线性空间的定义
2018-08-27缪应铁
缪应铁
【摘 要】线性空间的定义是代数中一个较为抽象但又十分重要的概念，在认识代数关于空间上具有基础性的作用，而线性空间的定义中涉及代数运算与代数结构，本文从代数运算的角度给出线性空间的定义，并在此基础上引入平常意义上线性空间加法的定义，与通常意义上的加法做出区分。
【关键词】运算；代数运算；线性空间
现实世界的空间形式中表现为线性的有直线、平面。研究直线、平面的工具是向量。把线性空间又可称为向量空间，把线性空间的加法与纯量乘法称为线性运算。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构（由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统），以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。
例1.几何空间中的向量、n维向量、矩阵等例子有一个共同之处：就是一个集合，一个数域，两种运算加法和纯量乘法，再加8条运算法则。由此可以抽象出一个线性空间的定义。
例2.为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组（a■，a■，…，a■）作为元素的n维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：
（a■，a■，…，a■）+（b■，b■，…，b■）=（a■+b■，a■+b■，…，a■+b■）
k（a■，a■，…，a■）=（ka■，ka■，…，ka■）
从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。
研究线性空间，必须理解他的定义和简单性质，以及线性相关和线性无关，极大线性无关组和向量组的秩的定义和性质之后，就着重研究线性空间的结构，指出任一线性空间的结构由它的一个基所决定，而维数对于研究有限维线性空间的结构起着重要作用。
定义1 设V是一非空集合，F是数域（本书特指实数域），对V中任意两个元α，β，定义一个加法运算，记为“+”：α+β∈V（元α+β称为α与β的和）；定义一个数乘运算：kα∈V，k∈F（元kα称为k与α的数积）。这两种运算（也称为V的线性运算），满足下列规则，则称V为数域F上的线性空间（或向量空间）。加法满足下面四条规则：
（1）α+β=β+α；
（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；
（3）在V中存在零元素0；对任何α∈V，都有α+0=α；
（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α+β=0，记β=-α；
数量乘法满足下面两条规则：
（5）1α=α；
（6）λ（μα）=（λμ）α；数量乘法与加法满足下面两条规则；
（7）（λ+μ）α=λα+μα；
（8）λ（α+β）=λα+λβ。
数域F上的线性空间V，记为V（F），V中的元称为向量；当F是实数域时，称V为实线性空间；当F是复数域时，称V为复线性空间。在不需要强调数域时，就称V为线性空间。
例3. 由数域F上的元素构成的全体mxn矩阵所成的集合，称为矩阵空间，记为F■，其中R■为由一切mxn实矩阵构成的实线性空间。但秩为r（r>0）的全体矩阵所构成的集合F■不构成线性空间。事实上，零矩阵0∈F■。
例4.设X为实数域R的任一非空子集，定义域为X的所有实值函数组成的集合，它对于函数的加法，以及实数与函数的数量乘法，成为实数域上的一个线性空间。
例5.数域K上所有一元多项式组成的集合，它对多项式的加法，以及k中元素与多项式的数量乘法，成为k上的一个线性空间。把复数域C可以看成是实数域R上的一个线性空间，其加法是复数的加法，其数量乘法是实数a与复数z的乘法。
例6.数域F按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。设x是任意一个非空集合，F是一个数域，从X到F的每一个映射称为X上的一个F值函数。X上的所有F值函数组成的集合。对函数的加法与数与函数的纯量乘法。容易验证它们满足加法交换律、结合律等8条运算法则。因此可以形成一个线性空间，零元是零函数。这时既可用实数乘向量，从而构成实线性空间；又可以用复数乘向量，構成复线性空间，记为C■。
上面例子告诉我们，线性空间这一数学模型适应性很广，我们将从线性空间的定义出发，作逻辑推理，深入揭示线性空间的性质，它们对于所有的具体的线性空间都成立。
性质1 零向量是唯一的。
性质2 负向量是唯一的。
性质3 0α=0；（-1）α=-α；k0=0。
性质4 若kα=0，则k=0或α=0。
（1）线性空间V是一个集合（向量），它满足一定条件。
（下转第31页）（上接第14页）
（2） 线性空间中的加法运算和乘法运算可以有不同的定义。
例如：在正实数集R■中，F为实数域R，定义加法和数乘运算为a b=ab，k a=a■，其中ab∈R■，k∈R，“ ”表示加法，“。”表示数乘。那么R■构成实线性空间。此时加法零元素是R■中的数1，R■中元素α的负元素是a■。
【参考文献】
[1]陈重穆，施武杰.高等代数.重庆：西南师范大学出版社，1987
[2]陈重穆.有限群基础.重庆：重庆出版社，1991
