反比例函数中经典例题解析

我们在解决反比例函数y=[kx]（k≠0）中面积类问题时，通常会过反比例函数图像上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，那么垂足、原点和已知点三点构成的三角形面积恒等于[k2].如果反比例函数图像上依次出现A、B两点，我们将如何处理与面积有关的问题呢？今天就两个经典例题，跟大家分享一下解题技巧.

【例1】如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=[kx]（k>0）的图像与AB相交于点D，与BC相交于点E.若BD=3AD，且△ODE的面积为9，则k的值为 .

方法一：设点D（a，b），由于A、D、B三点在同一条直线上，且所在直线垂直于y轴，所以A、D、B三点的纵坐标都相同，从左至右各点坐标可以分别是：A（0，b），D（a，b），B（4a，b）.

由于点B、E、C三点在同一条直线上，且所在直线垂直于x轴，故B、E、C三点的横坐标相同，都是4a.因为点D、E都在反比例函数y=[kx]的图像上，所以点D、E的横坐标与纵坐标的乘积为定值k，且点E的横坐标是点D横坐标的4倍，故点E的纵坐标是点D纵坐标的[14].由点D（a，b）可得点E（4a，[14]b），从上至下各点坐标分别是：B（4a，b），E（4a，[14]b），C（4a，0）.

由各点坐标可以得出：

OA=b，AD=a，DB=3a，BE=[34b]，EC=[14b]，OC=4a.

S△ODE=S矩形OABC–S△AOD–S△OCE–S△DBE

=4a×b[-a×b2-4a×14b2-3a×34b2]=[15ab8].

∵S△ODE=9，∴[15ab8]=9，∴ab=[245].

∵点D（a，b）是反比例函数y=[kx]的图像上的一点，∴k=ab=[245].

方法二：设点D（m，[km]），利用方法一的推理，可得出点A（0，[km]），D（m，[km]），B（4m，[km]），E（4m，[k4m]），C（4m，0）.

由各点坐标可以推出：

OA=[km]，AD=m，DB=3m，BE=[3k4m]，CE=[k4m]，OC=4m.

S△ODE=S矩形OABC–S△AOD–S△OCE–S△DBE

=4m×[km-k2-k2-3m×3k4m2]

=4k-k-[98]k

=[158]k.

∵S△ODE=9，∴[158]k=9，∴k=[245].

方法一中：通过点D的坐标（a，b），表示其余各点坐标以及各条线段的长度，简单清晰，既便于表示，又便于计算.

方法二中：借助一个参数字母m以及k来表示各点坐标和各线段的长度，由于分母中带有字母，所以在表示和计算时易出错和混淆，但这种方法的优点是可以直接列出关于k的方程.

【例2】如图4，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，OC是△OAB的中线.点B、C在反比例函数y=[3x]（x>0）的图像上，则△OAB的面积等于 .

方法一：设点B（a，b），过点B作y轴的垂线，垂足为D，过点C作x轴的垂线，垂足为F，DB与CF交于点E，构造矩形ODEF，如图5.

因为B、D、E三点共线，且所在直线垂直于y轴，故B、D、E三点的纵坐标都相同，都为b.

因為C、E、F三点共线，且所在直线垂直于x轴，故C、E、F三点的横坐标都相同.

∵OC是△OAB的中线，∴BC=CA.

由△CBE≌△CAF，可知CE=CF=[b2].

∵B、C同在反比例函数y=[3x]的图像上，且点C的纵坐标是点B纵坐标的[12].

∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍.

∴由B（a，b），可得点C（2a，[b2]），

∴E（2a，b），C（2a，[b2]），F（2a，0）.

∴OD=EF=b，DE=OF=2a.

∵S△AOB=S四边形OBCF+S△CAF

=S四边形OBCF+S△CBE=S梯形OBEF，

∴S△AOB=S矩形ODEF-S△ODB[=2a×b-32]=2×3

[-32]=[92].

或S△AOB=S梯形OBEF=[（BE+OF）×EF2]=

[12]（a+2a）b=[32]ab=[32]×3=[92].

方法二：在方法一的基础上作BK⊥OA，垂足为K，如图6.利用S△AOB=[12]×OA×BK求值.

图6

∵△CBE≌△CAF，∴BE=AF=a.

∴OA=3a.

又∵BK=OD=EF=b，

∴S△AOB=[12]×3a×b=[92].

通过对以上两道例题的分析，我们发现当已知反比例函数图像上的两个点，要求图形面积时，我们可以遵循以下的解题思路：

首先，设反比例函数图像上一个点的坐标，可以用两个字母（a，b）表示，也可以设为（m，[km]）；

其次，过其中一点作x轴的垂线，过另一点作y轴的垂线，延长两条垂线，与坐标轴围成矩形，根据三点共线，得出各点坐标，并根据各点坐标表示相关线段的长度；

最后，利用割补、替换、和差等面积处理方法，建立图形面积之间的关系.

（作者单位：江苏省常州市武进区湟里初级中学）