖x（0）‖eαt

则当t∈[0，T]时有下式成立

‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt。

取t=T，则有‖x（T）‖≤Kδ<η，矛盾，所以T=+∞，即‖x（t）‖≤K‖x（0）‖e-αt对t≥0均成立。

四、 一次近似定理的应用

考查二维系统dx1（t）dt=-x1（t）-sin（x2（t）），

dx2（t）dt=2x1（t）.

矩阵A=-1-1

2 0，f（t）=x2（t）-sin（x2（t））

0，则A稳定。由Taylor展开公式得

‖f（x）‖=x2-sinx2=sinξ2x22≤12x22，其中0<ξ

五、 结束语

一次近似定理是控制论中关于系统稳定的重要内容，该定理是非线性系统线性化的理论依据。利用该定理，许多学科中难以处理的非线性问题才能线性化，然后找到处理的方法。

信息与计算科学教研室，全体同仁致力于教研室的发展，大力开展课程建设，对控制论课程的教学内容及教学方法多次进行探讨，本文是教研室发展的系列成果之一。

参考文献：

[1]李训经，雍炯敏，周渊.控制理论基础[M].高等教育出版社.第二版，2011，5.

[2]王翼.现代控制理论[M].北京：机械工业出版社，2005.

[3]董旺远，何红英.控制论基础[M].武汉出版大学出版社.第一版，2011，2.

[4]梅晓榕.自动控制原理[M].科学出版社.第三版，2013，8.

作者简介：

葛新同，讲师，安徽省阜阳市，阜阳师范学院数学与统计学院。