小学生数学问题解决影响因素的调查研究

周 达 冯娉婷 刘 浩

(北京师范大学中国基础教育质量监测协同创新中心，北京 100875)

一、研究背景

继20世纪60年代“新数运动”和20世纪70年代“回到基础”之后，1980年美国数学教师联合会向第四届国际数学教育大会提交了一份纲领性报告《关于行动的议程——关于80年代中学数学的建议》。这份文件明确指出：“问题解决是80年代学校数学的核心”(第一条)，“数学课程应当围绕问题解决来组织”“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”。由此，在世界各国掀起了以数学问题解决为中心的一系列数学教育改革和研究的热潮，至今仍是研究最热的主题之一[1-2]。

在2012年的PISA测试中，我国上海学生在基于计算机的问题解决能力方面的表现，绝对排名居于参加测试的44个国家和地区中的第六名，而相对排名则居于倒数第二名，这也引起了全球教育学者的广泛关注。因此，探寻培养学生问题解决能力的策略势在必行[3]。

著名学者Schoenfeld(2008)对数学问题解决的相关研究在Lester(1994)的基础上做了进一步的文献分析，研究发现关于数学问题解决的认知因素在近20年的时间里，已经得到了广泛的关注，然而影响学生数学问题解决的非认知因素虽然也得到了一定程度的关注，但是研究并不多[4]。在此背景下，本文采用质性研究的基本范式，探讨影响学生数学问题解决的非认知因素，为一线数学教师有效改进教学实践提供一手的参考资料。

二、数据线索

2016年10月份，中国基础教育质量监测协同创新中心“区域项目组”对我国中部Z市五年级学生(完成四年级课程的五年级学生)进行了大样本的数学监测。在此基础上，研究者以大样本调查数据为基础，从中发现了一所典型学校，学校的具体信息如表1所示。基于表1的信息可以发现，M小学的学生平均家庭社会经济地位(SES)与T区的学生平均家庭社会经济地位基本相当，但是M小学的学生在非常规性数学问题解决、常规性数学问题解决方面的表现均更好。这引起了研究者的兴趣，在控制SES的前提下，为什么M小学的学生在常规性数学问题解决与非常规性数学问题解决方面的表现更好？为了进一步了解该校学生数学问题解决的相关影响因素，研究者进行了为期1天的实地调研。

表1 典型学校的基本信息

三、研究方法

1.研究思路

采用质性研究的基本范式，在自然情境下采用课堂观察和访谈的方式，通过与研究对象互动对其行为和意义建构获得解释性理解，并使用归纳法分析资料，寻找影响学生数学问题解决的相关因素。

由于学生所处的社会环境，决定了影响其数学问题解决的相关因素，本研究主要聚焦学生层面、教师层面和学校层面的因素。

2.抽样

采用目的抽样的方法选取了M小学五年级的6名学生进行访谈，选取该校五年级唯一的数学教师进行访谈，同时也对该校五年级的数学课堂进行了听课，以从多方面了解M小学的五年级学生为什么在数学问题解决能力方面的表现更好。

学生样本选取：6名学生(学生1与学生2，记为S1组；学生3与学生4，记为S2组；学生5与学生6，记为S3组)，具体指标如表2所示。

教师样本选取：五年级的数学教师(M小学五年级只有1个班，所以该年级只有1名数学教师，记为T)。

3.资料收集

收集资料的方法采用的是课堂观察和半开放式访谈的方式展开。根据华东师范大学杨光伟博士论文中所涉及的影响学生数学问题解决的相关因素，研究者设计了课堂观察表和访谈提纲。研究者旁听了1节数学课，教师访谈时长大约1 h，学生访谈时长大约2 h。通过对所获得的原始资料进行分析并归纳，这些资料能够在一定程度上反映影响学生数学问题解决的相关因素。

在学生访谈的过程中，主要侧重了解学生层面哪些因素会对学生数学问题解决的能力产生影响，同时了解教师层面哪些因素是学生感知到的影响其数学问题解决能力的关键因素。

在教师访谈的过程中，主要侧重了解教师层面的因素，教师认为重要的因素与学生所感知的因素是否一致，以增强研究的真实性与客观性；同时，通过教师了解学校层面哪些因素会对学生数学问题解决的能力产生影响。

在课堂观察中，主要是想验证学生层面的因素、教师层面的因素是否真实反映在课堂当中。

4.资料分析

资料分析主要采用基于真实情境分析的方法，尽可能真实地再现当事人看问题的观点，从被访者的角度将影响学生数学问题解决的相关因素进行描述和分析。在对研究结果进行呈现时基于情境，并尽量使用研究者的语言进行阐述。

四、结果与分析

1.良好的学校环境是学生进行数学问题解决的前提

教师T认为，良好的学校环境是学生能够得以安心学习的前提，如果没有这个作为前提，学生在所有方面的表现都不会好。教师T说：“一所校园，如果没有良好的学校环境，学生将无法在这里安心学习。我们学校具有一定的天然优势(该校是一所大学的附属小学)，学校的管理非常人性化，家校沟通频繁，师生关系、家校关系都比较和谐。比如学校会定期请一些家长给各个年级的学生开展讲座，等等。”不得不说学校与家庭之间的有效沟通、良好的师生关系等，无不体现着良好的学校文化氛围，这给学生数学问题解决的良好发展提供了较好的基础。

2.丰富的业余数学活动对学生数学问题解决能力的提升具有促进作用

教师T认为丰富的业余数学活动，不仅激发了学生的学习兴趣，同时提升了学生数学问题解决的能力。教师T说：“低年级的学生主要是剪纸、数学手工等；高年级的学生，是绘制数学手抄报(每学期至少2次)。其中，数学剪纸和手工，主要是鼓励学生自己通过剪纸的方式，剪出数学图形，自由组合图形，形成一幅具有数学意义的图画并加以解释；数学手抄报则是让高年级学生通过手抄报这一媒介，将所学知识归纳总结，提出应用于实际生活中解决问题的数学实例。除了这些内容之外，学校还着力营造了‘书香校园’活动，虽然这一活动主要是鼓励学生阅读课外读物，但是对提高学生的数学问题理解能力、增强学生的综合素质也有着很大的帮助。”学校开展的这些数学活动，其本身就是一个更具开放性的数学问题解决情境，通过活动让学生有意识地把知识运用到解决问题的过程中去；教师则通过让学生采用自己喜欢的方式来学习数学，使得枯燥无味的数学学习变得更加生动、有趣，激发了学生数学学习的自信心，同时也让学生体会到数学学习的过程充满乐趣。此外，学校其他的活动，虽然没有与数学问题解决直接相关，但是对于学生解决文字型的数学问题具有一定的启发作用，促使学生对数学问题的理解能力有潜移默化的提升，这一点，在学生的访谈中也得到了有效验证。

3.一套好的教材对学生数学问题解决能力的培养具有重要意义

在对教师T进行访谈的时候，教师T认为一套好的教材对学生数学问题解决能力的培养具有重要的作用。教师T说：“学校目前使用北师大版教材已有10多年的历史，可以说是新课程改革之后，我们接触到的一套比较好的数学教材，该教材的设计具有一定的启发性，能够促进学生的数学思考和问题解决。我们一直以来都是在尊重教材的基础上进行教学，以教材为基础，注重对学生综合思维能力的培养，组织多种课外活动，同时引导孩子们解决生活中的问题。”由于说得比较抽象，无法判断教师所说的内容是否真正发生，所以在此基础上进行了进一步追问：教材的启发性在哪里？教材是怎么促进学生的数学思考和问题解决的，能举个例子吗？以确保访谈的真实性。基于对教师的访谈可以发现，一套好的教材对学生的数学思考以及学生的数学问题解决能力具有一定的启发作用。此外，在与教导主任的交谈中，她讲道：“我校一位数学教师要承担两个年级的数学课程，教师没有更多的时间和精力来进行备课，因此具有引导性的数学教材能在一定程度上引领学生们的数学发展。”这也从侧面再次印证了好的数学教材对于学生数学问题解决能力发展的重要性。

4.画图、举例子是教师进行数学问题解决教学的主要方式

学生们认为数学教师在进行问题解决的教学过程中，经常会采用举例子和画图的方式以帮助学生进行数学问题的求解。比如S1组的学生说：“在学习‘相遇问题’的时候，老师就会采用画图的方式来帮助我们解决问题”“在解决复杂问题时，老师总是先画图简化问题，再列算式计算”。S2组的学生也说：“老师经常举一些生活上的例子，来帮助我们思考。比如在计算长方体体积的时候，老师就会提前把家里用过的药盒拿过来，用药盒来帮助我们认识长方体的长、宽、高，以进一步帮助我们理解并求解长方体的体积。”这一点，在教师访谈中，也得到了有效验证。

5.善于讨论、勤于反思是学生进行数学问题解决的关键

学生们普遍反映，在数学问题解决的课堂当中，教师经常组织学生进行小组讨论，解决完问题后，数学教师经常提醒学生要善于反思，使得问题解决的策略更加清晰。所有的学生都表示：“在学习完一个内容之后，老师会给我们布置一项有趣的数学任务，并让我们以小组讨论的方式来寻找解决问题的方案，在进行小组交流和汇报时，如果我们有不足的地方，老师也会让其他的同学进行补充，这样我们解决问题的方案也会更加完善。”在数学课堂中，这样的情形得到了有效验证，正是学生之间的相互交流与讨论，使得学生的数学学习真正发生。此外，S2组的学生也表示：“在解决完数学问题之后，老师会引导我们进行反思，比如多读几遍题目，然后再看看计算的过程，这虽然看上去没什么，但是有时候我们还真能发现一些问题。”而S3组的学生表示：“我一般做得比较慢，还没来得及反思，同学们就已经开始交流了，所以我就听他们的想法。”从这两组学生的回答中，我们也可以发现学生之间存在着差异，当然我们期待教师关注差异，但是在课堂观察中，我发现该班级共有学生70人，这也给教师关注差异带来了一定的挑战。

6.较强的自信心是学生数学问题解决时的内在动力

五年级的学生对自己解决数学问题的水平都持有肯定的态度，他们普遍认为自己解决数学问题的水平还可以。即使对S3组的学生来说，虽然有时候会马虎，但是解决数学问题的水平还是不错的。对自己在考试中是否会取得比较好的成绩，学生们虽然持有不同的观点，但是都能够体现出学生仍然具有很强的自信心。其中，S1和S2组的学生认为：“平时的数学题目我基本都可以做正确，所以能够取得好成绩。”而S3组的两位学生认为：“在平时的数学考试中，成绩一般不理想，主要是因为解决问题的方法和老师讲的方法不同，因为按照老师的方法来解决问题，我老是犯错，所以就用自己的方法来解决，但是写得并不完整，经常会因为这些而扣分”“我一般都能列对算式，但是经常因为计算错误、没写单位、没写‘答’等细节扣分”。在解决日常生活与数学有关的实际问题上，所有的学生都具有很强的自信心。S1组学生提到，学了面积的相关知识，就可以度量自己的屋子有多少平方米(访谈前学生刚刚上完一节涉及面积等内容的数学课)；S2组学生想到，学习了方位之后，平常能够判断自己所处的位置，能够熟练运用方位词认路；S3组的学生把日常生活中用到数学来解决问题的例子描述得更为生动、具体，但是解决问题较为简单。S3组的学生说：“有一次，我和小伙伴们玩游戏然后去买道具，最后阿姨需要找给我5角钱，但是阿姨说没有零钱，所以我想了想就再给她5角钱，然后阿姨给我1元钱，最后就把这个事情解决掉了。”这也从一定程度上反映出，数学与生活的紧密联系会增强学生数学问题解决的自信心。

7.较强的毅力是学生数学问题解决的必备品质

五年级的学生在解决数学问题遇到困难时，都具有很强的毅力或意志品质，他们不会轻易放弃，而是尽可能通过各种途径寻找解决问题的方法。例如，S1组的学生说：“在遇到不会的数学问题时，会先尝试着用不同的方法去做。如果解决不了问题，会和同学、老师交流或者是询问父母。”S2组的学生说：“我们会先自己尝试着做题目。如果做不出来会翻看课本中相关的知识点，寻找解题线索，如仍解不出来就会询问家长或老师。”S3组的学生表示：“我一般是去看看解析，比如上作业帮搜一搜。如果实在不行就去问问同学，要么就是等着老师来讲。”从三类学生的描述中我们可以发现，S1组和S2组的学生在面对困难时，首先会尝试着自己解决问题，而S3组的学生，则直接依赖于外力的帮助，但是不管怎样他们都不会直接放弃，只是所选择的策略不同而已。要说哪种策略更适合学生，可能目前还没有更多的证据作为支撑。

总之，良好的学校文化氛围、激发学生兴趣的数学活动、一本优秀的数学教材、有效的教学策略、学生自身的学习方式、内在动力以及优秀的学习品质等，都对学生数学问题解决能力的发展起着至关重要的作用。

五、教学建议

基于上述的访谈结果，笔者针对当前学校数学教育中数学问题解决能力的培养提出以下几点建议：

1.学校应该创设良好的学习氛围

良好的校园文化环境不仅体现为客观的物质条件，更体现为人与人之间的情感交流，它是学生健康发展的基石。良好的亲子关系、同伴关系、师生关系以及家校关系等，为学生数学问题解决能力的发展提供了良好的情感基础。M小学正是具备这样的学校文化环境，才能够在众多学校中脱颖而出，成为一所典型学校。

2.教师、学校应该给予学生更多的参与数学趣味活动的机会

具有启发性、趣味性的数学活动，如撰写数学日记、制作数学手工艺品等，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，而且能让学生在完成任务的过程中体会到数学之美，为学生的数学问题解决奠定良好的情感基础。

3.教师应该充分利用优秀的教材资源

北师大版小学数学教材最主要的特色是通过“情境+问题串”的编排模式，体现新课程改革的基本理念。通过该模式展开数学问题，不仅激发了学生的数学思考，而且通过问题串的方式，引导学生逐步解决数学问题。在解决数学问题的过程中首先夯实数学基础知识，进而推动学生数学问题解决能力、批判性思考能力的提升。

4.教师应该改善数学问题解决的教学方式

在教学的过程中，教师应该采取多样化的教学策略，促进学生数学问题解决能力的发展。比如采用画图的方式，引发学生的数学思考；采用举例子的方式，使数学知识的应用更加贴近现实生活，让学生体会到现实问题与数学问题息息相关；采用列方程的方式，帮助学生抽象数学问题，让学生从解决数学问题的描述方式过渡到利用数学的方式解决数学问题。除此之外，教师还应该在数学的课堂教学当中，多组织学生进行小组交流、汇报，拓展学生解决数学问题的思路。只有教师的教学理念、教学方式发生改变，学生的学习方式才能有所改变，进而提高学生解决数学问题的能力。

5.教师应该采取措施提高学生数学问题解决的自信心和毅力

教师在教学的过程中应该采用不同的方式，比如鼓励学生表达自己解决数学问题的不同想法等，给予学生更多表达自我的机会，促进学生的数学发展。除此之外，教师还应该尊重学生的个体差异，对不同学生的学习过程加以指导。也许学生解决数学问题的方式不同，有的学生使用的方法可能很简便，有的学生使用的方法可能较为复杂，但是最终都能够将问题解决，这种情况下教师应当究其背后的原因，包容并鼓励解决问题方法的多元化。最后，学生在解决数学问题遇到困难时，教师应该适时地给予学生更多的支持与帮助。