广义分数阶混沌系统的鲁棒同步研究

刘焕霞　赵鑫　林崇　马瑞兰

摘要： 针对广义分数阶混沌系统在微分阶数0<α<1时的鲁棒同步问题，本文通过构造同步信号得到响应系统，利用实数域上正常广义分数阶系统的可容许性判据，结合Schur Complement定理等，进一步考虑广义分数阶不确定混沌系统的鲁棒同步问题。经过理论推导，以线性矩阵不等式的形式给出一种广义分数阶不确定混沌系统鲁棒同步的充分必要条件，并求出状态反馈控制率，并利用两个数值例子进行证明。结果表明，与已有分数阶混沌系统鲁棒同步定理相比，本文所得结果变量较少，结果以及推导过程简洁，对于正则性未知的广义分数阶混沌系统同样适用，适用范围较广，说明了本研究的有效性。该研究为广义分数阶不确定混沌系统的鲁棒同步问题提供了理论指导。

关键词： 分数阶混沌系统； 广义系统； 不确定性； 鲁棒同步； 可容许

中图分类号： TP13； O231.1文献标识码： A

广义系统又称为广义状态空间系统、微分代数系统等[1]，由广义微分方程支配，赋予系统许多特殊特征，使广义系统的研究比传统的线性系统更复杂。近几年研究发现，引入分数阶导数时，对某些现象的描述更为精确，传统的整数阶系统的许多基本概念和结果已成功地推广到分数阶系统[17]。广义分数阶微分方程在各学科和工程领域中的应用得越来越广泛。Ruilan M等人[89]给出正则无脉冲分数阶广义系统可容许问题的充分必要条件；Zhang X F等人[10]给出对于正则性未知的广义分数阶系统可容许的充分必要条件。目前，分数阶混沌微分系统的同步问题在安全通信和控制处理中的潜在应用被广泛关注。Chen F X等人[11]利用线性状态反馈方法，对具有不同参数摄动和不同外部干扰的不确定混沌系统，分别在主从系统上建立了LMI形式的鲁棒同步算法；A.A.Ahmadi等人[12]则研究了基于不确定混沌系统的鲁棒同步问题；Huang L L等人[13]对基于变结构控制的不确定混沌系统的鲁棒同步问题进行了深入研究；Chen L P等人[14]给出了分数阶不确定混沌系统鲁棒同步问题的充分必要条件；张志明等人[15]研究了基于分数阶控制器的分数阶混沌系统同步。基于此，本文将正常分数阶不确定混沌系统推广到广义分数阶不确定混沌系统，并基于文献[10]，通过理论推导，得到该系统鲁棒同步的充要条件，数值例子验证了本文结果的有效性。该研究对广义分数阶不确定混沌系统具有重要意义。

1问题描述和预备知识

分数阶积分微分算子是整数阶积分微分算子的广义概念，可以用一般的基本算子表示。根据Caputo导数定义[16]，函数f（t）的α阶导数为

Dαf（t）=1Γ（m-α）∫t0f（m）（s）（t-s）α+1-mds

式中，m为整数，且满足m-1<α≤m；Γ（·）是Gamma函数；t∈（0，∞）是函数f（·）的自变量；s∈（0，t）是积分函数的自变量。

考虑如下广义分数阶不确定混沌系统

Edαxdtα=（A0+ΔA）x+f（x）（1）

其中，E∈Rn×n且rank（E）=r假设系统（1）的输出信号为s（x），基于非线性观测器的设计理念[1718]，可构造同步信号为

s（x）=f（x）+Kx（2）

其中，K∈Rn×n是反馈增益矩阵。广义分数阶非线性状态观测器为

Edαdtα=（A0+ΔA）+f（）+（s（x）-s（））（3）

其中，=（1，2，…，n）T∈Rn表示系統的状态观测向量。

定义系统（1）和系统（3）之间的同步误差e=-x，则广义分数阶同步误差系统为

Edeαdtα=（A0+ΔA-K）e（4）

为设计一个合适的反馈增益矩阵K，使该分数阶同步误差系统（4）是可容许的，即

Limt→∞e=Limt→∞-x=0

定义1[9]对于广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t），如果det（sαE-A）不恒为零，则称（E，A）正则；如果deg（det（sαE-A））=rankE，则称（E，A）无脉冲。其中deg·表示矩阵行列式最高阶数，det（·）表示矩阵行列式。

定义2[8]如果广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t）正则，当且仅当存在两个非奇异矩阵P，Q，使如下等式成立，即

PEQ=Im00Jn-m， PAQ=A100In-m

其中，Jn-m是幂零矩阵。

引理1[10]假设广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t）正则，矩阵P，Q满足定义2，则：

1）若广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t）是无脉冲的，当且仅当Jn-m=0。

2）若广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t）是稳定的，当且仅当arg（spec（A））>α（π/2）。

3）若广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t）是可容许的，当且仅当Jn-m=0，且arg（spec（A））>α（π/2）。

如果广义分数阶系统EDαx（t）=Ax（t）的正则性未知，仍然会存在两个非奇异矩阵P，Q，使

PEQ=Im000， PAQ=A1A2A3A4

引理2[10]系统EDαx（t）=Ax（t），0<α<1是可容许的，当且仅当存在实数矩阵X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m），使如下不等式成立，即

X1X2-X2X1>0， Sym{aPAQX-bPAQY}<0，

X=X10X3X4， Y=X2000

其中，a=sin（α（π/2）），b=cos（α（π/2））。矩阵P，Q满足引理1，Sym{M}=M+MT。

引理3[19]给定适当维数的实数矩阵M和N，则对所有满足FTF≤I的矩阵F，使

Φ+MFN+MTFTNT<0

成立的充分必要条件是存在ε>0，使如下不等式成立，即

Φ+εMMT+ε-1NTN<0

引理4[20]（Schur Complement）：对给定的实数矩阵S1，S2和S3，其中S3>0，S1+S2S-13ST2<0等价于

S1S2ST2-S3<0

2主要结果

定理1在微分阶数（0<α<1）下，系统（1）和系统（3）之间实现鲁棒同步，当且仅当存在实数矩阵X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m）和L∈Rn×n，以及标量ε>0，使如下不等式成立，即

Ω（aNQX-bNQY）T-εIn<0（5）

其中

Ω=sym{aPA0QX-bPA0QY-L}+ε（PM）（PM）T

式中，a=sin（απ/2）），b=cos（απ/2），矩阵P，Q满足引理1，此时反馈增益矩阵为

K=P-1L（aNQX-bNQY）-1（6）

证明由引理2可知，系统（4）是可容许的充分必要条件为存在实数矩阵X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m），满足

X1X2-X2X1>0， sym{aPAQX-bPAQY}<0

成立。

记A=A0+ΔA-K，L=PK（aNQX-bNQY），则有

sym{aPAQX-bPAQY}=sym（aPA0QX-bPA0QY-L）+sym{aPΔAQX-bPΔAQY}=sym{aPA0QX-bPA0QY-L}+sym{PMF（aNQX-bNQY）}<0

由引理3可知，上式成立等价于存在ε>0，使

sym{PMF（aNQX-bNQY）}≤εPMFFTMTPT+ε-1（aNQX-bNQY）T（aNQX-bNQY）≤εPM（PM）T+ε-1（aNQX-bNQY）T（aNQX-bNQY）

于是得

sym{aPAQX-bPAQY]≤sym{aPA0QX-bPA0QY-L}+εPM（PM）T+ε-1（aNQX-bNQY）T（aNQX-bNQY）<0（7）

通过引理5（Schurcomplement）可知，式（7）等价于式（5），所以系统（4）是可容许的。因此，系统（1）和系统（3）是鲁棒同步的。证毕。

当系统（1）和系统（3）无扰动，即矩阵M=0，N=0时，可得到如下推论：

推论1系统（1）和系统（3）是鲁棒同步的，当且仅当存在实数矩阵X1，X2∈Rm×m，X3∈R（n-m）×n，X4∈R（n-m）×（n-m），L∈Rn×n，使如下不等式成立

sym{aPA0QX-bPA0QY-L}<0

式中，=PK（aQX-bQY）矩阵P，Q满足引理1，此时反馈增益矩阵K=P-1（aQX-bQY）-1。

当系统（1）和系统（3）为正常分数阶不确定混沌系统，即E=I时，可得如下推论：

推论2系统（1）和系统（3）是鲁棒同步的，当且仅当存在实数矩阵X，Y和矩阵L，以及标量ε>0，使

Ω（aNX+bNY）T-εIn<0

其中

Ω=Sym{aA0X+bA0Y-L}+εMMT

式中，a=sin（απ/2），b=cos（απ/2）。此时，反馈增益矩阵为K=L（aNX+bNY）-1。

注1文献[14]利用线性矩阵不等式技术研究了分数阶不确定混沌系统的鲁棒同步问题，与其相比本文具有以下优点：

1）文献[14]只能解决正常分数阶不确定混沌系统的鲁棒同步问题，本文定理1则对广义系统同样适用；

2）当广义分数阶不确定混沌系统降为正常分数阶不确定混沌系统时，即E=I，本文推论2的结果比文献[14]所得结果简洁，且给出了一种充分必要条件，而文献[14]在必要性理论推导过程中，令P11=P21=P，P12=P22=0，不具有一般性；

3）本文结果参数较少，理论推导过程及仿真程序较为简洁。

3数值例子

为验证本文定理的有效性，本文给出两个数值例子进行证明。

例1考虑如下由式（4）所描述的系统，其中

E=010010100， A0=0-1001010-1， P=0010101-10

Q=100010001， M=0102000300002， N=100010001， α=075

根據本文定理1，通过Matlab的LMI工具箱求解，可求得各矩阵变量分别为

X1=1676 8001940 8， X2=01676 8-1676 80， ε=1803 2

X3=10×10-10×0777 6-0242 3， X4=1880 8

此时，状态反馈矩阵K为

K=-0202 32570 52772 8-0202 32570 502975 10202 3 0

例2考虑如下由式（4）所描述的系统，其中

E=P=Q=100010001， A0=-36360020000-3， M=048000065000057， N=100010001， α=095

根据本文推论2，通过Matlab的LMI工具箱求解，可求得各矩阵变量分别为

X=0209 60000571 70000571 7， Y=00209 60209 6-0209 600209 6-0209 6-0209 60， ε=1331 7

L=-7431 10488 1-0827 1 19110 112142 3-0154 70876 50532 9-0884 2

此时，状态反馈矩阵K为

K=-35456 11865 3-0482 192645 018530 0-3478 94122 00767 2-1692 4

根据本文推论2，并利用Matlab软件对数值例子2进行仿真分析，得到广义分数阶误差系统可容许性曲线如图1所示。由图1可以看出，分数阶同步误差系统在3 s左右时趋于稳定。

4结束语

本文将分数阶不确定混沌系统的鲁棒同步问题推广到广义系统，并利用实数域上广义分数阶系统的可容许性新判据研究了广义分数阶不确定混沌系统的鲁棒同步问题，以线性矩阵不等式的形式给出了该问题的一种充分必要条件，比已有的结果适用范围广，且对于正则性未知的广义分数阶混沌系统同样适用，结果参数较少，理论推导过程及仿真程序较为简洁，数值例子进一步说明了本文主要结果的有效性，该研究对于进一步研究分数阶广义混沌系统鲁棒同步问题具有重要意义。

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