在线段图学习中促进数学语言转换*——以苏教版三下《画线段图解决问题》的教学为例

苏联数学教育家斯托利亚尔认为，数学教学就是数学语言的教学。学生学习数学时，不论是阅读、听讲、回答问题、小组讨论、交流展示，还是独立解决问题，都是以数学语言为中介。数学语言主要包括图形语言、文字语言和符号语言。如果数学语言转换能力差，就会造成阅读、理解、思维和表达障碍，导致学习困难。解决实际问题是小学阶段最重要的学习内容之一，问题形式灵活多样，有的结构特殊，学生很难发现其中的数量关系，无法顺畅地理解题意。线段图是数学图形语言中的一种，用数形结合的形式表示数量关系比较直观，能让人一目了然。学生在抽象、绘画和分析中逐渐理解并掌握线段图的过程，就是学生熟练转换数学语言的过程。

一、经历线段图抽象过程，将一种图形语言转换为另一种图形语言

美国数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定问题可以转化一个图形，那么思想就整体把握了问题，并能创造性思索问题的解法。”线段图能帮助学生分析题意、理解数量关系，是学生从形象思维向抽象思维过渡的载体，是学生有效解决问题的重要工具之一。学生认识线段图是从直条图开始的，经历直条图“遮盖”具体数量，过渡到用直条图概括数量的多少，最后从直条图的具象过程初步抽象为线段图表示数量多少及数量关系。

教师出示2朵红花和6朵蓝花（如图1左），学生用倍数关系描述：蓝花朵数是红花朵数的3倍；蓝花朵数比红花朵数多2倍。用比多比少关系描述：蓝花朵数比红花多4朵。教师用红色和蓝色长方形“遮盖”在两种花上（如图1中），问学生：什么变了？什么没变？学生发现表示数量的物体由原来的花变为长方形，图形变了，但数量之间的倍数关系没有改变——蓝色长方形长度是红色长方形长度的3倍；蓝色长方形长度比红色长方形长度多2倍。教师把长方形逐步变窄直到成为线段图（如图1右），学生发现图形形状发生了改变，线段图表示的数量不仅仅是2朵花，还可以代表更多，而且图形之间的数量关系——倍数关系不变。

图1 图形之间的数量关系

用线段图表示数量和数量关系对低年级学生而言比较抽象：一方面，他们认识数量是从“数”（shǔ）物体个数开始的，从线段图上数不出物体个数；另一方面，根据皮亚杰的认知发展理论，7～11岁儿童的思维以具体形象思维为主，无法想象同样长度的线段可以表示不同的数量。教师先用直条图作为实物图与线段图之间的桥梁，使学生在建立数量多少的基础上理解用图代数的方法（图下有数）；把直条图抽象为线段图，建立数与图之间的对应关系，让学生经历“具体实物—直条图—线段图”的抽象过程，沟通新旧知识间的联系，打通了从直观到抽象的“通道”。学生对线段图就有了本原性认识，实现了从一种图形语言（实物）到另一种图形语言（线段图）的转换。当然，认知经验和个性差异可能使学生的语言转换程度因人而异，教师要帮助他们充分经历交流和表达过程，使他们在独立思考和小组合作中逐步实现目标。

二、经历线段图绘制过程，将文字语言转换为图形语言

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十大核心概念之一，培养学生的初步几何直观是小学数学教学重要任务之一，画线段图则有助于培养学生的几何直观能力。教师一方面要帮助学生逐步养成画图的习惯，另一方面要引导学生理解、掌握一些基本线段图，并应用他们解决问题。在用线段图解决问题前，教师要引导学生充分认识线段图，学会画线段图并用线段图描述问题、分析问题，促进学生对数学语言的理解和表达。

教学时，教师可以先创设情境：国庆节期间，小明的妈妈带小明去商场买衣服。“一条裤子28元，一件上衣的价格是裤子的3倍”。根据这些信息，学生提出一些数学问题，有的学生问：“一件上衣多少元？”有的学生问：“一件上衣比一条裤子贵多少元？”有的学生问：“买一套衣服需要多少元？”解决“一件上衣多少元”时，学生尝试在原有线段图的基础上补充表示上衣价钱的图（如图2）。

图2 裤子和上衣之间的数量关系线段图

根据题目中裤子和上衣之间数量关系——“上衣的价格是裤子的3倍”，学生把裤子价格用一定长度（如1厘米）的线段表示一份，上衣价格就用3个同样长度（3厘米）的线段表示。教师问学生如何在线段图上表示问题时，学生随即在图中表示出已知条件及要解决的问题；教师引导学生比较文字表达信息与线段图表达信息的区别时，学生发现情境图中的条件和问题都可以用线段图表示出来，并且比情境图更清晰、更直观。

绘制线段图既要掌握画图方法，又要理解图形内涵。学生独立画线段图并说明画图理由的过程，就是把文字语言转换为图形语言的过程，转换过程越完整、越规范，就说明学生对题目信息理解越充分，对数量关系理解越透彻，对图形语言表征形式理解得越准确。学生之间相互交流和补充，有助于进一步完善线段图的表达形式（写名称、写数量、画括线、画问号），真正理解线段图的内涵，学会分析问题并掌握解题思路。

三、经历线段图理解过程，将图形语言转换为符号语言

运用线段图的关键，是理解线段图和分析线段图。只有读懂线段图，学生才能独立、正确地画出线段图，才能正确地分析问题和解决问题。因此，学生画线段图之前要学会阅读线段图。“画”和“读”是两个相辅相成的过程，缺一不可。读线段图可以先看出图中各部分所表示的独立信息，再综合起来看线段图整体意义，还可以把各个部分进行对比，联想线段图各部分之间隐藏的数量关系。

教师问学生在线段图（如图2）上能表示哪些问题时，学生用不同的方式解读了线段图的意义。解决购买一套衣服一共需要多少钱时，有的学生列式为 48×3+48=192（元），并比划线段图说明48×3是先求一件上衣的价格，再把两部分合起来求一套衣服的价格；有的学生列式为（1+3）×48=192（元），在线段图上说明把裤子的价格看作1份，上衣价格有这样的3份，求一套衣服多少元，就是求4个48是多少，列式为（1+3）×48。最后，学生根据线段图顺利解决了一件上衣比一条裤子贵多少元的问题。

线段图为学生顺利解决问题提供了很大的帮助。教师提供不完整的线段图，让学生用自己的方式理解，是顺应他们的认知方式。学生用自己的理解方式理解线段图后，能从中体会不同问题在线段图上的表征形式，根据线段图联想和倍问题、差倍问题的结构特征，充分体现线段图表征信息和数量关系的功能，能使抽象的文字语言直观化、复杂的问题简单化、模糊的数量关系清晰化，从而帮助学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。学生根据线段图列出算式的过程，就是把图形语言转换为符号语言解决问题的过程；反过来，学生根据算式对应指图的过程，就是把符号语言转换为图形语言分析问题的过程。学生在举一反三、螺旋上升的过程中认识了线段图与解决问题的关系，实现了图形语言和符号语言的相互转换，提升了问题解决能力。