对比法在“数字信号处理”课程中的应用

邹宝娟 谭文群

摘 要：本文针对“数字信号处理”课程的特点，将对比教学法应用于课程的教学实践，以达到培养学生思维能力，改善教学效果，提高教学质量的目的。

关键词：对比法；数字信号处理；谱分析

一、 引言

对比法就是对各相互联系的对象进行比较，找出其异同点。在教学中，对比法是非常重要的方法之一，恰当地运用对比的方法，能加强学生对课程中基本概念和规律本质的理解，对培养学生的思维能力，加强学生对基本知识的理解和记忆，提高课堂教学效果都是有好处的。

“数字信号处理”是用数值计算的方法对信号进行处理的一门学科，课程内容涉及面广、理论性强、概念抽象多，起点高，难度大。学生们初学时常感觉到概念难以建立，方法难以掌握。通过对数字信号处理课程内容的梳理可以发现，很多基本概念、性质和算法之间有着密切的联系，具有某些相似性。同时，该课程与先修的“信号与系统”在理论基础、分析方法上密切相关，知识继承性强。因此，在数字信号处理课程教学中恰当运用对比法，有助于学生在新旧知识之间建立联系，温故而知新，使学生更深刻理解基本概念、掌握正确的学习方法，提高学生的学习兴趣。

下面就此谈几点具体的做法。

二、 综合运用多种对比法，加深学生对概念的理解和对性质及算法的把握

对比的方法多种多样，如新旧对比、正反对比、相似对比、同类对比、总结对比等。恰当地运用对比法可以加深学生对课程中概念的理解和对性质及算法的把握。

（一） 系统因果性、稳定性的判断

在离散时间系统的分析中，系统的因果性、稳定性判断问题是一个学生易错的知识点。在该课程中，判断系统的因果性和稳定性共有三种方法：定义、充要条件和系统函数的极点分布（收敛域）。之所以有三种判断方法，跟系统的描述法有关。离散时间系统可以分别从时域和Z域（复频域）进行描述，时域的描述有输入输出描述法和系统的单位脉冲响应两种，Z域的描述是系统函数（传输函数）。这三种系统描述法分别对应系统因果性和稳定性的判断的三种方法，如表1。

按照表1，我们可以根据给定的系统描述方法确定采用相应的判断法。笔者在教学过程中发现有的学生只记充要条件，往往把简单问题复杂化了。如系统H（z）=1-z-1（1-0.9z-1）（1-0.2z） 5<|z|≤∞，判断其因果性稳定性。按照表1中第三种方法，系统函数的收敛域包含∞点，但不包含单位圆，这是一个因果且不稳定的系统。有的学生第一反应是进行逆Z变换，大量计算（计算过程复杂易出错）最后还是得到一个不正确的结论。

y（n）=∑Mi=0bix（n-i）-∑Ni=1aiy（n-i）

系统n时刻的输出取决于n时刻及n时刻以前的输入信号，而和n时刻以后的输入信号无关

系统对任意的有界输入，都能得到有界输出

系统的单位脉冲响应

h（n）

系統的单位脉冲响应是因果序列

h（n）=0 n<0

系统的单位脉冲响应绝对可和∑∞n=-∞|h（n）|<∞

系统函数

H（z）

系统函数的极点均在某个圆内，收敛域包含∞点

系统函数的收敛域包含单位圆

（二） 谱分析中谱线密度与频谱分辨率的对比

对信号进行谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。由于DFT是时域和频域均为离散化的变换，适合数值运算，所以常采用DFT对连续信号进行谱分析。谱分析中需要经历2个步骤：一是时域采样并且截断；二是为了数值计算，在频域上也要离散化。其中栅栏效应、频率分辨率是谱分析中常见的问题。

因为DFT计算频谱只限制在基频整数倍处的频谱，两点之间的频谱值不知道，这种现象称为栅栏效应。减少栅栏效应的一种方法是增加频域的采样点数N，在不改变时域长度的情况下，可以在时域数据的尾部加零，增加一个周期内的点数，这样进行DFT后谱线更密。

频率分辨率是谱分析中能够分辨的两个频率分量最小的间隔。为提高频率分辨率，在不减小谱分析范围的情况下，只能增加观测时间，即实际信号的长度及相应的采样点数。而补零不能增加数据的有效长度，是不能提高频率分辨率的。

下面通过一个例子来说明谱线密度与频率分辨率的不同。设时域采样后的信号为x（n）=cos（0.46πn）+sin（0.54πn），分别求采样20点的低密度谱，采样20点且补80个零的高密度谱，以及采样10点的高分辨率谱，如图1。

（a） （b） （c）

图1 低密度谱、高密度谱及高分辨率谱的对比

从图1中可以知道，图（a）的谱线间隔和频率分辨率均为2π20=0.1π；图（c）的谱线间隔和频率分辨率均为2π100=0.02π；图（b）的谱线间隔为2π100=0.02π，与图（c）的谱线间隔相同，谱线密度明显高于图（a），原来看不到的谱分量可以看到了，有效地减少了栅栏效应。由于图（b）中数据的有效长度是20个点，所以图（b）的频率分辨率是2π20=0.1π，与图（a）的频率分辨率相同，即频率分辨率较低。原信号中有两个频率分量，分别是0.46π和0.54π，它们相差0.08π，图（a）和图（b）的频率分辨率为0.1π>0.08π，不足以区分出两个频率分量，而图（c）的频率分辨率为0.02π<0.08π，能够区分出这两个频率分量。由于是周期信号，有效长度取信号周期的整数倍还可以减少频谱泄漏。

三、 一题多解对比，培养学生的创造思维能力

本课程的各种运算不少，经常有意识地让学生做一些一题多解练习并加以对比，可扩展学生的思维空间，增强运用知识的灵活性，对所学知识融会贯通，有利于培养学生的创造思维能力。

例如，求两序列h（n）=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2），x（n）=δ（n）+2δ（n-1）线性卷积。

在数字信号处理中，卷积运算是求线性时不变系统输出的主要方法，其定义为y（n）=x（n）*h（n）=∑∞m=-∞x（m）h（n-m），求两个有限长序列的线性卷积，可采用图表法、解析法、竖式乘法等多种方法。以本题为例。

（1）图表法 该法按照卷积的定义，在图形上分为翻褶、移位、相乘、相加几个步骤，列表如表2：

最后得卷积结果y（n）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）

（2）解析法 该法可以分成几个区间来分别考虑，对于有限长序列，可用单位脉冲序列来表示，并利用卷积运算性质进行计算，如式1。

y（n）=h（n）*x（n）=[δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）]*[δ（n）+2δ（n-1）]=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）+2δ（n-1）+4δ（n-2）+6δ（n-3）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）（1）

（3）竖式乘法 如式2，这种方法要注意n=0的位置。

卷积结果为y（n）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）

除这三种方法，MATLAB信号工具箱还提供了conv函数用于计算两个有限长序列的线性卷积。

通过此例，不仅总结了求卷积的几种不同方法，通过对比，也活跃了学生的思维。

四、 结语

数字信号处理课程教学中可以进行的对比是多种多样，在教学中采用对比法对于提高学生灵活运用能力，建立纵横交错的基础知识网都有很大提高。但对比法不是万能的，应根据学生的特点，结合其他教学方法和教学手段，使学生在牢固掌握专业知识的同时，提高创造性思维和分析与解决问题的能力。

参考文献：

[1] 韩德培.物理教学中的对比法[J].华中师范大学学报（自然科学版），1992，26（4）.

[2] 高西全，丁玉美，阔永红.數字信号处理—原理、实现及应用（第3版）[M].北京：电子工业出版社，2016.

[3] 程佩青.数字信号处理教程（第2版）[M].北京：清华大学出版社，2001.

作者简介：

邹宝娟，谭文群，江西省南昌市，南昌工程学院信息工程学院。