一类弱奇异Volterra积分方程的修正复合Gauss-Legendre求积算法

2018-09-11王同科吕振亚

天津师范大学学报（自然科学版） 2018年4期

秦梦，王同科，吕振亚

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

考虑一类弱奇异Volterra积分方程

其中：g（t）为已知函数；μ为正常数.由方程知当μ＞1时，其核函数仅在t=0处奇异；当0＜μ＜1时，核函数在t=0和s=0处均奇异.方程（1）在带有混合边界条件的热传导方程中应用广泛.文献[1]指出积分算子不连续，即算子非紧致，故不能用一般的数值方法求解这类弱奇异Volterra积分方程，文献[2]给出了方程（1）解的表达式，将方程（1）转化为奇异积分的计算问题.

许多文献研究了方程（1）的数值求解方法.文献[3]研究了一种基于欧拉方法的外推法.文献[4]在此基础上进行拓展，证明了当0＜μ≤1时，解的收敛阶为O（hμ），其中h为最大的网格尺寸.文献[5]采用欧拉方法提高了收敛速度，收敛阶为O（h/ε），ε依赖于网格尺寸h.文献[6]在渐密网格下采用欧拉方法，但该方法对0＜μ＜1不适用.文献[7]基于高斯求积公式提出了一种高阶的算法，所得方程的解有较高的收敛阶，但g（t）需满足一定的条件.本文基于修正的复合Gauss-Legendre求积算法，将区间[0，t]剖分为n等份，步长为h，在包含奇点的小区间[0，h]上利用修正的复合Gauss-Legendre求积算法，在其余小区间使用传统的复合Gauss-Legendre求积公式，得到了精度非常高的数值解.

1 具体算法

1.1 奇异积分的Gauss-Legendre求积算法

1.2 当0＜μ≤1时方程（1）的求积算法

1.3 μ＞1的情形

当μ＞1时，f（s）=sμ-2g（s）.若g（s）有Puiseux级数展开式（14），而β1＞0，则有

2 数值算例

表1 例1中，c0=0的计算结果和误差Tab.1 Computational results and errors of example 1 when and c0=0

C-value E-error T-error 0.5 0.887 690 545 165 589 1.184 78×10-15 -4.440 89×10-16 1.0 1.917 522 474 449 763 1.675 54×10-15 -8.881 78×10-16 1.5 3.060 910 065 246 724 2.052 10×10-15 -1.332 27×10-15 2.0 4.310 446 560 739 000 2.369 57×10-15 -8.881 78×10-16 2.5 5.663 584 263 620 385 2.649 26×10-15 -0 3.0 7.119 941 062 224 148 2.902 11×10-15 -3.552 71×10-15 t