分类讨论思想在高中数学解题中的应用

李奕琳

【摘 要】分类讨论思想被经常应用在高中数学的解题过程中，能够有效地帮助学生理清解题思路，对培养学生的数学思维逻辑有着重要作用。基于此，本文分析了分类讨论思想在集合、函数及不等式、概率、数列中的具体应用，以期学生能够认识到分类讨论思想的重要性，数学逻辑思维能力，增强数学综合能力。

【关键词】分类讨论思想；高中数学；解题思路

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0088-01

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论的数学命题在考试题中占有重要位置。下面通过举例说明分类讨论思想在集合、函数及不等式、概率、数列问题中的应用。对提高解题效率，增强学习效果，锻炼学生逻辑思维能力有着重要作用。

1 分类讨论思想在集合中的应用

分类讨论思想是高中解题思路的基础思路，是学生在不能使用固定解題思路时进行的解题思路，是需要在题目所限定的范围内进行的分开解题。分类讨论思想是根据概念进行划分，以集合的分类为基础，遵循着由大到小的原则进行一步一步的分析，将对象区分成不同种类进行划分。集合类题目中经常遇到元素与集合之间、集合与集合之间的问题，需要运用分类讨论思想进行讨论，在考试中集合类题目经常出现在选择填空中，因此在集合类题目中需要进行细心的分类，避免出现遗漏而发生的扣分现象。如在不等式与集合的综合试题中，需要讨论集合中不等式的值。集合A={x/1≤x≤2}，集合B={x/x+a<0}，AB，求a的取值范围，需要对集合中的不等式进行讨论，才能得出a的取值范围。

2 分类讨论思想在函数及不等式问题中的应用

分类讨论思想最常应用在函数问题中，在解题过程中，如若函数的参数值发生变化，一定会给函数带来变化。因此，分类讨论思想在函数问题中起到很重要的作用，能够帮助学生更加精准的解决问题，在提高函数题准确率的基础上，帮助学生养成分类讨论的好习惯。如ax2+（2-a）x-2>0，求x。在这道题中，首先需要进行因式分解，需要讨论a<2，a=2，a>2，进而得出结论。

3 分类讨论思想在概率问题中的应用

概率在高中数学中据着相当重要的部分，是高考经常涉及到的重点内容，是高中数学中经常出现的重点题型。分类讨论思想在概率题中的应用，需要学生根据题目进行分类，首先学生需要对题目中概率的类型进行分类，其次需要对题目中明确的已知条件进行分析，通过利用分类讨论思想对题目中变量进行合理假设，最后得出最后结论，在得到正确答案的同时，提高了解题速度。

在一个集合A中，已知A={1，2，3，4，5}，集合B、C是A的两个非空子集，其中集合B中最大数是小于集合C的最小数，试问有几种选择方法。

这道题是一个比较简单的排列组合问题，在解答时需要进行分类讨论，可以分成四种情况进行讨论。第一，2是集合C的最小数值，那么集合B中只有一种情况，就是B={1}，而集合C有八种情况，所以集合B、C组合有八种情况。第二，3是集合C的最小数值，那么集合B中有三种情况，而集合C有四种情况，所以集合B、C组合有十二种情况。第三，4是集合C的最小数值，那么集合B中有七种情况，而集合C有两种情况，所以集合B、C组合有十四种情况。第四，5是集合C的最小数值，那么集合B中有十五种情况，而集合C有一种情况，所以集合B、C组合有十五种情况。由此可见，B、C组合可以得到四十九中选择方法。

4 分类讨论思想在数列中的应用

在数列问题的解题过程中，分类讨论思想也有十分广泛的应用，尤其适用于周期性的数列问题、等比数列的求和问题等，学生应用分类讨论的思想可以极大的提高解题速度，同时保证解题的准确性。如果题目中没有指定公比的具体取值范围，在实际的解题过程中，学生就需要应用分类讨论的思想进行对比分析，在解答的过程中，要充分地考虑到各种特殊的取值情况，确保最终的取值范围没有遗漏。

如设数列an是公比为q的等比数列，该数列的前n项和大于0，求公比q的取值范围。此题在解题的过程中需要针对公比q的不同取值进行讨论，由于Sn大于0，可知a1大于0，公比q不为0。当q=1时，可以根据已知的数列和条件求出一个取值范围，当q不为1时，同样可以根据已知的数列和条件，列不等式方程求出一个取值范围，公比q的最终取值范围取两个范围的并集，最终得到正确的解题结果。通过例题可以帮助学生更好的理解分类讨论思想在数列中的应用。

综上所述，在集合、概率、函数和数列等类型题中应用分类讨论的思想可以有效的提高学生解题效率、帮助学生培养浓厚的数学学习兴趣。在日常学习过程中，教师应该积极引导学生利用分类讨论的方法进行解题，有助于培养学生的逻辑思维，真正的实现学以致用。