核心素养下的一元一次方程应用题学习障碍初探

何新荣

摘 要：应用题是初中数学的重点内容也是学生学习的难点，一元一次方程应用题是初中应用题的起始和关键阶段。在一线教学中，教师进行核心素养导向下的一元一次方程应用题学习障碍研究有着重要的理论意义与实践意义。由浅入深逐步提高分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学素养。

关键词：核心素养；导向；一元一次方程应用题；学习障碍；数学素养

教育部提出的核心素养是知识、技能和态度等的综合表现。它是知识、能力、态度或价值观等方面的融合，既包括问题解决、探究能力、批判性思维等“认知性素养”，又包括自我管理、组织能力、人际交往等“非认知性素养”。

运用数学知识解决现实中的实际问题是学习数学的重要目标之一，可以说培养学生解应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本内容和重要途径。应用题教学使学生体验到数学与我们的生活息息相关，有利于培养学生学数学的兴趣；还可以发展学生的逻辑思维能力，分析问题的能力，培养学生良好的思维品质和道德品质等。而这些都是培育学生核心素养的重要组成部分，提高学生的应用题解题能力是培育学生核心素养的有力保障。

一、核心素养导向下的一元一次方程应用题学习障碍研究的重要意义

学生在学习时出现学习障碍是学习过程中自然存在的现象。学习过程中出现的学习障碍以及对学习障碍的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。核心素养导向下的一元一次方程应用题学习障碍研究，可以帮助学生掌握分析问题与解决问题的方法，使学生在学习中可以进一步体会方程思想、模型思想，进而也会帮助学生从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界。学生即使是在面对不熟悉的应用问题或者是其他学科中与生活联系的应用问题时，能够应用数学思想方法去思考问题。因此进行核心素养导向下的一元一次方程应用题学习障碍研究有着重要的理论意义与实践意义。

二、应用题是初中数学的重点内容，也是学生学习的难点，一元一次方程应用题是初中应用题的起始和关键

小学生进入初中学习列方程解应用题由算术解法到代数需要几个转变：（1）由列“算式”转变为列“等式”；（2）由综合法分析为主转变为以分析法分析为主；（3）列方程解应用题时要把设的未知数当做已知看待。这是初学者难以适应的。方程应用题是初中数学的重点内容，也是学生学习的难点。在小学阶段，学生使用的是算术法解题，升入中学后，需要学生转变思维方式，运用方程思想解应用题，学生要有较强的阅读理解能力、将自然语言转换成数学语言的能力，还要有很强的逻辑思维能力，而初中生尤其是初一学生在这些方面的能力正处于发展阶段。方程的学习贯穿了整个中学阶段，特别是方程应用题的学习可以为之后要学习的函数、不等式应用题奠定基础。一元一次方程应用题是初中应用题的起始和关键阶段。

三、用一元一次方程解行程问题障碍剖析

学生初学列方程解应用题时存在着如下问题现象：

（1）学生社会经验缺乏，看不懂题意；

（2）找不着、找不准等量关系，即使能找到等量关系，也不知如何设未知数、列方程，从而解决问题；

（3）当题目中未知量过多时，由于审题、分析能力较差，不知该选择哪一个未知量设未知数简单；

（4）许多学生对应用题抱有恐惧心理，不想看题，遇到应用一元一次方程解应用题会产生逃避心理，不积极动脑思考。

（5）学生在学习中可能习惯于用算术方法分析问题，对于用代数方法分析应用题不适应，以至于面对较为復杂的应用题无法找到等量关系，列式解答。

（6）学生在学习过程中可能不重视分析等量关系，而习惯于套题型，找解题模式惯于用算术方法分析已知数与未知数。

针对这些问题，在教学过程中，我鼓励学生首先要有信心，不要惧怕应用类题。我要求学生认真审题，逐字逐句进行推敲，分清楚哪些是已知量，哪些是未知量，积极寻找题目中所蕴藏的等量关系，从而设未知数解决问题。由教师引导学生从实际问题中抽象出数学模型，画示意图或表格分析数据，并解答，向学生呈现一个完整的分析、解决问题的过程。

例1.A、B两地相距450 km，一列慢车从A地出发，每小时行驶60 km，一列快车从B地出发，每小时行驶80 km，两车相向而行，慢车先出发30分钟，快车开出多长时间后两车相遇？

分析：此题学生拿到手，会从“相向而行”发现这是一典型的相遇问题。等量关系是：快车的路程+慢车的路程=总路程。

不能直观分析时，可借助于示意图或表格分析，从而根据题目特点，设未知数快车开出x小时两车相遇，列方程并解方程。

解：设快车开出x小时两车相遇，由题意得：

60（0.5+x）+80x=450，

解得x=3，

答：快车开出3小时后两车相遇。

例2.甲乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，甲的速度为17.5 km/h，乙的速度为15 km/h，经过几小时，甲乙两人相距32.5 km？

分析：对于此类问题，学生出现的常见错解是只考虑到相遇前甲乙相距32.5 m或相遇后相距32.5 m一种情况。解决本题应考虑全面，分两种情况解答。等量关系分别是：甲路程+乙路程=65-32.5；甲路程+乙路程=65+32.5。

设经过x小时两人相距32.5 km：

解：①相遇前，设经过x小时两人相距32.5 km，

根据题意得：17.5x+15x=65-32.5，

解得x=1，

②相遇后，甲乙两人继续前进，设从出发到相遇后共经过y小时两人相距32.5 km，

根据题意得：17.5y+15y=65+32.5，

解得：y=3，

答：经过1小时或3小时两人相距32.5 km。

行程问题是学生学习一元一次方程解应用题的一个常规问题。行程问题分为相遇问题和追及问题。对于行程问题，要弄清楚是相遇问题还是追及问题，并依不同类型寻找等量关系，由浅入深逐步提高分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学素养。

例3.一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5 km/h的速度行进，走了30 min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以15 km/h的速度按原路追上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？

分析：本题的等量关系是：（1）通讯员所用的时间+30 min=学生队伍用的时间；（2）追上时，通讯员所走的路程=学生队伍所走的路程。

解：设通讯员追上队伍需要x小时，则通讯员走了15x km，学生共走了5×0.5+5x=5（0.5+x）。

根据题意得：15x=5（x+0.5），

解得：x=0.25，

答：通讯员用0.25 h可以追上学生队伍。

追及问题可分为两类，一类是同地不同时类的问题，一类是同时不同地的追及问题。追及问题的特点是：两人（或两物体）同时沿同一路线、同一方向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者。环形道路的常见问题类型有同时同向首次相遇、同时反向首次相遇问题。关键要找出题目中的等量关系。

例4.甲乙两人在8 km的环形公路上跑步，甲每分钟跑220 m，乙每分钟跑180 m，

（1）若两人同时同地反向而跑，经过多少时间首次相遇？

（2）若两人同时同地同向而跑，经过多少时间首次相遇？

（3）若甲先跑10 min，乙再从同地反向出发，还要多长时间两人首次相遇？

（4）若甲先跑10 min，乙再从同地同向出发，还要经过多长时间两人首次相遇？

分析：（1）等量关系为：两人所行距离之和等于环形公路周长；

（2）等量关系为：甲所行路程-乙所行路程=环形公路周长；

（3）等量關系为：甲所行路程+乙所行路程=环形公路周长；

（4）甲所行路程-乙所行路程=环形公路周长。

解：设经过x min首次相遇

（1）由题意得，220x+180x=8000。解得x=20。所以经过20 min首次相遇。

（2）由题意得，220x-180x=8000。解得x=200。所以经过200 min首次相遇。

（3）由题意得，220×10+220x+180x=8000。解得x=14.5。所以经过14.5 min首次相遇。

（4）由题意得，220×10+220x-180x=8000。解得x=145。所以经过145 min首次相遇。

环形跑道的问题归结为两点：（1）甲乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，快的必须多跑一圈才能追上慢的；（2）甲乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。

总的来说，行程问题是中考命题的一个热点，与生活接近，对培养学生的数学素养起到重要作用。题型有填空题、选择题、列方程解应用题。对于行程问题，要弄清楚是相遇问题还是追及问题，依不同类型寻找等量关系。在分清相遇和追及问题时，关键要理解“同向而行”和“相向而行”的概念。逐字逐句分析题意，找出等量关系，列出方程，从而解决问题。

在解题过程中，出现障碍的根本原因分析：

（1）语言知识缺乏。数学学习障碍学生对关系句的理解比较困难，对已知条件的提取能力较差，对解题目标的理解困难。

（2）在与解题相关的生活常识上比较匮乏，在单位换算转换方面存在困难。

（3）图式知识模糊。对问题类型的辨识困难，对等量关系的理解和记忆能力较差，利用等量关系列方程的能力较弱。

（4）策略知识单一。使用的解题策略种类极为单一，不习惯使用列一元一次方程的策略解题，缺少回顾检查的监控策略，易出现随意拼凑数字进行列式的不成熟策略。

（5）程序知识不熟练。计算速度慢，计算过程出现反复的情况，一元一次方程移项时运算符号易出错，列竖式计算出错率较高，缺少验算的习惯，常忘记把计算结果和解题目标进行对照。

四、在补救教学方面研究的对策

探讨了多名初中数学学习障碍学生在解一元一次方程应用题时的解题过程，并实施补救教学后，学生在解题表现方面有明显进步，研究结果发现如下：

（1）语言知识：对关系句转换技巧的讲解和练习，提醒学生提高读题次数，采取口语读题、多元表征的训练，有助于学生理解已知条件和解题目标。

（2）语义知识：不同情景常识的学习、单位换算的练习，能有效提高学生对题意的理解程度。

（3）图式知识：应用题分类教学，能提高学生对问题类型的辨识能力；对公式的理解和记忆，可以有效提高学生寻找等量关系的能力；引导学生利用等量关系或者抓住不变量进行方程的列式，可以提高学生的问题解决能力。

（4）策略知识：算术和方程在列式策略方面的对比教学，可以加速学生从算术思维向代数思维的转变。使用列表法、图示法、分段讨论法、间接设元法、回顾检查等解题策略，能有效提高学生对已知条件和解题目标的整合能力。

（5）程序知识：逐步计算，算术和方程中“等号”含义的对比讲解，列竖式计算时把进位的数字明确标示出来，把计算结果代回到方程验算，都可以有效提高计算的准确率。

无论是用图解法、图表法列一元一次方程解应用题，还是训练一元一次方程应用题多解，都是数学学习过程总结的一些方法和经验，却不是唯一的，也不是必须的，通过数学的学习，经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想，会用一元一次方程解决一些实际问题；培养学生分析问题、解决问题的能力；在积极参与教学活动的过程中，初步理解一元一次方程的使用价值，感受到数学的应用价值，激发学习数学的信心，提高学生数学素养，为学生核心素养的提高出一臂之力。

参考文献：

[1]乐增光.“一元一次方程”的教学设计与思考[J].中学数学教育，2016（4）.

[2]刘芳.有效启发思考回归教学本质：以“一元一次方程”教学设计为例[J].中国数学教育（初中版），2013（4）：30-35.

[3]李树臣.全面体现课标精神促进学生主动发展：青岛版教科书“一次方程组”教学研究[J].中国数学教育，2014（7）.

编辑 郭小琴