基于学生个体差异进行数学合作学习的研究

刘洋溪 王 奇

(1.香港浸会大学文学院，香港 999077； 2.华中师范大学教育学院，湖北 武汉 430079)

在数学课堂教学中，常见的做法是根据数学学业成绩将学生分成学优生、中等生和学困生三类。学优生一般是指对数学有兴趣，能主动进行学习，对规定的学习内容完成度好，成绩稳定在较高水平的学生[1]。学困生一般是指学生的实际成就与其能力期望值存在显著差异，且此差异并不是由情绪、智力、视觉、听障或是缺乏良好的教育环境引起的，而是信息加工过程存在障碍导致了他们在听、思、说、读、写、算上有困难[2]。因此，学困生可以定义为具有一定的学习动机，智力基本正常，没有感官障碍，但其学习成绩明显低于同年级学生，不能达到学习目的的学生。本文主要探讨学生认知过程、认知结构等天赋，以及教师对学生影响力的差异，以期在保障数学考试效果的基础上，充分考虑到学生的个体差异，合理分层，探索合作学习的有效教学路径。

一、学优生、学困生个体差异表现

1.认知过程

学优生能够合理利用认知资源，更迅速地分析问题中的信息，抓住问题的本质特征，用更有效的解题策略有效地解决问题。

(1)工作记忆。学习过程是一种复杂的认知活动，工作记忆对学习成绩的好坏有一定的预测作用。在各干扰任务中，学优生视空间工作记忆的加工速度比学困生快、视空间工作记忆的广度比学困生大[2]。学优生的工作记忆能力在加工速度与广度方面均和学困生有显著差异，学优生比学困生更能合理利用工作记忆。随着数学问题难度的增大，学优生能够适当地增加外部策略的使用来分配工作记忆资源，学困生使用外部策略的频数呈下降的趋势[3]。

(2)问题表征。当学习运用类比迁移策略解决数学问题时，学优生图式归纳的方式是消除性的，学困生图式归纳的方式是保留性的[4]。说明学优生的问题表征以问题模式为基础，能够抓住问题本质特征，表征程度更深，学困生只能注意到问题的表面特征，表征程度较浅。

(3)解题策略。在解决数学应用题时，学优生较多地使用问题模型策略，学困生较多使用直接转换策略对问题进行表征，随着年级升高，学优生在使用问题模型策略上越来越成熟，学困生则无变化[5]。学优生的解题策略能够举一反三，学困生则无法形成有效解题策略。

(4)时间管理。学困生在学习时间管理能力上的相对滞后集中反映在对学习时间的规划上，他们不能很好地计划学习时间、统筹安排自己的学习活动[6]。

2.认知结构

通过概念图的方法对学生认知结构的测查发现，数学成绩与个体形成的CPFS结构存在0.01水平上的相关[7]。学优生所拥有的知识数量更多，联系更紧密、更组块化，能够有效地被提取，自动化地被运用。

(1)知识数量和整合性。研究表明学优生与学困生的认知资源总量存在差异，从而导致他们在各个认知任务上出现差异。学优生认知结构的内容较丰富，学困生认知结构中的内容相对贫乏[8]。

(2)知识提取的有效性。学优生能够利用固着点有效地提取知识，学困生则因知识存储较零散导致不能被有效提取。通过两角和与差的三角公式的认知学习比较发现，数学中等生虽然认知结构中贮存的数学知识数量远远超过数学学困生，但与学优生相比较，在提取数学知识时具有僵滞性[8]。

(3)知识运用的灵活度。学优生的知识组块数量多且联系紧密，使得其知识运用的自动化水平高、灵活性强。从数字加工SNARC效应显著性的比较来看，数学学优生的SNARC效应比学困生明显，数学学优生在数字加工任务中自动表征数字空间信息的能力比学困生强[9]。

二、从分层教学转向合作学习：实然之境与应然之需

分层教学是指根据学生的个体差异在教学方面进行相应设计的教学策略。对学优生教授高程度的内容，对学困生教授低程度的内容，容易取得良好的教育效果[10]。其逻辑是将教育看成竞争，以能力为标准，以效率为目标。在谈到差异时，加涅认为教学的任务在于扩展差异，旨在激励和支持个别学生学习，且这并不意味着教学计划将具有缩小个别成员的功能。相反，学生之间的差异将会增大，有计划的教学目的在于帮助每一个学生，使之按自己的方向得到可能发展。布卢姆在其掌握学习的理论中明确表示，教学的意义就在于逐渐缩小学生业已存在的差异，只要有合适的学习条件，大多数学生在学习能力、学习速率和继续学习动机等方面将变得十分相近，在学校和家庭的学习条件都趋于达到某种理想境界的情况下，学校中的个别差异就应接近消失[11]。在这里，通过教学不论是使差异增大还是减小，都包含着学生之间的比较，学生优秀与否是通过对比得出的。对比往往蕴含着竞争，竞争必然会对学生进行分层。如果以能力为标准进行分层，低能力班组中依然存在学生能力的差别，随着教学的进行，学生之间的差别愈发明显，最终会导致整个班级教学的崩塌，因此以能力为标准进行分层只会导致分层教学的无意义。

对于教师来说，效率是目的，教授同质的学生比异质的学生更为高效，无须考虑个别差异，无须更改教学进度，对所有学生都采用同一方法。但有研究发现，按能力分层教学在提升学生的学力、改善人际关系和学习态度、缩小学力落差等方面没有明显正向作用，甚至还具有负面作用[10]。教育是一种慢的艺术，教师应该注重每位学生是否被激发出所有的潜力以及是否有良好的社会性发展。当关注点转移了，比较也就变成学生自身的比较，这是一种纵向而非横向的比较，且为了个人全面的发展，往往需要向同学求助，因此学习就从竞争变为合作。

三、合作学习教学策略探索

学习可以由竞争变为合作，然而竞争是不能完全抛弃的，可以在异质分班中采取异质分组，以小组竞争代替个人竞争，成员在小组内部合作，以异质学习小组为基本形式，系统利用教学动态因素之间的互动，促进学生学习，以团体成绩为评价标准，共同达成教学目标[12]。由于学习周期和回报时间较长，需要学生具有一定的耐心和延迟满足能力。研究表明，学优生的延迟满足能力在独自操作和单一团体时水平较高，混合团体的成绩则显著低于单一团体，学困生的延迟满足能力在单一团体和混合团体时水平较高，单独操作的成绩则显著低于混合团体[13]。即异质分组对学优生可能会有不利影响，而学困生由于在混合团体有学优生的榜样作用，异质分组对其可能有促进作用。此外，研究人员对学生进行异质分组并实施了为期12周的教学干预之后，发现实验班学优生的语文、数学成绩略高于对照班学优生。实验班学优生同伴关系的被接纳度和接纳度水平均高于对照班学优生，被接纳度具有显著差异[14]。实验班中等生、学困生的数学成绩明显高于对照班学生；实验班学优生的被接纳度水平、中等生的接纳度水平、学困生的自尊水平明显高于对照班学生，实验班中等生、学困生的社交焦虑水平明显低于对照班学生[15]。

上述实证研究和教学实践表明，异质分组的合作学习对学优生既有部分促进作用，也可能使学优生失去竞争动力而导致成绩下滑，对学困生和中等生有显著帮助，因此可由合作学习及其所包含的平等思想入手进行具体教学策略探讨。研究表明，与学优生相比，中等生的元认知水平明显落后，学习动机水平基本相当，未表现出显著偏低态势。与中等生相比，学困生的学习动机水平显著偏低，而在元认知水平上仅略低于中等生，说明学困生与中等生有着相当的元认知水平[16]。通过三类学生的比较，中等生存在会不会学的问题，学困生则存在想不想学的问题。对于中等生，教师应该帮助其形成认知结构，使其掌握方法；对于学困生，教师应该在课堂上营造良好的课堂氛围。根据认知负荷理论，部分课堂教学内容对学优生来说是无关认知负荷，需要通过优化练习设计促进发展。

1.对学困生给予安全的课堂氛围

根据马斯洛需要层次理论，首先应该满足学生安全需要、归属需要和自尊需要，之后才能满足自我实现需要。如果学困生被教师边缘化，就无法去关注更高层次需要。教师应该营造一种安全的课堂氛围，安全的课堂应该包含两个方面：一是学生对课堂学习活动有一种确定感和可控制感；二是学生与课堂中的成员产生良好的人际关系，能够自我接纳[17]。由于外在竞争、自我效能感与期望的不同，学优生的学习动力高于学困生。在课业方面，调查发现从学优生到学困生对学习不感兴趣的程度逐渐升高，期望压力和焦虑水平逐渐增加[18]，因此学困生的学习动机自然也就更低。通过对某中学学生进行“学习动机诊断测验”的实证研究，研究人员发现学困生的学习动机显著低于学优生[16]。对此情况，教师可以通过和学生共同订立规则帮助每个小组形成一个学习共同体。学习共同体的规则要点为没有错误的观点，没有讥讽，聆听每一个人，错误是学习的要素，使学困生敢于发表自己的意见，知道其不会被歧视并能从小组成员那里得到帮助，由此能够产生较强的学习动机。同时，教师可将指令由懂的学生教不懂的学生改为不懂的学生不要老是一个人思考，可以问问邻座的同学，将小组成员之间互教关系改为互学关系[19]。另外需要注意大脑会对学习发生的感觉情境做出反应，学生会在不经意当中觉察到真实的直觉情感，教师要注意避免使学困生看到其预判的结果出现。

2.对中等生给予学习策略的指导

在数学学习方面，一般教学模式为教师根据课本或作业讲题，并没有有意识地专门花时间与精力帮助学生进行总结，因此学生的数学知识结构是零散的。奥苏伯尔提出了反映知识结构优良程度的三个特征：可利用性、可辨别性和稳定性。根据传统的教学模式，学生零散的知识结构很难形成这三个特征。在数学教学中教师要让学生形成良好的数学认知结构，使知识按照一定的层次网络组织起来。根据皮亚杰的认知发展理论，可以用图式来描述认知结构。学习者解决专门问题的能力所需要的知识，是由相关的不同类型的知识以一定的结构式，组织成一个大的知识单元。这种以某个主题组织起来的知识单元，称为图式[20]。图式教学分为两种类型：样例中心图式教学和规则中心图式教学。样例中心图式教学是指教师替学生或引导学生自己从多个样例中归纳概括出典型样例并把解题步骤固定化；规则中心图式教学与样例图式中心的区别在于教师引导学生从多个样例中概括识别问题类型的规则以及解题规则。研究发现，对于中等生，规则中心图式教学和样例中心图式教学的远期效果均好于正常教学。对于学困生，规则中心图式教学的远期效果好于正常教学，样例中心图式教学只在远期的中等难度任务上好于正常教学。对于学优生，规则中心图式教学没有明显提高学优生的学习成绩，亦没有像样例中心图式教学那样降低学优生的学习成绩[21]。由此看出规则图式教学对于解决中等生会不会学的问题是一个可行的策略，在异质小组中学优生可以通过传授学习策略来指导中等生形成良好的数学认知结构。

3.对学优生给予弹性化作业设计

原因不仅仅是因为班级授课制的限制，还因为练习时间由学生自己控制，而且对于数学知识的掌握，练习是一个重要的途径。在练习的设计方面，教师需要注意练习的综合性、条件的多样性和能够促使学生的自我阐释与自主探索。

(1)练习的综合性。练习的综合性是指练习内部知识点的综合以及关系的复杂。这就要求作业能够让学生更多利用抽象思维能力，允许推理的灵活性。学优生知识的结构化和提取的自动化程度更高，因此需要综合性的问题来帮助他们使CPFS结构中各个概念与命题增加联系。各知识点之间具有一定的抽象关系，这些抽象关系本身就蕴含着思维方法。各知识点之间的连接包含着数学方法，即“连线集”为一个“方法系统”[22]。这就使学优生的知识更加结构化，减少了他的认知负担。

在人教版九年级上册“圆”的教学中，设计如下练习：将圆的知识与正方形、函数和勾股定理相综合。如图1，在正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作AC，P为AC上一动点(不与A和C重合)，过点P作⊙B的切线交AD于点E，交CD于点F。

问题一：如图1，求证：△DEF的周长等于正方形ABCD周长的一半。

问题二：如图2，延长EF和BC交于点Q，正方形ABCD的边长为3，设AE长为x，BQ长为y，求y与x之间的函数关系式。

问题三：如图2，在(2)的条件下，若CF=DF，I为四边形ABQE内一点，以I为圆心，作⊙I与四边形ABQE的三边均相切，求⊙I的半径的长。

图1 图2

(2)条件的多样化。条件的多样化是指要用一个题型的多种变式同时对学优生进行练习。从CPFS结构来说，概念域是指某一概念的等价定义图式，这反映了从不同侧面对同一概念的描述。通过条件的变化使学生从不同侧面加深对概念与命题的理解，使学优生深化把握知识的内涵。比如在人教版七年级上册“直线、射线、线段”的教学中，设计了如下作业：基本的题型是已知一条线段上有n个点，求构成线段的数量。

练习一：如图3，线段AB=BC=CD=DE=1，求图中所有线段长度之和。

图3

练习二：如图4，线段AB=1，BC=2，CD=3，DE=4，求所有线段长度之和。

图4

练习三：如图5，线段AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e，求所有线段长度之和。

图5

练习四：如图6，点C和D分别为线段AB(除端点A和B外)上两个不同的动点，点D始终在点C右侧，图中所有线段和为40 cm，且AB=3CD，则CD的长度为多少？

图6

练习五：如图7，C，D，E，F为线段AB上顺次排列的4个动点(不与AB重合)，图中共有几条线段？若AB=8.6 cm，DE=1 cm，且所有线段之和为56 cm，则CF长度为多少？

图7

(3)促使学生自主阐释与自我探索。学生自主阐释与自我探索就是学生对学习材料中没有呈现的信息力图进行推论的一种行为，表现为对学习材料的自主学习。这就是在引导学优生自主形成规则图式，要求作业能够使学生深入思考问题的方法、理由以及不这样做的理由，要求作业为开放性任务或者允许多种解法，能够促进学生发明或设计新颖的方法来解决问题。正如波利亚所说，假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，这些特征在你以后去求解其他问题时，能起到指引的作用[23]。比如在人教版八年级上册“因式分解”的教学中，我们可以设计如下作业：

练习：因式分解a3+3a2+3a+2。

解法一：依据立方差分解公式a3-1=(a-1)(a2+a+1)对原式进行因式分解：

a3+3a2+3a+2=(a-1)(a2+1+1)+3(a2+a+1)=(a2+a+1)(a+2)。

解法二：依据拆添项分解因式：

a3+3a2+3a+2=a3+2a2+a2+3a+2=a2(a+2)+(a+2)(a+1)=(a+2)(a2+a+1)；

或者可以：

a3+3a2+3a+2=a3+2a2+a2+2a+a+2=a2(a+2)+a(a+2)+(a+2)=(a+2)(a2+a+1)。

总的来说，在课堂教学中，当学优生在做完一半练习后明显表露出已经掌握概念的迹象时，应安排他们做有挑战的学习任务以取代非必要的练习。即时拓展是请较快完成任务的学生就当前的工作回答如下问题：你能用另外的方法解决这个问题吗？设计并解释解决该问题的新计算方法。描述解决该问题的多种方法，找出其中最有效的方法并解释理由。并且将这些活动张贴在教室里，当学生完成练习时，教师即可指出后续的工作选择，促使学优生自主探索[24]。不同学生在认知过程、认知结构等方面具有明显差距，对被歧视被边缘化的学困生，教师应该和全体学生一起营造安全的课堂氛围，使学困生有安全感、归属感和自尊感，重新建立学习数学的动机；对于中等生，教师应该和学优生一起指导其形成良好的知识结构，完善解题策略，提高其元认知水平；对于学优生，教师通过弹性化的作业给予学生充分时间自行探索，实现个性化发展。