双模介质谐振器测量介电性能的微扰理论分析方法

袁成卫， 陈明， 罗伟峰， 张强

(1.国防科技大学 前沿交叉学科学院， 湖南 长沙 410073； 2.湖南云箭集团有限公司， 湖南 怀化 419503)

0 引言

微波技术的发展推动了新材料在微波输出窗和透波头罩上的应用，对窗口材料的介电性能进行准确测量是研制和设计高性能微波辐射系统的必要条件。目前，在微波波段测量介电性能的方法主要有基于微波谐振单元的谐振法[1-4]和基于非谐振单元的传输/反射法[5-9]两大类。谐振法具有比传输/反射法更高的测量精度，尤其是在介电损耗测量方面[2-3]。为了解决传统单模介质谐振器在测量介电性能时有效测量模式数少、测量结果校验不方便等问题，有学者在横电(TE)模式介质谐振器的基础上，将横磁(TM)模式引入了测量，提出了一种可工作于TE011模式和TM011模式的双模介质谐振器[10-11]。该双模介质谐振器的两种工作模式分别由不同的激励方式产生，在测量上互相不影响，且其模式识别简单、器件的几何因子较高，具有较高的介电损耗分辨能力。文献[11]采用径向模式匹配法对谐振器内电磁场进行求解，引入高精度的传输模式Q因子(TMQF)测量方法对系统无载品质因数进行求解，给出了介电常数和损耗角正切的计算方法。然而，所采用的径向模式匹配法和TMQF法要求使用人员具有较高的数学和电磁场理论基础及编程计算能力，在实际应用和推广中遇到了一定困难。

本文从电磁场的微扰理论出发，给出双模介质谐振器用于介电性能测试的简单分析方法，方便其实际应用。

1 双模谐振器结构及工作模式

如图1所示的双模介质谐振器结构[11]，由2个在中心处开有对称小孔(直径为2r1)的金属平板(直径2r3)和1个两端带有小圆柱凸台的圆柱形介质样品组成。介质样品置于2个金属平板之间，既是金属平板的绝缘支撑，同时也是该测量结构的谐振单元。介质样品上下两端的圆柱形凸台分别插在金属平板小孔中,凸台高度为h，直径为2r1. 介质样品中间部位长度为l，直径为2r2.

在介质样品中心建立如图1所示的柱坐标系，整个测试结构根据径向和轴向不连续性可分为3个区域：区域Ⅰ为样品主测试区(r≤r2，|z|≤l/2)；区域Ⅱ为2个金属平板之间，除介质样品圆柱外的部分(r2≤r≤r3，|z|≤l/2)；区域Ⅲ为介质样品凸台部分(r≤r1，l/2≤|z|≤l/2+h)。

图2所示为双模介质谐振器传输系数|S21|的频率响应特性。当同轴探针从金属平板中心小孔处激励双模介质谐振器时(图1中区域Ⅲ)，双模介质谐振器工作在TM谐振模式，谐振模式为TM0mn(m=1，2，3，…，n=1，3，5，…)模式，如图2(a)所示。模式频率间隔大，识别和测量容易，通常选Q值最大的TM011模式作为测量模式。当环形探针从介质样品外侧(图1中区域Ⅱ)激励双模介质谐振器时，双模介质谐振器工作在TE谐振模式，谐振器内激励起TE模式，通常以TE011模式作为测量模式。由图2(b)可看出，TE模式下，双模介质谐振器内同时还有混合电(HE)模式和TM模式等被激励，模式频率间隔小，识别和测量困难。综上所述可知，可先测量TM011模式的谐振频率，并计算出介质材料(样品材料)的介电常数，从而进一步预测TE011模式的谐振频率。由图2(b)可知，通过TE011模式的谐振频率可很快识别出TE011模式，并对其进行进一步测量。由此可见，利用双模工作模式能够提高模式识别能力、避免模式判断错误、降低对操作人员的要求。

2 介电常数测量

2.1 TM011谐振模式

当金属平板间距小于微波波长的1/2，且n=1，3，5，…时，TM0mn模式的电磁场在图1的区域Ⅱ内将沿径向呈指数衰减。此时，只要金属平板足够大，边界r=r3处，就几乎不存在辐射损耗。考虑到耦合小孔中电磁场沿轴向衰减，只要介质样品凸台高度h足够大，端面|z|=l/2+h处的电磁场就可衰减到足够小。

图1中，区域Ⅲ相对于区域Ⅰ和区域Ⅱ而言，内部储能非常小，且内部模式为凋落模式，故区域Ⅲ可看作由区域Ⅰ和区域Ⅱ组成的一个谐振腔的微扰。区域Ⅰ和区域Ⅱ组成的谐振腔的TM011谐振模式轴向电场表达式为

(1)

式中：E0为电场强度幅值；J0(x)为0阶第一类贝塞尔函数；K0(x)为0阶第一类修正贝塞尔函数；β为电磁波在z轴方向的传播常数，根据边界条件z=0和z=l/2，可知β=π/l；kd和Kc分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ微波的径向波数，它们与β之间的关系为

(2)

式中：k0=2πf′0/c为微波的自由空间波数，f′0为区域Ⅰ和区域Ⅱ组成的谐振腔谐振频率(不考虑微扰区域Ⅲ)，c为光速；εr为介质样品的相对介电常数。由纵向分量法[12]，可根据纵向电磁场得到相应区域的横向电场和磁场(其他区域类似)。利用在r=r2边界上切向磁场连续的条件，可得到本征方程[12]：

(3)

式中：J1(x)为1阶第一类贝塞尔函数；K1(x)为1阶第一类修正贝塞尔函数。

在实验测得谐振频率f0条件下，取f′0≈f0，联立(2)式、(3)式，可求得kd、Kc及未修正的介质相对介电常数ε′r. 但此时所用模型并未考虑区域Ⅲ影响，故需用微扰理论进行修正。

在前述假设下，区域Ⅲ为区域Ⅰ和区域Ⅱ所组成谐振腔的微扰区域，其内部所有模式均截止，主要为TM0i(i=1,2,3，…)模式的凋落模式。内部的纵向电场可表示为

(4)

(5)

式中：HⅠφ为区域Ⅰ的角向分量。

实验中所测得的f0实际上包含了区域Ⅲ的影响，分别根据谐振腔的结构微扰理论和材料微扰理论，可得

(6)

(7)

式中：VⅠ、VⅡ和VⅢ分别为区域Ⅰ、区域Ⅱ和区域Ⅲ的范围；E和H分别为不同区域的电场强度和磁场强度，可由(1)式和(4)式求得；ε、Δε分别为介质样品材料的介电常数及其微小改变量，ε=ε′rε0，ε0为真空介电常数；μ、Δμ分别为介质样品材料的磁导率及其微小改变量。对于普通的非磁性均匀介质材料，通常有μ=μ0和Δμ=0，因此，联立(6)式和(7)式可得

(8)

从而可得到修正后待测介质的相对介电常数εr=ε′r+Δε/ε0. 以上分析都是针对TM0mn模式进行的，通过撤除同轴探针，改用环形探针在介质样品侧面对称地激励该介质谐振器，它可工作于TE011模式。

2.2 TE011谐振模式

谐振器内TE011谐振模式的纵向磁场表达为

(9)

式中：H0为磁场强度幅值。类似(3)式，利用在r=r2边界上切向电场连续的条件，可得到本征方程[12]：

(10)

在TE011谐振模式下，区域Ⅲ内部所有模式均截止，主要为TE0i(i=1,2,3,…)模式的凋落模式。内部的纵向磁场可表示为

(11)

(12)

获得整个场的电磁场分布之后，参照2.1节，利用(8)式即可得到介电常数的修正量，最后获得修正后的介电常数，具体过程不再赘述。

3 损耗角正切的测量

根据第2节获得的εr和谐振结构电磁场分布，可进一步获得腔中储能、传导损耗及辐射损耗等。利用矢量网络分析仪获得系统无载品质因数后，待测介质样品的介电损耗可由(13)式[1]给出：

(13)

式中：δ为待测介质样品的损耗角；Q0为系统无载品质因数；Qr为与辐射损耗相对应的品质因数；Rs为金

属平板的表面电阻；G和Pe分别为谐振结构的几何因子和能量填充因子。G和Pe的定义如下：

(14)

式中：Ht为金属表面的切向磁场强度。Qr可由(15)式计算：

(15)

式中：We为系统所存储的电磁场能量;Ez为电场强度z轴方向分量；Hφ为磁场强度角向分量； ∬S1(Ez×Hφ)dS为电磁场在开放边界r=r3的辐射损耗功率。无载品质因数Q0可采用(16)式[2]来获得：

(16)

式中：Δf3-dB为谐振腔频率响应曲线的3 dB频率宽度；|S21|max为系统在谐振频率点处的传输系数。

4 数据处理结果与误差分析

使用本文方法对文献[11]中6种样品的原始测量数据进行分析，结果如表1所示。

表1 不同介质材料介电性能分析结果及与文献[11]结果比较

由表1可见，本文方法与文献[11]的数据处理结果具有较好的一致性。同时，表1给出了本文方法与文献[11]计算结果的相对偏差、介电常数的相对偏差小于0.5%，而介电损耗的最大相对偏差约为5%. 进一步可以得到介电常数相对偏差的标准差为0.25%，介电损耗相对偏差的标准差为2.8%. 文献[11]对其测量误差进行了详细分析，在综合考虑谐振频率、无载品质因数、金属表面电导率以及器件几何尺寸对测量影响的条件下，得到高密度聚乙烯、交联聚苯乙烯、聚碳酸酯、聚四氟乙烯相对介电常数的测量误差分别为1.3%、1.2%、1.2%和1.4%，介电损耗总的相对误差分别为7.0%、2.5%、1.1%、6.4%. 由于本文在数据分析和处理上采用了近似模型和方法，无法直接估算测量误差，但通过与文献[11]中的结果进行比较，并综合文献[11]中测量结果的误差及本文方法与该结果的相对偏差，可粗略估算出本文方法介电常数的测量误差为2%，介电损耗的测量误差为10%.

5 结论

本文针对双模介质谐振器数据处理复杂这一问题，基于谐振腔微扰理论，提出了一种近似分析方法。该方法简化了现有方法的复杂度，提高了此类谐振器用于材料介电性能测量的可操作性。用所提出的近似方法对文献[11]中的测试数据进行了分析，发现本文结果与文献[11]的结果具有较好的一致性。综合考虑文献[11]测量结果的误差和本文结果与文献[11]结果的偏差，可估算出本文方法介电常数误差为2%，介电损耗误差为10%.