船用锚水平投影面积估算

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(大连海事大学 航海学院，辽宁 大连 116026)

在船舶抛锚安全研究和应急抛锚对海底管线损害分析时，时常要计算锚在水中的下落速度。锚下落速度大小与水阻力有关，而水阻力与锚下落挡水面积，也就是锚在水平面上的投影面积成正比[1]。然而该面积数据不易获知。目前的解决办法主要有以下几种：①将锚简化成等效球体来计算水阻力[2-3]，避开了锚投影面积问题，但计算精度难以保证；②采用某只锚的投影面积数据[4-5]，仅限于具体问题，不具有普适性；③用包围锚冠的长方形面积来代替锚投影面积[6]，方法简单，但对于霍尔锚来说计算结果偏大；④用锚重多项式拟合公式来计算霍尔锚投影面积[7-8]，适用范围窄。目前对船用锚水平面投影面积还缺乏有效的通用计算方法。鉴于这种情况，从船用锚锚冠尺寸着手，运用解析几何方法作详细计算，在此基础上拟合出投影面积与锚重的关系式。选择AC-14锚、Spek(斯贝克)锚、JIS(日本无杆)锚和Hall(霍尔)锚，AC-14锚是行业公认的性能优良的船用大抓力锚，在大型商船上广泛采用。其他3种锚为普通无杆锚，多应用于中小型船舶。

1 水阻力及水平投影面积计算

锚在水中下落时的水阻力为[1]

(1)

式中：Cw为无因次系数；ρw水的密度；V锚下落速度；S为锚下落时在水平面上的投影面积，该面积不是常见的锚参数，故在使用式(1)时略感不便。

选取4种船用锚见图1。

图1 4种船用锚外观

1.1 AC-14锚水平投影面积

各主要航运国家都有该锚的标准尺寸，彼此之间主尺度略有差别，例如，英国、挪威和日本的标准尺寸相同，比中国[9]和荷兰的标准尺寸略小一点，但同一重量级别的投影面积差别不大。采用日本工业标准尺寸，锚冠水平投影轮廓见图2。

图2 AC-14锚锚冠水平投影轮廓

根据图2，AC-14锚水平投影面积S1为

S1=LB+2L1t-(4-π)R2

(2)

标准里给出了L、B、L1、t和t1的尺寸，根据设计图取R≈2t1，t1为锚冠两端裙板厚度。实际计算表明，式(2)右边第2项和第3项占比很小，且近似相互抵消，可以用S1=LB计算。

1.2 Spek锚水平投影面积

采用我国的95Spek锚(CB/T 711—1995)尺寸[11]。Spek锚锚冠水平投影轮廓图及主要尺寸标注见图3。

图3 Spek锚锚冠水平投影轮廓示意

由于半径R2所绘圆弧的圆心位置未给出，该圆弧凹进去的面积计算成为关键。为解决这个问题，在图3右上角建立如图4所示的坐标系，其原点取在半径R7圆弧的中心O7处。半径R2圆弧的圆心为O2。2段圆弧在G点相切。C点是圆弧DEG延长线与水平线AD的交点。线段GN垂直于线段AD，N为交点。用解析几何方法求解，第1步确定O2点坐标，第2步计算曲线多边形ADEG的面积。

图4 Spek锚锚冠角部面积计算坐标系

D点坐标记为(xD,R7)。

其中：

(3)

线段O2O7长度为R2+R7，与y轴夹角为θ。则O2点坐标(x2,y2)为

x2=-(R2+R7)sinθ

y2=(R2+R7)cosθ

将曲线多边形ADEG面积分为曲边三角形ANG面积和曲线多边形NDEGN面积2部分，分别计算。计算时用到点C和点N的坐标，分别为

xC=2x2-xD，yC=R7

xN=-R7sinθ，yN=R7

曲边三角形ANG面积由梯形ANGO7A面积减去扇形O7GAO7面积求得。

(4)

曲边梯形NDEGN面积由弓形DEGCD面积减去曲边三角形CNGC面积得到。

(1-cosθ)R7(xC-xN)

(5)

式中：右端第2项是用直角三角形CNG面积近似代替曲边三角形CNG面积，右端第1项是弓形DEGCD面积，其中α为圆弧DEGC所对应的圆心角(即∠DO2C)。

圆心角α用解析几何方法计算。先用2点式分别写出线段DO2和O2C的斜率如下。

则角α由下式确定。

将式(4)与式(5)相加，得曲线多边形ADEG的面积。

SADEG=SANG+SNDEG

(6)

于是，Spek锚水平投影面积S2为

(7)

1.3 JIS锚水平投影面积

JIS锚[10]锚冠水平投影轮廓及尺寸标注见图5。

图5 JIS锚水平投影轮廓与尺寸标注

与Spek锚类似，图5中圆弧R3和r1凹陷面积的计算是关键所在。将右上部分轮廓取出，并建坐标系见图6。

图6 JIS锚局部水平投影面积计算

坐标原点在半径R3的圆心O3处，y轴位于锚冠中心线上。半径r1的圆心为O1，半径r2的圆心为O2。E、H分别是2段圆弧的切点。线段O1P垂直于水平线AG，P为垂足。现求曲线多边形ADEHG的面积。该面积可分3部分：曲线多边形ADEO1P面积，扇形O1EHO1面积和曲线多边形O2GHO2面积。

首先给出各个点的坐标如下(下标表示某点)。

xA=0，yA=R3+0.5(B-B3)

xE=0.5L-b5，yE=R3cosβ

xO1=(R3+r1)sinβ，yO1=(R3+r1)cosβ

xP=xO1，yP=yA

xO2=xO1+(r1+r2)sinδ

yO2=yO1-(r1+r2)cosδ

xG=xO2，yG=yA

角β、δ分别下式确定。

(8)

(9)

曲线多边形ADEO1P的面积等于梯形AO3O1P面积减去扇形O3ED面积。

扇形O1EH面积为

曲线多边形GPO1H的面积等于梯形GPO1O2面积减去扇形O2GH面积。

于是，曲线多边形ADEHGA面积为

SADEHG=SADEO1P+SO1EH+SGPO1H

(10)

JIS锚水平投影面积为

S3=LB-4SADEHG-(4-π)r2+(B1-B)2

(11)

式(11)右端最后1项是锚冠中心线上下2侧凸筋的近似面积。

以上过程可编程计算。

1.4 Hall锚水平投影面积

Hall锚国标[12]里仅给出主要尺度，没有详细尺寸，无法准确计算。对比Hall锚和JIS锚主尺度及锚冠轮廓，可以发现在同一重量级别下，Hall锚尺寸要比JIS锚大一些，二者锚冠水平投影轮廓(见图7与图5)大体上几何相似。这样便可利用JIS锚的结果换算出Hall锚的水平投影面积。

图7 Hall锚锚冠水平投影轮廓

将式(11)改写为

(12)

式中：k为比例系数。

根据相似原理，Hall锚水平投影面积为

S4=kL4B4

(13)

2 水平投影面积计算与拟合

设水平投影面积与锚体积的2/3次方成正比，即

(14)

式中：S含义同式(1)；C为无因次系数；Ma为锚质量，kg；ρs为铸钢密度，取7 800 kg/m3。

根据锚的相关标准资料，查出公式里的相关尺寸，按上面各式分别计算出4种锚的水平投影面积，由最小二乘法给出各自的系数C的计算式。

(15)

式中：N为每种锚按重量级别统计的个数。

2.1 AC-14锚尺寸统计与面积计算

按锚重级别每隔1档作统计，共计30组，然后按式(2)计算投影面积，结果见表1。

将表1中的面积值和锚重值代入式(15)，得：C=2.268。于是，AC-14锚水平投影面积估算式为

(16)

将上述计算和式(16)拟合结果绘于图8。

2.2 Spek锚尺寸统计与面积计算

按质量级别从480～20 000 kg做了45组统计，用式(3)～式(7)之间各式计算水平投影面积，结果列于表2。将表中数据代入式(15)中，得：C=2.288。

表1 AC-14锚尺寸统计与水平投影面积计算结果(表中各几何尺寸符号见图2)

图8 AC-14锚水平投影面积计算值与拟合值

于是，Spek锚水平投影面积估算公式为

(17)

将表2结果和式(17)结果一并绘于图9。

图9 95 Spek锚水平投影面积计算值与拟合值

2.3 JIS锚尺寸统计与面积计算

按质量级别从480～29 000 kg用1.3中各式

表2 95 Spek锚尺寸统计与水平投影面积计算结果(表中各几何尺寸符号见图3)

做了24组统计，计算结果列于表3。将表中锚质量和投影面积代入式(15)中，得：C=1.779。则JIS锚水平投影面积为

(18)

将计算结果和式(18)结果一起绘于图10。

图10 JIS锚水平投影面积计算值与拟合值

2.4 Hall锚尺寸统计与面积计算

利用JIS锚计算结果，仍按锚质量480 kg至29 000 kg做了24组统计，并用式(12)、(13)进行计算，结果列于表4。表中第2～5列为JIS锚数据；第6～9列为Hall锚数据，但计算时用到了第5列的k值。把表中锚质量和投影面积数据代入式(15)中，得：C=2.124。于是有Hall锚水平投影面积估算式为

(19)

将计算结果和式(19)结果绘于图11。

图11 Hall锚水平投影面积计算值与拟合值

从图8～11可以看出，拟合结果与计算值符合非常好。对比可知，在同等锚重情况下，Spek锚的水平投影面积最大，这跟该锚锚冠的板状结构有关；其次是AC-14锚，宽大的稳定鳍使水平投影面积较大；JIS锚结构上与Hall锚相似，其水平投影面积最小。

3 结论

1)统计数据来源可靠，计算原理简单，估算公式使用方便，只要给出锚型和锚重，即可获得锚的水平投影面积。

2)与已有的各种方法相比，本文采用锚体积的2/3次方作为面积估算的基函数，从量纲角度讲是合理有效的。

3)结果可直接用于锚下落速度和落底贯入深度的计算分析中，对船舶抛锚安全和海底管线埋深设计及保护有参考价值。

这4种船锚在商船上应用广泛，但仍有一些船用锚，例如DA-1锚、波尔锚、美国海军锚等，计算中未涉及到。除Spek锚之外，其他3种锚在悬挂状态下锚爪会倒向一侧，造成实际投影面积与估算值之间出现偏差。锚爪倾斜后，锚冠本身的水平投影面积变小，而锚爪伸出锚冠轮廓线的部分又增加了投影面积，二者相互抵消一些，偏差的确定还有待于深入研究。