高中数学恒成立问题解题策略

杨旅华

【摘 要】本文以例讲解运用换元法、分类讨论法、数形结合思想、化归思想以及赋值法解答高中数学恒成立问题的策略，帮助学生深入探索，掌握正确的解题方法。

【关键词】高中数学 恒成立问题 解题策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）05B-0147-02

高中数学教学的恒成立问题涉及的知识范围比较广泛，具有综合性的特点，是学生学习过程中的难点。恒成立问题在解决的过程中，和不等式、数列以及函数等知识内容交叉，成为高考中的热点内容。但是其解决方式比较灵活，没有固定的方式，学生在解答的过程中，常常无从下手，难以找到问题解决的关键点。在对恒成立问题进行解答的过程中，能够促进学生数学能力的提高。

一、借助换元法，有效解决不等式恒成立问题

在高中数学问题解答的过程中，需要借助辩证的方法，对问题进行相应的转化和迁移，将未知内容进行转化，以便有效解决数学问题。换元法是数学中常用的一种解题方法，它主要有两种方式，引入另一个参数来代替未知数和使用常数或者表示常数的字母代替未知数。在含有两个变量的不等式中，学生习惯性地把 x 作为主元，把另外一个变量 a 当作参数。当遇到一些比较繁琐的解答过程时，如果把已知取值范围的变量作为主元，把求解取值范围的变量当作参数，那么就能够有效简化解题过程。例如：

二、合理利用分类讨论，解决二次函数恒成立问题

二次函数是高中数学中的重要内容之一，二次函数又分成一元二次函数和二元二次函数两种。二次函数有关恒成立的问题，主要和一元二次函数进行结合。一元二次方程、不等式以及二次函数之间又有密切的关系，在解题的过程中，需要对其进行利用，进行分类讨论。在二次函数中，由于 x 值的范围不同，其增减性不同。二次函数又会涉及顶点、最值等问题，因此，在对二次函数恒成立的问题进行解答时，需要考虑函数性质、图象特点，并进行分类讨论，才能准确地解决问题。例如：

在对二次函数恒成立问题进行解答时，有时需要根据题目进行相应变换，然后根据二次函数的性质、图象等进行全面讨论，才能得出完整的答案。

三、借助数形结合，促使问题得到直观解答

在高中数学中，有关函数恒成立的问题较多，在高考中通常以选择和填空类型的题目出现。函数又跟图象紧密联系，综合性比较强，要想准确地理解函数常常需要进行数形结合。特别是综合性比较强的题目，比如，二次函数和对数函数中的恒成立问题，很难单纯地利用函数性质来进行直接解答，而且解答过程比较复杂，因此，需要利用数形结合的思想来解答。例如：

针对此种类型的恒成立问题，可以对其图象进行绘制以促进问题的解答。特别是在选择题和填空题解答的过程中，借助数形结合，能够使得结果一目了然，提高解题的效率。

四、合理利用归化思想，促进恒成立问题的解决

高中数学中的化归思想不仅是重要的思想，而且也是数学解题中的重要方法，它能够锻炼学生的数学思维，因此它在数学问题解决中得到普遍应用。比如，高中数学中的不等式的恒成立问题，在解答中有时需要对不等式的参数、变量等进行分离，分别对其进行相应的求解。一般来说，利用分离方法将恒成立问题的解答转化成最值问题的求解，也就是说，對解题思路和方式进行转化，使复杂的问题简单化。例如：

在进行解答的过程中，令 x=y，求出 ，得常数 。之后对不等式的前半部分进行证明，得出不等式成立。之后对不等式的后半部分进行证明得出不等式成立。通过这样的方式得出相应的结论，存在实数 C 使得不等式恒成立。

对于高中数学中的恒成立问题来说，其内容覆盖很多数学内容，并且具有综合性的特点。因此，对此类问题，靠单一的解题思路和方式很难进行有效解答，需要学生掌握多种解题思路和方式。学生要掌握和熟练运用换元法、分类讨论法、数形结合思想、化归思想以及赋值法等，以便更加有效地解决问题。

【参考文献】

[1]赖小恬.高中数学恒成立问题解题策略探究[J].成才之路，2016（35）

[2]朱永江.基于高中数学的恒成立问题分析[J].开封教育学院学报，2015（3）