平面问题下混合模式界面断裂的内聚力模型研究

杨恺敏

摘 要：分層结构在工程中应用广泛，但易出现界面离缝问题。界面断裂力学是目前研究界面离缝问题中采用较多的办法。本文基于内聚力模型和经典梁理论对平面问题下界面破坏模式进行研究。

关键词：层间离缝；内聚力模型；混合模式

中图分类号：O346.1 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2018）05-0060-02

Study on Cohesion Model of Mixed Mode Fracture under Plane Problem

YANG Kaimin

（Tianjin Municipal Engineering Design and Research Institute，Tianjin 300457）

Abstract： The layered structure is widely used in engineering， but it is easy to appear the problem of interface separation. Interfacial fracture mechanics is one of the most used methods in the research of interface separation. In this paper， based on the cohesion model and the classical beam theory， the interface damage model under plane problem was studied and analyzed.

Keywords： interlayer separation； cohesion model； mixed mode

1 断裂力学的内聚力模型分析研究

分层结构相较于单一材料的结构而言通常具有质量轻、力学性能好、耐腐蚀性能强等明显优势，加之粘接技术的发展，分层结构的应用更加广泛。工程上的分层结构很常见，但存在的问题也较多。例如，新老混凝土的破坏、桥面铺装层的开裂及推移破坏、无砟轨道板与填充层的离缝问题等。由于层间界面的力学机理较为复杂，界面离缝的一个重要特征在于界面处的位移场具有不连续性，因此运用传统力学处理分层结构在运用中出现的界面问题也较为困难。利用界面断裂力学的内聚力模型进行分析研究是目前采用较多的方法。

断裂力学中按照裂纹的扩展方式可分为Ⅰ型问题（张开型）、Ⅱ型问题（滑开型）、Ⅲ型问题（撕开型）这3种基本裂纹类型[1]。Ⅰ型和Ⅱ型属于平面问题，Ⅲ型属于面外问题。如果某一裂纹同时存在这几种情形则称作复合型裂纹。本文主要针对界面的平面问题展开讨论。

内聚力模型基于弹塑性断裂力学，考察裂纹尖端的塑性区，提出在裂纹尖端存在一个微小的内聚力区[2]。内聚力区的尺寸是一个相对很小的常数，并且与加载方式无关。在对内聚力区的研究中发现，由于原子间的吸引力是原子间被拉开距离的函数，在这个微小的区域内，裂纹面上可以存在一定的小于某一临界值的裂纹张开位移δ，裂纹面上的应力σ即为该张开位移的函数。因此，在内聚力区内，通常将裂纹面上各向应力定义为裂纹面上位移之间的关系，称之为开裂界面上的张力位移关系：

[σ=fδ] （1）

开裂过程中释放的能量称为能量释放率G：

[G=σdδfδdδ] （2）

按照断裂力学的理论，当能量释放率G达到临界值[Gc]时，裂纹扩展。[Gc]的值与材料性能相关，由实验测定。

2 混合模式界面断裂

平面问题下的混合模式界面断裂是指构件在外荷载作用下界面同时存在Ⅰ型和Ⅱ型模式的裂纹扩展方式。在研究Ⅰ型、Ⅱ型的混合模式问题时，最常使用的是单腿弯曲试验（SLB），这一方法是Yoon和Hong在1990年基于改进的ENF试件提出的[3]。

在SLB试件裂纹尖端处，取单位宽度微元段为研究对象。

上梁底部与下梁顶部的相对界面位移w（正向张开方向）有以下关系式：

[w=w2-w1]；[dwdx=dw2dx-dw1dx] （3）

上梁与下梁的相对切向位移[δ]可表示为：

[δ=u2-u1=u20-u10+h12dw1dx+h22dw2dx] （4）

试件本构方程可以表示成：

[Ni=Aidui0dx]；[Mi=-Did2widx2] （5）

式（5）中，[Ai=Exihi1-vxzivzxi]，[Di=Exih3i121-vxzivzxi]，下标i=1，2分别表示梁1（上梁）和梁2（下梁）。Ni和Mi表示梁i（i=1，2）单位宽度的轴力和弯矩。Ai和Di表示梁i（i=1，2）在平面应变条件下单位宽度的轴向刚度和抗弯刚度。

每片梁在粘接区的平衡方程为：

[dN1dx=-τx]；[dN2dx=τx]；[dQ1dx=-σx]；[dQ2dx=σx] （6）

[dM1dx=Q1-h12τx]；[dM2dx=Q1-h22τx] （7）

对于I型模式有：

[J1h1Q2h1+h2-h2Q1h1+h2θ2-θ1-DTh1D1-h2D2M1D1-M2D2dM1+M2（h1+h2）+DT2M1D1+M2D22]（8）

式（8）中，[DT=D2D1D1+D2]。

对于Ⅱ型模式有：

[JⅡδ=τdδ=12N1A1-N2A221A1+1A2+h14D1M21+h24D2+h14D1+h24D2M1M2+h14D1+h24D2M1dM2-M2dM1h12+h22+Q1+Q2θTh12+h22]（9）

式（9）中，[θT=h12θ1+h22θ2=h12dw1dx+h22dw2dx]。式（8）与（9）分别对应于JΙ与JΙΙ，其意义在于在测得荷载与转角的情况下可以直接得到构件的JΙ与JΙΙ。

3 与有限元模型进行对比

Ⅰ型、Ⅱ型的本构关系采用双线性内聚力模型[4]。利用有限元得到构件的θ1和θ2，通过通用式子算出能量释放率，与实际的能量释放率进行对比。模型的SLB构件参数见表1。有限元模型采用二维的四节点平面应变单元，基于平面的内聚力模型模拟张力-位移关系。总共用了1 800个平面应变单元，结果如图1所示。

从图1可以看出，理论结果与实际结果在前段部分吻合度很高，随着力值的增大，理论结果逐渐小于实际结果。这可能是因为本次理论研究均是基于小变形理论展开，随着力值的增加，变形增大，导致误差也随之增大。

4 总结

①基于内聚力模型来初步研究任意模式下的通用型理论，得到JI、JII关于转角θ1、θ2的表达式。②以非解耦条件的SLB为例，利用有限元模型验证对比解析模型的结果。发现二者在前段吻合很好，随着变形的增加误差稍有增加，这可能是基于小变形理论所致。

参考文献：

[1]尹双增.断裂损伤理论及其应用[M].北京：清华大学出版社，1992.

[2]张军.界面应力及内聚力模型在界面力学的应用[M].郑州：郑州大学出版社，2011.

[3]Yoon S.H.，Hong C.S. Modified end notched flexure specimen for mixed mode interlaminar fracture in laminated composites[J].International Journal of Fracture，1990（1）：3-9.

[4]Mi Y.，Crisfield MA，Davies G.A.O，et al. Progressive Delamination Using Interface Elements[J].Journal of Composite Materials，1998（14）：1246-1272.