关于利率类债券的久期和凸性的研究

钟惠平

摘 要 通过对债券和债券组合所面临的利率风险的提出，引出债券利率敏感性的两个度量工具，即修正久期和凸性。在對麦考利久期、修正久期、凸性进行概念介绍时，同时也介绍了修正久期和凸性的适用情况，并运用实例分析进行说明。

关键词 利率类债券；麦考利久期；修正久期；凸性

当投资者投资利率类债券时，总是希望获得收益，而唯恐价格发生不利变动导致自己的资产价值受损。市场上的基准利率是债券价格的晴雨表，而基准利率是不稳定的，使得投资者的资产价值经常发生变动，这就是投资者面临的利率风险。投资者需要了解到自己面临的利率风险的大小，即债券价格相对于利率变化的敏感性。通俗来说，就是当基准利率变化发生变化时，对应债券价格的变化幅度。债券价格的变动程度越大，债券的敏感性越大，变动程度越小，则债券的敏感性越小。比如，同样作为利率类债券，当利率上升（下降）0.01%，A债券的价格下降（上升）了0.5%，而B债券上升（下降）了0.4%，我们会说，A债券的利率敏感性大于B债券的，即A债券的利率风险更大。

我们通常利用修正久期和凸性去表示债券的利率敏感性。当利率水平变化幅度很小时，修正久期可以囊括利率的变化所带来的债券价格的变化。但由于债券的价格收益率曲线并非为一条直线，而是凸型的，这就决定了当利率水平发生较大幅度的变动时，仅仅依靠修正久期，没有办法完全反映债券价格相对于利率变化的敏感性。这时，我们需要引进一个新的概念，就是凸性，运用修正久期和凸性去衡量债券价格相对于利率的敏感性，使得债券的预测价格和实际理论价格的误差变得很小。以下理论的假设前提是利率期限结构是水平的。

一、久期

首先我们引入了久期的概念，久期是最早由美国经济学家麦考利于1938年提出，被称为麦考利久期。最初是将麦考利久期作为衡量投资者进行债券投资的回收期限，后来逐渐才将它作为衡量债券价格的利率敏感性的一个指标。麦考利久期的计算是将债券现金流现值于债券现金流总现值的比值作为权重，对回收各期现金流的期限进行加权平均得出来的，并且用字母D表示。按照定义，麦考利久期的计算公式为

二、修正久期

久期被描述为债券投资回收的平均年限，其单位为年，当其用来表示利率敏感性时，其实并不是十分准确的，这里我们引进修正久期。

修正久期的推导如下：债券价格

将债券价格对利率进行求导

两边除以P得到

得 得

这里的 即为修正久期，修正久期直接衡量债券价格的利率敏感性，式中表示的意义是债券价格的变动率是修正久期与利率变动量的乘积。负号表示债券价格变动与利率变动成反比关系。此时，债券价格的变化率是利率变化量的线性函数。但这个公式成立的前提条件是利率的变化量非常小，以至于我们可以忽略凸性，使得债券的预测价格和理论价格的误差非常小。

三、凸性

在债券或者债券组合中，其久期本身也会随着利率的变化而变化，当利率变化很小时，久期的变化也十分小，此时我们可以直接利用久期计算债券的利率敏感性，这样计算出来的债券价格的变化量的误差非常小。但是当利率变化程度较大时，久期不能完全描述债券价格对利率变动的敏感性，于是在1984年Stanley Diller引进了凸性的概念，表示久期对于利率变动的敏感性。久期描述了价格收益率曲线的斜率，而凸性描述了价格收益率曲线的弯曲程度，弯曲程度越大，凸性越大。

将债券价格的变动 对市场利率（i）进行泰勒展开

方程的两边同时除以债券的价格P，得到债券价格变动率 对利率i的泰勒展开式

上式中的一阶项和二阶项为债券价格对利率变动的一节敏感性和二阶敏感性，二阶敏感性对应的就是我们谈到的凸性，即 。

将上式中的一阶项和二阶项保留下来，将其余部分剔除，即得到 。

四、修正久期和凸性的计算和应用

假设债券面值为100，票面利率为5%，利率期限结构为水平，到期收益率为5%，一年付息一次的五年期付息债券

（一）利率变动幅度小， 0.01%。

1.只利用修正久期去衡量债券价格变动。修正久期为4.329476671，当利率增加一个基点时，预测债券价格为99.95670523，理论价格为99.9567172，误差率为-0.00001197%。

2.利用修正久期和凸性预测债券价格。修正久期为4.329476671，凸性为23.9359875，当利率增加一个基点时，预测债券价格为99.9567172，理论价格为99.9567172，误差率为-0.0000000026%。

（二）利率变动幅度较大， 0.1%

1.只利用修正久期去衡量债券价格变动。修正久期为4.329476671，当利率增加十个基点时，预测债券价格为99.56705233，理论价格为99.56824652，误差率为-0.0011993671%。

2.利用修正久期、凸性去衡量债券价格变动。。修正久期为4.329476671，凸性为23.9567875，当利率增加十个基点时，预测债券价格为99.56824913，理论价格为99.56824652，误差率为-0.0000026219%。

从以上利用久期和凸性衡量债券价格变化的实例中可得知，当变动幅度为0.01%（利率变动幅度很小）时，只利用修正久期计算债券价格的变动所产生的误差率为-0.00001197%；利用修正久期和凸性计算债券价格的变动所产生的误差率为预测债券价格误差率为-0.0000000026%。利用久期和凸性两者共同所预测的债券价格更加精确，但是利用修正久期或者利用修正久期和凸性共同预测的误差都不大。

当变动幅度为0.1%（利率变动幅度较大）时，只利用修正久期计算债券价格的变动所产生的误差率为-0.0011993671%；利用修正久期和凸性计算债券价格的变动所产生的误差率为预测债券价格误差率为-0.0000026219%。只利用修正久期去预测债券价格的误差将会放大很多倍，误差率达到-0.0011993671%，而利用久期和凸性两者共同所预测的债券价格则精确得多，误差率只有-0.0000026219%。

说明，当利率变动幅度很小时，利用修正久期已经可以囊括债券价格的绝大多数波动，此时计算出来的结果是准确的。而当利率变动幅度很大时，只利用修正久期去预测债券价格将会产生很大的误差，此时，务必需要使用修正久期和凸性共同预测。