基于Shannon熵的自适应小波包阈值函数去噪算法研究

周 建， 向北平， 倪 磊， 艾攀华

(西南科技大学 制造过程测试技术教育部重点实验室，四川 绵阳 621000)

非平稳信号的细节部分含有大量的特征信息，而实际采集到的信号往往包含严重噪声，导致特征信息无法显露，因此寻求一种有效的信号去噪方法尤为重要。小波阈值去噪方法是一种实现简单且去噪效果较好的算法，工程实践中常用的是小波软、硬阈值去噪方法，虽然其应用较广，但软阈值去噪方法会对小波系数过度扼杀，而硬阈值方法则会产生附加振荡[1]，因此提出一种新的阈值方法尤为重要。针对以上问题，许多学者进行了研究。

Lu等[2]在软、硬阈值的基础上，引入参数于改进阈值函数中，使其能够在软、硬阈值函数之间调整，但并没有提出具体的参数选择方法；Chen等[3]提出了一种基于分解层数的小波去噪算法，将分解层数引入阈值函数中，取得了良好的去噪效果；Cui等[4]提出一种改进阈值函数，使之克服了硬阈值函数的不连续与软阈值过扼杀的缺点；李红延等[5]介绍了一种新的小波收缩阈值函数，并引入了多个调节因子，以增强阈值函数的灵活性，且将其应用于齿轮故障振动信号中，去噪效果较为明显。以上方法皆对阈值函数进行了一些改进，但其改进阈值函数依然没有依据小波分解系数而进行自适应的改变，或没有提出具体的参数化模型，参数选择依据人为经验，给信号去噪过程带来困难。

据此，本文进行深入分析研究，提出一种阈值函数自适应调整的小波包去噪方法，该方法将Shannon信息熵概念引入阈值函数中，分析了小波包系数的噪声污染情况且兼顾了噪声信号的去除与原始信号的保留。研究结果表明，该方法比传统小波阈值函数去噪方法更能满足信号去噪实践要求。

1 小波包去噪原理与关键问题

1.1 小波包阈值去噪原理

小波包去噪的原理是含噪信号经小波包分解后，信号的能量主要集中在少数幅值较大的小波包系数中，而噪声的能量则分布在整个小波域内，因此可以认为，代表真实信号的小波包系数幅值一般较大，而幅值较小的小波包系数则很可能是噪声[6-7]。于是采用小波包阈值的方法能将信号系数保留，而令大部分的噪声系数减少为零。设有含噪信号：

s=x+n

(1)

式中：s为实测含噪信号，其由原始信号x与噪声n组成，信号去噪的实质即为根据检测到的含噪信号s对原始信号x进行估计，对应的小波包阈值去噪步骤如下：

(2)

1.2 传统阈值函数的缺陷

传统的软、硬阈值函数由于实现简单而被广泛应用，但去噪效果却有待提升，Cui等对软、硬阈值进行了改进，但仍然没有做到阈值函数的自适应调整，其表达式分别如下：

硬阈值函数：

(3a)

软阈值函数：

(3b)

文献[4]改进阈值函数：

(3c)

为了分析以上阈值函数的去噪效果，研究如图1(a)所示为原始Bumps信号，其波形中含有多个突变波峰，图1(b)为加入高斯白噪声后的Bumps信号，其信号成分完全被噪声淹没，对其分别进行小波包软、硬阈值与改进阈值函数去噪，选用sym3，sym6，sym8和db2、db5、db10小波分别进行分析，通过比较，最终选用sym8小波对信号进行3层小波包分解，为达到最佳去噪效果，选用Chen等研究结论中的阈值：

(4)

式中：σ为信号的噪声标准差；N为信号长度；j为小波包分解层数。由式(4)可知，阈值随着分解层数 的增大而减小，符合实际的信号规律。由上述参数进行去噪得到结果如图1(c)、(d)与图1(e)，由图1(c)可知含噪信号经软阈值去噪后，虽然消除了大部分噪声，但由于软阈值函数将大于阈值的小波系数全部收缩从而使信号原始的一些特征(波峰)也被过扼杀。而图1(d)所示的硬阈值去噪结果表明，含噪信号经过硬阈值去噪后虽然信号过扼杀不明显，但是却产生了一些附加振荡，无法准确还原出原始信号。图1(e)所示的Cui等改进阈值去噪结果显示出了较软、硬阈值更好的去噪效果，但仍然存在一些信号细节缺失问题，且在信号突变处产生了一些振荡。综上所述，为了在去噪处理中消除噪声的同时尽可能地保留原始信号的细节特征，需要研究一种新的自适应阈值函数。

图1 传统阈值函数对Bumps信号去噪结果Fig.1 Bumps signal de-noising results based on traditional threshold function

2 自适应阈值函数去噪算法

2.1 含噪信号的Shannon熵表征

设某被测信号X共由n个信号源构成，即X={x1,x2,…,xn}，各信号源提供相应信息(状态，取值)的概率为P={p(x1),p(x2),…,p(xn)}，则该信号系统结构可表征为：

(5a)

则该信号系统的Shannon熵定义为：

(5b)

对于式(5)，若对上述信号添加m个噪声源n1,n2,…,nm，同理各噪声源提供相应信息的概率为：P={p(n1),p(n2),…,p(nm)}，则新的含噪信号系统结构为：

(6)

同理可得该含噪信号系统的Shannon熵为：

(7)

为了验证以上结论，分析如图1(a)所示的Bumps信号，对其加入噪声标准差为[0,0.5]的高斯白噪声信号，为了说明数据长度对分析结果的影响，分别计算采样数为100和1 000的含噪bumps信号在不同标准差的噪声影响下其Shannon熵值的变化情况，得到如图2所示的结果。由图2可知，不同数据长度情况下Shannon熵值始终与噪声标准差成正比，这验证了本文上述结论，即信号含噪越多，其Shannon熵值也应越大。而对于数据长度较小的时间序列(如信号的小波包节点系数)，其Shannon熵值在同等噪声标准差情况下较小，但其变化趋势与较长时间序列基本相同。

图2 Shannon熵与噪声标准差关系Fig.2 Correlation between Shannon entropy and noisestandard deviation

2.2 一种新的自适应阈值函数

为了解决图1中软、硬阈值函数存在的问题，本文提出一种新的介于软、硬阈值之间且能够根据小波系数的噪声污染情况自适应进行调整的阈值函数，使得重构后的信号偏差尽可能的小，该阈值函数表达式如下：

(8)

式中：x为小波包系数；λ为阈值；k为调节参数。由上式可知，新的小波包阈值函数不仅在小波域内连续，而且高阶可导。该阈值函数图形与软、硬阈值函数及Cui等改进阈值函数对比如图3所示(λ=5,k=5)。

由图3可知，新的阈值函数曲线平滑连续且高阶可导，弥补了软、硬阈值函数与Cui等研究结论中阈值函数的缺陷，且由于调节参数的存在，较Cui等提出的改进阈值函数而言去噪形式更加灵活。为了说明新阈值函数的自适应性，将阈值分别取λ=1,2,…,5(k=5)；参数k分别取k=1,2,3,…,10(λ=5)，得到其对应的阈值函数曲线如图4所示。

由图4(a)可知，与其他阈值函数一般需要设为分段函数不同，新的阈值函数可以根据不同的阈值自适应地调整小波包系数收缩范围，降低了小波去噪计算难度。

由图4(b)所示，当调节参数较小时，阈值收缩趋势较为平缓，对小于阈值的小波包细节系数保留较多；而当k值增大时，阈值收缩区间减小，收缩趋势接近硬阈值。由此可知，与传统软、硬阈值函数不同，新的自适应阈值函数能够在小波包系数阈值收缩区域实现平滑过渡，且可以通过调整参数k的大小确定细节系数的取舍。k值越大，越接近硬阈值处理过程，可以对阈值附近小波包系数进行大尺度的收缩；k值越小，阈值收缩越平缓，对细节小波包系数的保留也越多[10]。因此，k值较大时，适合处理含噪较多的小波包系数，反之小波包系数含噪越少，相应的k值也应该较小，以保留更多的细节信号小波包系数，从而更好地还原原始信号的局部特征。

图3 新阈值函数与其他阈值函数Fig.3 New threshold function and other functions

图4 新阈值函数的自适应性Fig.4 Adaptivity of new threshold function

2.3 阈值函数调节参数的选择

由2.1节可知Shannon熵可用来表征信号含噪的多少，且适用于对短时间序列进行分析，因此将Shannon熵引入新阈值函数小波包系数的含噪情况评判中，为实现阈值函数的自适应调整，对小波包系数Shannon熵值进行极值标准化，即有调整参数：

(9)

对图1(b)所示的含噪信号进行3层小波包(sym8)分解得到其各小波包节点系数波形如图5所示，利用上述算法求得各节点系数Shannon熵值与调整参数k值列于表1。由图5可知，含噪Bumps信号经3层小波包分解后，低频节点系数w1,3，w2,3比较符合原始信号的特征，而其他节点系数受噪声干扰严重，因此w1,3，w2,3对应的调节参数应较小，以尽可能的保留原始信号细节(如表1所示)。

为说明新阈值函数的可行性与优越性，对上述已分解信号进一步分析，为控制比较变量依然使用第一节中的参数进行小波包阈值去噪，得到去噪结果于图6。

为对去噪效果进行定量分析，分别计算软、硬、文献[4]阈值与新阈值去噪后信号的信噪比(SNR)、均方根误差(RMSE)与平滑度(S)[11]，计算方法如下：

表1 各小波包节点对应参数

(1)信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)，其定义为：

(10)

(2)原始信号与去噪信号之间的均方根误差(Root Mean Squared Error, RMSE)定义为：

(11)

(3)平滑度：

(12)

式中：Ps为信号的有效功率；Pn为噪声的有效功率；xi为原始不含噪信号；xi为去噪后的信号；N为采样数。

消噪后信号的SNR值越高，RSME与S值越小，则信号去噪效果越好，具体结果如表2所示。

图5 各小波包节点系数波形Fig.5 Waveform of wavelet packet node coefficients

图6 新阈值函数去噪结果Fig.6 De-noising result of new threshold function

从图6与表2可以看出，新的自适应小波包阈值函数去噪后的信号具有较高的信噪比，较小的均方根误差与平滑度，其不仅能够有效地去除噪声，而且很好地还原了原始信号的细节特征，是一种更为优越的去噪算法。

表2 不同方法去噪效果对比

3 新的自适应阈值函数在轴承振动信号去噪中的应用

3.1 轴承振动信号的获取

为了对本文方法进行进一步检验，搭建了轴承振动实验装置，轴承振动实验平台与被测轴承如图7所示，实验电机转速60 000 r/min，实验轴承为微小型氮化硅陶瓷球轴承QC0011286(由于长时间的高速运转，轴承精度下降，转动噪声较大，且外圈存在故障)，设置采样率为20 kHz，采样时间为0.1 s，经过计算得到轴承外圈故障频率为foc=2 552.9 Hz。图8所示为采集到轴承振动时域信号，由图可知从时域信号中无法直接分辨出信号成分。

图7 轴承振动试验机与被测轴承Fig.7 Bearing vibration test machine and measured bearing

图8 轴承振动时域信号Fig.8 Bearing vibration time-domain signal

3.2 轴承振动信号去噪分析

利用本文提出的自适应阈值函数对图8所示的轴承原始振动信号进行去噪分析，同样选用sym3,sym6,sym8和db2,db5,db10小波分别进行分析，通过比较，最终选用db5小波对信号进行4层小波包分解，得到各节点小波包系数Shannon熵与调节参数值列于表3(由于篇幅原因，只精确到三位有效数字)。得到最终的去噪结果如图9所示。由图可知轴承振动时域信号经过去噪后无法从波形直接分辨去噪效果，因此需对其进一步分析。

图9 新阈值函数去噪后轴承振动信号Fig.9 Bearing vibration signal after new threshold functionde-noising

(a)原始振动信号功率谱

(b)硬阈值去噪后信号功率谱

(c)软阈值去噪后信号功率谱

(d)文献[4]改进阈值去噪后信号功率谱

(e)新阈值去噪后信号功率谱图10 去噪后信号功率谱对比Fig.10 Power spectrum comparison of signal after de-noising

由于轴承外圈故障而产生周期性脉冲信号，其表现形式为调制信号，即以轴的转动频率为调制频率，而轴承外圈故障频率为载波频率，形成边频带，通常，由于故障特征微弱且有噪声干扰的存在，轴承故障特征及其调制特征往往无法清晰显露。但由于本文中轴承转速较快，在高转速工况下轴承故障冲击较强，尽管此时噪声污染严重，但通过信号去噪处理后，利用功率谱分析应能获取到轴承故障特征频率，且不同的去噪方法得到的功率谱分析效果也应不同。因此本文为对轴承振动信号频率成分的还原情况进行直观分析，对原始信号与各阈值方法去噪后信号进行功率谱分析，得到结果如图10。且以轴承特征频率显露情况为去噪效果评判标准，具体分析如下。

从图10可直观的看出，由于受到噪声干扰，原始信号功率谱受噪声干扰严重，虽然能分辨出轴转动频率1 000 Hz及其倍频2 000 Hz，但由于噪声影响，无法很好的分辨出轴承故障频率以及调制成分。含噪振动信号经由硬阈值法去噪后减少了部分噪声，能够清晰分辨出基频及其倍频成分与轴承外圈故障频率2 552.9 Hz，但由于一些干扰频率的存在，并不能准确的判断该故障频率的真实性。而经过软阈值法去噪后，虽然噪声去除较为彻底，但原始信号除基频外的一些频率成分也同时被扼杀严重。Cui等改进阈值去噪后信号基频及其谐波以及轴承的故障频率2 552.9 Hz及其边频3 552.9 Hz都被很好的还原出来，但边频附近仍然存在一些高频噪声。利用本文提出的新的自适应阈值函数去噪法去噪得到的信号功率谱显示，信号基频与倍频以及轴承外圈故障频率2 552.9 Hz清晰可见，且在轴承故障边频3 552.9 Hz以及两倍频5 105.8 Hz附近存在明显波峰，且噪声干扰频率较少。

表3 实验信号各小波包节点对应参数

综上所述，本文提出的基于Shannon熵的自适应小波包阈值函数去噪算法较其他算法而言去除噪声信号更加彻底，同时也更好还原了轴承信号的频率特征，适用于振动信号去噪实践，且能有效地提高故障诊断准确率。

4 结 论

(1)为了克服传统阈值函数在小波去噪实践中的不足，提出了一种新的带参数的阈值函数，将Shannon熵算法作为信号含噪情况评判参数，根据噪声信号在各个小波包分解系数上分布的不同自适应地调整阈值函数，以达到自适应去噪的目的。

(2)将本文去噪方法应用于仿真信号中，并与传统软、硬阈值函数和Cui等改进阈值函数相对比，结果表明本文提出的自适应阈值去噪算法在信噪比、均方根误差和平滑度方面效果更好。对滚动轴承实验信号进行去噪，并对去噪后的信号进行功率谱分析，结果显示本文提出的算法很好的消除了噪声干扰，且保留了原始信号的频率特征，还原了轴承的故障特征，是一种更为有效的信号去噪算法，具有较高的实用价值。