抽象概括应合乎逻辑——“长方形和正方形”听课有感

◇ 钱进芳 刘继业

前不久，笔者听了一节三年级数学课，内容是“长方形和正方形”（苏教版教材三年级上册）中其特征的教学，现仅以执教老师安排学生探索“特征”的活动环节为例，谈谈其中的不足。

活动片段

上课伊始，教师出示7个不同的几何图形，让学生分别指认各是什么图形。学生说完后，教师将白纸剪成的长方形和正方形贴在黑板上，并直接指出长、宽和边长；接着，让学生观察并找出教室里哪些物体的面是长方形或正方形的。

师：你还能举例说说生活中看到过的长方形和正方形吗？

（学生举例）

师：这节课我们就来研究长方形和正方形的特征。

师：观察长方形和正方形（指着贴在黑板上的 2个图形），猜猜看，它们有什么特点？

生：长方形有4条边，对边相等。

生：4个角都是直角。

生：正方形有4条边，它们都相等。

生：4个角也都是直角。

……

师：是不是所有的长方形、正方形都满足呢？

（有学生摇头，有学生一脸疑惑的表情，期待着老师的答案）

师：那我们来验证看看，是不是像他们说的那样。

（课前，教师已用白纸为学生剪好形状相同、大小相等的长方形和正方形若干，“验证”前分发给每个学生长方形和正方形各一个）

师：验证时可以量一量、折一折、比一比。

（学生开始动手“验证”其特征）

……

比照教材

教材中，在让学生指认出例1图（教室图）中已学过的哪些物体的面是正方形和长方形后，要求学生：“拿几张长方形和正方形的纸，量一量，折一折，比一比，看看长方形、正方形的边和角各有什么特点。”通过学生的操作活动，从而抽象概括出：“长方形有四条边，对边相等；有四个角，都是直角。正方形的四条边都相等，四个角都是直角。”

直击问题

上述活动片段中，教师用白纸剪好形状相同、大小相等的长方形和正方形若干，并分发给每个学生，让其“验证”特征；而教材则是要求学生“拿几张长方形和正方形的纸”（固然，这里的“几张”可以由教师提供，也可以学生自己准备），通过“几张”不同长方形和正方形纸的操作活动，探索并抽象概括出其特征。二者活动的题材大相径庭，教学思路及方法也不尽相同。

笔者暂且不谈是用 “猜想验证”还是“探索归纳”哪种教学思路及方法更加符合教材意图，是否科学合理，单从教师提供给学生“验证”活动的题材来看，是十分不利于对长方形和正方形特征进行“验证”与抽象概括的，甚至是有悖于认知规律和逻辑常识的。

剖析解读

从上述活动片段可知，虽然每个学生都拿到了“验证”正方形和长方形特征的图形活动材料，貌似用了“很多个”图形，学生也都操作了，但是，每个学生手中的图形都是“形状相同、大小相等”的“复制品”，这样的操作相当于用一个图形几十人同时操作罢了。仅仅用此一例，便抽象概括出“验证”的结论，从逻辑学的角度讲，未必就是必然的，即使这个结论存在，也许是偶然的，故结论的可靠性使人怀疑。

教材中的操作活动，要求是 “拿几张长方形和正方形的纸”，这里的“几张”显而易见是指形状不同、大小各异的几张纸，通过几个不同图形的一类事例，量一量，折一折，比一比，抽象概括出具有相同特征的结论，这样得出的结论具有一定的可靠性，也符合人们的认知规律。

教材中用的就是不完全归纳法，不完全归纳法的结构是：S1 是（不是）P,S2是（不是）P……，Sn是（不是）P……所以，S 是（不是）P。不难看出，这里被考察的对象绝不是一个，而是一类，是若干个对象都具有或都不具有某种属性，从而才能推断出某个结论。

小学阶段，由于学生的年龄特点和知识的局限，数学教材中，在讲述和揭示有关概念、图形特征、计算法则、运算规律、求积公式等时，多半用语言进行直观性描述，或用“十分有限”的几个具有相同本质特征、不同表现形式的一类示例，通过观察比较、测量计算、动手操作等活动，从中抽象出其本质内涵，并概纳出括归某一结论。教材在运用不完全归纳法时，对所得出的大多数结论，不作进一步的证明，而是直接应用，这主要是考虑到小学生年龄特点及其知识局限。

课堂教学中，在运用不完全归纳法时，教师务必注意：一类事例中被考察对象的范围越广、数量越多、题材越不相同，所得结论的可靠性就越大。因此，学生在探索研究时，教师提供的活动题材要考虑考察对象上的要求。