数学抽象的认知与脑机制

吴增生



数学抽象的认知与脑机制

吴增生

（浙江省台州市仙居县教育局教研室，浙江 台州 317300）

抽象是数学的本质特征．对数学抽象本质的争论，伴随着数学发展的历史．从认知神经学的视角分析数学抽象的本质后发现：（1）数学抽象本质争论中的不同观点实质上都有其合理性，它们各自在不同认识水平上反映了数学抽象的某些侧面；（2）抽象过程的本质是大脑神经细胞集群对数量和空间信息的选择性、简约化激活反应；（3）抽象活动的基本步骤为：分离属性与建构模型——概括与一般化——定义与符号化——系统化．

数学抽象；认知与脑机制；活动步骤

抽象是数学的本质特征，抽象并不是数学所独有，但数学除了关注数量与空间的特征外忽略了其余一切物理特征．数学抽象具有典型性、确定性和高度的形式化，使之成为抽象活动的典范，数学抽象的方法广泛地应用于其它学科和实际问题的研究中．正因为如此，数学可以在更抽象的层次（数量关系、空间结构、逻辑关系）上一般性地研究事物的本质、关系与规律，具有应用的广泛性，也正因为如此，数学抽象成为了数学产生和发展的思维基础[1]，成为了数学基本思想，也成为了数学核心素养的主要成分[2-5]．

1 数学抽象：跨越历史与现代的话题

从古希腊的毕达哥拉斯学派开始，抽象便进入了数学研究之中[6]，而从柏拉图时期开始，已经确定把数学概念看作是抽象物，重视把抽象的观念作为数学思想融入哲学，他们关心证明，关心推理过程的方法论，提出需要通过演绎证明得到知识[7]．亚里斯多德创立的逻辑学，奠定了数学推理规范化和系统化的基础[8]．欧几里得的《原本》无疑是数学公理化抽象和推理的典范，从此，抽象和推理的思想一直贯穿于数学发展的历史，成为数学的基本思想．

“数学在本质上研究的是抽象的东西”，这一观点得到古今的哲学家和数学家普遍认同．但对抽象的数学概念的存在形式这一抽象本质的认识，从古到今，一直充满着争论．自从数学抽象概念出现以来，就存在着数学抽象概念的“唯实论”与“唯名论”之争．

这种争论是从柏拉图和亚里士多德开始．柏拉图的“理念说”把抽象的概念作为人的思想“理念”，认为这种理念是客观存在的，需要用思想领悟；强调概念的普适性，认为经验是不可靠的．亚里斯多德则认为抽象的概念不是客观存在，而是主观意识的反映，是要借助知觉从经验中抽象出数学概念，用“共相”来说明概念是具体事物共同属性在人的意识中反映；认为一般意义上的抽象概念，是人们从客观事物的共同属性中抽象出来的描述事物之间相互关系的东西．

随着数学的发展，历史上许多哲学家和数学家在批判和继承的基础上参与了这一争论．如法国数学家笛卡尔（R. Descartes，1596—1650）、德国数学家莱布尼兹（G. Leibniz，1646—1716）、德国哲学家康德（I. Kant，1724—1804）、德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）、德国数学家和逻辑学家克罗内克（L. Kronecker，1823—1891）、法国数学家鲍莱尔（E. Borel，1871—1956）、法国数学家勒贝格（H. Lebesgue，1875—1941）、法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854—1912）、英国哲学家、数学家罗素（Bertrand Russell，1872—1970）等，在批判的基础上继承了柏拉图的观点，由此发展出直觉主义、形式主义和逻辑主义观点；英国哲学家培根（F. Bacon，1561—1624）、英国哲学家霍布斯（T. Hobbles，1588—1679）、英国哲学家洛克（J. Locke，1632—1704）、英国的哲学家休谟（D. Hume，1711—1776）等，则在批判的基础上继承了亚里士多德的观点，由此发展出了经验主义和白板说．争论的焦点是抽象的概念是客观存在与经验无关的，还是基于经验加工而形成的意识对象．

史宁中在深刻分析上述观点争论的基础上，取其合理的成分，提出数学抽象的两个阶段的理论，认为数学中有两步抽象，第一步是建立在经验直观之上的抽象；第二步是建立在对象表达符号化和论证过程形式化之上的抽象．前者是基于经验直观的，后者是基于思辨和逻辑的．对于数学概念的本质，则坚持亚里士多德的观点：数学的基本概念，即哪些抽象了的东西是不存在的，抽象了的概念只是表现在每一个具体之中．认为数学所研究的哪些概念不是现实的存在，而是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果；认为数学抽象依赖于直观，既包括经验直观也包括纯粹直观；认为数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理．史宁中指出，数学抽象过程从深刻程度而言分为以下3个阶段：简约阶段、符号阶段和普适阶段[7-8]．

这些哲学和数学大师从哲学和数学的角度论述了数学抽象的本质，学习和研究这些观点，可以更好地从哲学和数学本质角度认识数学抽象．然而，正像史宁中所说的，谈论数学抽象，不能不涉及人的作用．比如，概念不是现实存在，只是人脑的意识建构，但概念具有普适性．由于每一个个体的大脑所建构的意义都具有独特性，为什么抽象出的概念却具有普适性？作为抽象概念的基础，经验和直观在大脑中是怎样存在的？思辨和推理是针对概念关系进行的，概念的外在表现是基于语言符号的定义，这些语言符号表示的形式化的对象是怎样由经验生成的？数学抽象的层次性在大脑神经活动中是怎样实现的？需要经历哪些外显的操作步骤和内在加工过程？所有这些问题都需要依赖于抽象活动的认知与脑机制研究才能得到解决．

2 皮亚杰对数学抽象活动的认知研究：反省抽象理论

皮亚杰及其同事用“反省抽象”来描述从现有的概念之上发展出更新、更高级概念的心理过程．他摈弃了唯实论（柏拉图观点）和唯名论（亚里士多德的观点），认为“逻辑数学结构既不是发现，也不是发明，而是凭借反省抽象进行的，是完全意义上的建构，而这种建构正是建立在主客体相互作用的活动的基础之上[9]．主客体相互作用的过程中存在着各种关系，既有客体之间的相互关系，也有主体客体之间的相互关系，这种关系集中反映为结构、范畴和逻辑关系．反省抽象指的是将个体操作中的关系抽取出来，并在更高的层面上对这种关系进行重组的过程．他提出，通过“投射”和“反射”两个阶段，人的心理结构可以从较低水平发展到较高水平．投射指的是较低水平上的操作可以投射到较高水平上作为反射的对象（例如，从操作到操作的表征）．而反射过程则指的是对较低水平操作投射上来的对象进行重组的过程（例如，对操作的表征符号进行操作）．反省抽象凭借自身的建构特性，实现了从操作到运算的转化，使得包含在操作中的关系逐步演变为逻辑——数学结构．例如，在序列操作的过程中，个体要将行为顺序从操作中抽取出来，首先就需要对行为的顺序进行表征．要成功地表征，就需要建立高于操作层面的格式，这样，才能摆脱表征的局限，实现对序列的转换或是重构．在反省抽象的多次作用下，早期发展阶段上的操作序列逐渐被建构为一个形式运算的序列，并能在高级发展阶段上随意地被转换或是重构，实现了对操作的操作，也就达到了逻辑——数学范畴[10]．在这一过程中，从操作到操作序列的表征属于史宁中所说的“基于知觉运动经验的第一次抽象”，操作序列的转换与重构则属于史宁中所说的“对象表达的符号化和论证的形式化的第二次抽象”．通过反复进行这两种抽象活动，得到数学的系统结构．皮亚杰通过5个抽象层次（经验抽象、伪经验抽象、反省抽象、再反省抽象、元反省抽象）的划分，着重研究了从较低层次抽象水平发展到较高抽象水平概念的“投射”与“反射”机制，从认知发生论的角度描述了数学反省抽象的心理操作阶段．

Ana-Isabel RoigI、Salvador LlinaresII和Maria del Carmen PenalvaIII在皮亚杰理论的基础上，通过任务测试、行为观察、问卷调查和现场访谈研究中学生数学概念抽象的形成和应用阶段，并发现中学生在数学概念抽象的形成阶段有两个关键要素：一是在具体情境中感知规律的能力；二是把注意焦点从具体结果转移到属性的结构，从而实现信息的协调[11]．

事实上，皮亚杰的上述理论较好地回答了古今数学家对数学抽象本质的争论中的问题，数学概念既有从现实的、具体的存在中通过知觉和运动经验抽象出来，这就是皮亚杰所说的基础层级的抽象——经验抽象；也有从已有的概念中抽象出新的概念，建构概念关系，通过形式化的逻辑推理建立数学系统结构，在皮亚杰看来，这是反复进行“投射”和“反射”的结果，是反省抽象．数学抽象既有客观性，又有建构性，也就是说，既有普适性和客观性，又有主观建构性，是主体所建构的反映客观实在的各种神经激活模式，因此，数学概念以“名”（定义与符号）的形式存在，但反映的是具有普适意义的一类事物及其相互关系，因此具有“实”的属性．

3 数学概念抽象活动的脑机制

然而，皮亚杰所说的基础层级的抽象——经验抽象是如何实现的？抽象的“投射”和“反射”操作是怎样实现的？要真正精细可靠地描述经验抽象、投射、反射的过程，就需要考察这些认知加工过程的生物学证据——即大脑神经活动机制．

3.1 经验抽象活动的脑机制

经验抽象是个体的发展过程中最简单、最基础的抽象．它指从客体中抽取信息或者是从个体行为的物质属性中提取信息[12]，也是最基本的从直观的知觉运动经验到对象概念的抽象．

3.1.1 知觉抽象

知觉抽象指的是知觉中对信息的选择性整合加工．知觉的选择性整合首先发生在同一感觉通道．比如，初级视觉皮层（V1区）对来自视网膜经丘脑外侧膝状体传导而来的信息进行加工，并进一步传导到次级视觉区（V2、V3、V4、MT）等进行加工，而且，视觉加工具有双通路，背侧枕顶通路主要加工物体的位置和运动，腹侧枕颞通路主要加工物体的形状、颜色等物理属性．其次，信息的整合发生在不同感觉通道之间，Barry Stein发现在多通道（视觉、听觉、躯体感觉等）同时呈现某一对象的刺激，上丘中单个细胞的反映大于任何一个单通道的刺激的反映，这叫做多感觉整合效应[13]，Gemma Calvert和他的同事们（1997）用fMRI发现沉默的唇读激活了听觉皮层，发现借助于观察说活时嘴唇的运动和听，人们更容易理解对方的说话，还发现在这种视听感觉整合中左侧颞上沟起到了知觉整合的作用，这种整合，使大脑对信息进行了选择性强化[13]．Humphreys、Cinel和Wolfe等人经过系列实验，提出了知觉特征的双阶段整合理论，他们认为，物体的整体特征识别是前注意自动加工的，而其细节特征的搜索和整合则需要注意的参与，是系列加工的[14]．物体识别的神经集群模型认为：不同神经元群对物体的不同特征分别反应，然后这些不同的神经元群以特定的时间和空间模式同时激活扩散，从而形成物体特征稳定的关系——物体属性的知觉．物体不但由它的部分决定，也由部分之间的关系决定．这种觉知物体的部分以及把部分按照特定模式整合在一起的机制是“特征捆绑”过程．上述研究表明，在知觉形成阶段，便有了对信息特征的选择性整合，而这种整合过程实际上已经对信息进行了抽象．

3.1.2 图形的抽象

视网膜细胞按照功能可以分成两类，一类是大细胞，负责加工物体的位置与运动信息，并通过丘脑的外侧膝状体传导到V1区；另一类是小细胞，负责客体形状、颜色等本身特征的加工，并进一步传导到V2区．然后，V1区把加工后的信息传导到枕叶—顶叶—前额叶组成的背侧通路，进一步加工物体的运动信息；V2区加工后的信息通过V4区进一步传导到由枕叶—颞叶—前额叶组成的腹侧通路进一步加工物体的形状、颜色、大小及质地等．背侧通路和腹侧通路各司其职有专门的神经纤维相互联系，使大脑能准确、精细地识别物体的位置、运动和性质等属性．物体连续运动的知觉过程，实际上是对物体位置及其连续变化信息的选择性加工，这是几何中点和线抽象的神经机制，这与项武义提出的点、线概念相一致[15]．物体形状信息的加工过程，是对物体的轮廓（线）、（线段）朝向、拐角（线段不同朝向的方向差）、线条的交叉点等信息的分别反应再进行基于空间结构的整合过程．在这一过程中，实际上已经抽象出点、线、角等构成几何图形的基本要素及这些要素的结构组合．研究还表明，视觉加工既有自下而上的刺激引导的加工也有自上而下的任务引导加工，在形状加工过程中，存在特征分离和特征整合两个阶段，特征分离阶段既有自动加工也有控制加工，而特征整合的过程则需要注意的参与，是控制加工的过程．例如，三角形概念的抽象，是先分离出构成三角形的要素——线段；3条线段具有不同的方向并在端点交叉构成拐角，形成封闭图形，这就是要素之间的关系，通过这种要素的分离与整合，得到三角形的知觉形象．

基于直观经验的图形抽象还需要在知觉的基础上用语言符号表示，生成特定图形的名称．如形成三角形的知觉形象后，还需要用语言给出逻辑定义并用符号表示．因此，几何图形的抽象是从知觉到语义的．

3.1.3 数量抽象

尼德（Nieder，2002）等运用单细胞电活动记录的方法对恒河猴的数量能力进行了研究，发现在额叶区域有三分之一的神经元表现出了数量敏感性，并发现由不同的神经元群负责对数量1、2、3、4、5进行加工，即加工不同的数量有专门神经元分别负责．从它们的前额叶边侧皮层直接探测到对数量1—5专门反应的神经元，被称为“数量神经元”．2013年美国斯坦福大学医学院的科学家为人脑中的数字“热点”进行了精确定位，测量精度达到1/15英寸（1.7毫米）脑区宽度．数字“热点”是当人们看到普通数字（如“6”）或非符号数字（6个点）时，脑中最先被激活的位点（如图1）．相关论文发表在美国《神经科学杂志》上[16]．由于位置和运动的视觉知觉是沿着枕顶背侧通路传导并进行逐级加工的，而且顶叶也是控制眼动的大脑区域，因此，数量认知是空间视觉认知的分化和发展．

Zorzi和Priffis等人通过实验研究发现，患空间一侧忽视症的病人在心理数轴上有偏向另一侧（如左侧忽视估计两数的中位数出现偏向大数）的现象[17]，Gevers等人的双通路平行加工理论认为，空间在数量的加工和表征中起到中介作用，数量大小信息加工（估算加工）本身是一条自动化的、快速的无条件通路，它基本不会受到任务需求的影响；相对于快速的无条件通路，另一种加工（精算加工）则受到任务需求影响，且依赖于任务需求的、慢速的、有条件的通路，加速反应发生在快速通路和慢速通路这两条通路能够在同一个任务反应上实现汇合；如果达不到汇合这一条件，也就是如果这两条通路分别对应于不同的任务反应，就会减慢反应的时间和进度[18]．进一步的研究表明，顶叶的左侧顶内沟区域，无论对符号数量和非符号数量都具有敏感性．非符号数量加工更多地需要视觉加工，符号数量加工更多地与角回及颞上回有关，是基于符号运算事实的提取（如乘法口诀）和逻辑进行的，以语言符号为媒介，符号数量认知是非符号数量认知的符号表征．张韩、陈传生、周新林等人用功能性核磁共振（fMRI）方法研究表明，与数字加工相关的大脑顶内沟区域参与了几何概念的加工过程，但并不参与代数概念的加工，而几何概念、代数概念加工及语义加工共享了相同的大脑区域——左颞叶和额叶区域[19]，这说明，几何图形知觉加工需要枕顶通路参与，数字加工同样需要这一通路，两者都需要图形直观；几何概念的形成，则需要以几何直观中介，结合语义加工；代数概念加工则更具有语义的特征，是基于数量抽象后作为基本事实进行提取的．无论是几何概念和代数概念都要借助语言加工建立与语言标签的联系，非符号数量加工是在空间视觉加工基础上的进一步精细化、特异化加工活动，符号数量是非符号数量的符号化，代数概念则需要建立在符号数量的运算基础上，更多具有语义加工的成分．

图1 对不同数量概念反应敏感的神经元群

Dehaene的数量认知“三重编码”模型则更进一步说明了非符号数量概念与符号数量概念之间的关联（如图2和图3）[20]．

上述认知神经学证据表明，基本数量概念的抽象是基于视觉空间加工基础上的进一步抽象，数量抽象与图形抽象具有交互作用，相互影响，而心理数轴的发现则进一步说明了这种关系．

3.1.4 类别概念的抽象

Baesalou（2003）认为，人类是基于知觉符号系统对概念作出反应的，物体的物理刺激通过感觉通道上行到知觉皮层，引起特征映射中的神经元激活产生感觉表达，进一步，知觉联合区神经元关联激活并捕捉感觉表象．反过来，概念提取的过程是：联合区中的神经元关联激活部分地恢复感觉表象，然后引起特征映射中的神经元重激活而引起感觉表达，而重激活的神经元是原先刺激激活的部分神经元[21]．

图2 数量认知的三重编码模型

图3 三重编码的脑结构模型

如图4，图a、c展示了视觉刺激下激活的视觉皮质神经活动；图b、d展示了回忆视觉概念时激活的脑区；图e展示了接受听觉刺激模式激活的脑区；图f展示了回忆听觉模式时激活的脑区[22]．Warrington（1995）提出了物体识别的认知操作模型（怎样把部分整合成整体，按照特定的要求归类并命名——类别抽象）．如图5[13]，视觉抽象分两步进行：感觉加工（与两侧枕叶相关的视觉加工，如运动、形状、颜色等）后进行两步分类加工，第一步，知觉分类：知觉输入与储存的视觉物体表征相匹配，视觉系统必须对信息的独特来源（如轮廓、线条朝向、角、阴影模式）和不变性来区分，这一阶段与大脑右半球相联系（这也叫前语义阶段）；第二步，进行语义分类和概括，这与左半球相联系．

图4 抽象是知觉神经活动的简约化

抽象出概念必须要建立相关知觉的名称，其神经机制是通过角回这一知觉整合区域建立知觉网络与语音、词汇网络之间的联系．Levelt提出的词汇网络模型中，认为概念网络包括词素或声音水平、词元水平和范畴水平，从词素或声音水平到词元水平，主要以声音形式投射，而从词元到范畴（概念水平），则主要靠感觉连接[13]．Alexmartin和他的同事（1996）运用PET和fMRI研究发现，命名动物图片时，梭状回外侧和颞上沟以及早期视觉加工有关的左侧枕叶区域有更多的激活；在命名工具时则梭状回内侧、左侧颞中回以及左侧运动前区有更多的激活．由此推断，动物概念的表征更多地依赖知觉信息，对人造工具的概念表征则更多地依赖运动和功能信息加工．上述研究表明，基于经验的对象概念抽象，是从知觉和运动加工到语音词汇加工发展的．幼儿的口语词语形成过程，实际上也是先在成人的指引下形成知觉经验（包括视觉、听觉、味觉、触觉、躯体知觉、运动知觉等），再建立这些知觉经验之间的联系，然后才能建立名称（词）和物体类别之间的对应关系．幼儿的口语发展，总是先有知觉经验，再听语音表达，理解语音与视觉之间的关系，最后能用适当的词来表达概念名称．例如，婴儿先出现认生现象，这标志着能成功识别人脸，然后模仿发音（如发出“爸爸”的音节），再到泛化称谓（叫很多人“爸爸”），最后才发展能用“爸爸”特指自己的父亲．视觉词汇阅读的研究发现，梭状回中部的布罗德曼37区对视觉词汇刺激具有选择性敏感，而该脑区位于颞叶下部与枕叶下部的交接处，形成了联系视觉加工和语言加工的大脑神经解剖结构．从人类文字产生的历史发展看，几乎所有文字的最初形成都来自于视觉抽象，这一现象从进化角度印证了基于经验的基本类别概念抽象是从知觉运动到语义的过程．

图5 视觉类别抽象的两阶段模型

3.2 数学反省抽象的“投射”与“反射”的脑机制

普遍接受的观点是，概念既以知觉运动经验为基础，又可以看作概念联系网络中的节点．人们可以从加工已有概念之间的联系信息中抽象出概念关系，形成新的概念．对于数字1—9概念的表征，普遍的结论是在一条心理数轴上表示的（如从左到右），负数的概念抽象，大脑则是依赖于“符号”和“绝对值”而进行表征的[22]，在负数概念形成后，把负数概念作为一个对象与正数和0进行比较，则又可以延伸心理数轴．Fischer采用比较判断任务[23]，研究结果支持数轴从零向左延伸包含负数的假设．负数概念的抽象，是基于正数的再抽象得到的，从数10到-10抽象的投射过程是：先通过操作或思考理解如“收入10元的相反意义是付出10元”，在先前抽象出正数10的基础上，把10从非符号数量转换为符号数量，把10的概念符号化，看作对象，并用它表示收入10元；而反射的过程则是把投射得到的对象10表示收入10元与付出10元放在一起进行比较分析，发现要区分收入与付出这对相反意义的量，需要关注量的“极性”（符号）和“量值大小”（绝对值），然后把极性（符号）和量值（绝对值）组合在一起抽象出“-10”的意义．同样，在得到正数、0和负数的概念后，把每一个数投射到直线上，把每一个数都看作一个对象，再对对象进行排序，通过这种重组（反射），可以在心理数轴基础上抽象出数学中形式化的数轴概念．上述从下位概念抽象出上位概念的过程符合皮亚杰的“反省抽象理论”，先把下位概念中的要素及其关系模型投射到上位概念类别模型中，再与其它概念模型进行比较分析和重组加工（反射），则可以抽象出上位概念．

那么，概念抽象过程的“投射”与“反射”的大脑神经事件是什么？Quinn等人（2006）采用ERP技术，通过注视时间程序探讨了婴儿上位水平和下位水平类别概念形成的神经机制．结果表明被试对熟悉阶段所呈现的基本水平类概念的学习主要表现在左侧枕——顶叶晚期慢波成分（NSW)上．下位概念类别检测阶段，出现这种晚期负慢波的提高，而类别形成则表现为这种负慢波回到基线水平．而上位概念类别的检测，则出现了右额叶头皮晚期正慢波（PSW）的提高，上位类别概念的形成（形成新的类别）则反映为晚期正慢波（PSW）回到基线水平．Quinn等（2006）还发现了一种与新颖刺激加工有关的成分——中央负成分（Negative Central Componeni, Nc）．在再认记忆研究中，Nc被认为与新颖刺激的注意反应有关（Reynolds和Riehards，2005)．这些研究初步地表明，从下一层级的概念向上一层级概念抽象的投射过程，首先表现为左侧枕—顶叶的负慢波（类别成员的初步检测）；而反射的过程则表现为前额的正慢波（与类别成员的初步加工有关）及Nc（与新颖刺激的注意反应有关），而形成上一层级概念的标志是对类别成员辨别时慢波回到基线水平．

3.3 概念抽象过程的个性化和概念的普适化

基于物种的进化，人类大脑结构及功能具有相似性，这种相似性为人类正确理解科学概念，理解概念的普适性提供了基础．比如，不同的人对于“狗”的概念的理解，都是从外形结构、行为、声音、食物、生活环境、与人关系、与其它动物关系等角度激活相应的神经网络，而这些神经网络具有相似性，这是不同的人形成“狗”的概念的普适理解的基础．卡内基·梅隆大学的Andrew James Bauer 和 Marcel Adam Just通过新动物概念学习任务进行fMRI研究，记录了抽象新的概念（虚构动物的形态、生存环境和食物）过程中大脑中所激活的脑区，研究表明，抽象过程中在每一个人的大脑中所激活的脑区是基本相同的，如图6[24]．周新林等用功能性核磁共振比较了描述数学基本运算律和数字计算及一般语言，发现描述运算律时双侧顶内沟区域和右缘上回有等区域有更强的激活，颞叶—顶叶回路有更强的联接；而数字计算则表现出枕叶—顶叶通路有更强的联接；另外，左侧额叶——顶叶通路有更强的联接．结果显示，参与数学运算律描述的神经网络与数字计算及语言加工网络有重叠但也有明显的区别，表现出了不同个体的一致性（如图7）[25]．

图6 虚拟动物概念学习中激活的脑区

图7 数学原理（运算律）与数字计算和一般语言描述中激活的脑区

语言文字符号则为不同的大脑进行概念交流，形成普适化理解提供了物理媒介．当一个概念在一个人脑中时，它还是基于脑内神经活动的，更多的是事物对象类别特征以知觉运动经验与概念网络的混合体形式存在，是临时性和不稳定的；当这个人用语言符号明确地建立概念判断准则时，就从物理角度确认了概念的内涵与外延，明确了这一概念类别成员与其它类别成员的区别；当另一个有共同经验基础的人受到这种语言符号刺激（语音或视觉）时，会激活相似的概念网络结构及其相关的知觉神经回路激活，形成共同的理解，从而实现了概念的普适化．

当然，不同个体的大脑对相同对象的加工的神经回路不完全相同，而且，大脑的概念网络形成是受到经验影响的，这种经验来自于环境、文化和教育，对于同一个概念可能产生不同的概念网络及知觉激活，造成误解，好在人类的交流具有反馈机制，可以在不断交互反馈中修正理解．也正因为如此，生活环境和文化教育背景的差异可能造成交流的困难．

4 数学抽象的本质

（1）抽象本质的争论中的不同观点都有其合理性，它们各自在不同认识水平上反映了数学抽象的某些侧面．

基于上述概念抽象的脑机制分析，可以确定，个体脑内的数学概念，是人脑在基本感觉运动经验基础上构建的理解外部世界的数量及空间属性的主观实在（大脑神经的激活扩散模式），这种主观实在没有外部世界中的认知对象的物质性；另一方面，这种意识对象的形成依赖于外部世界的物质性，即便是虚构出的数学概念（如四元数），也是在与业已抽象得到的概念（实数、复数）的关联中产生的．也就是说，抽象的概念是人脑对客观事物的概括反应，而不是客观实在，它存在于每一个具体之中，是一种主观实在．这与亚里士多德的主张一致．

不同的大脑反映同一概念的神经网络具有相似性也具有差异性，前者有利于人们对同一概念形成相同的理解为了克服后者产生概念理解的歧义，人们通过语言和逻辑界定来实现．因此，作为人脑抽象结果的外在的数学概念，是具有逻辑确定性和普适性的数学对象，具有柏拉图所说的“永恒真理”的属性．人们要理解数学概念，需要跳出具体对象的束缚用理性思辨去理解，这与柏拉图的观点一致．

在数学抽象活动中，既有基于感觉运动经验的直观经验抽象，即皮亚杰所说的经验抽象，又有在已有概念基础上得到新概念的高层次抽象．前者是大脑神经系统对知觉运动经验的选择性简约化反应，是自下而上的加工；后者是通过“投射”和“反射”机制得到的，是在提取概念记忆基础上进行建构，是自上而下的加工，属于皮亚杰所说的反省抽象．

（2）抽象过程的本质是大脑神经细胞集群对数量和空间信息的选择性、简约化激活反应．

大脑神经是在不同层次上组团的神经元连接构成巨型复杂网络结构，若干个神经细胞的共同激活表现为反射弧，对同类刺激作出协同反映的神经元组成神经元群——功能柱，多个功能柱之间的反映协同组成巨型柱，多个巨型柱组成特定的大脑功能区，大脑功能区负责加工特定的信息，如初级视觉皮层主要加工来自视网膜神经元传递来的视觉信息．

大脑具有抽象机能的基础是神经元的结构及其信息整合与传输机制．不同的神经信号从不同分支的树突传入到细胞体，通过细胞体进行选择性整合（某些树突分支的信息因强度不够被忽略，有的分支的信息得到增强），整合成新的信息后通过轴突传递到轴突末端神经末梢上的突触，传递到其它神经元，进行再一次整合．所以，单个神经元的传输中进行的信息选择性整合传输是最基本层级的信息抽象．

第二层次信息的选择性整合传输发生在细胞集群形成的同步激活扩散．具有相似功能的神经元倾向于在大脑皮质中作垂直排列，形成柱状结构，称为皮质柱，贯穿皮质的大多数层次．其中最著名的例子是视皮质的朝向柱，其中所有神经元都偏爱于具有以特定角度倾斜的线条或边缘，比如，一个皮质柱中的所有神经元对倾斜35º的边界有最佳反应，而另一个皮质柱中的所有神经元偏爱其它倾斜角度（比如水平的、垂直的……）的不同的边界．大脑神经的这种功能结构为数学概念形成中分离关键要素奠定了基础．

第三层次的信息选择性整合传输发生在不同的皮质柱构成的皮质区（布罗德曼皮质区）上．不同的皮质区，在对对象的不同抽象特征进行反应的基础上，建立相互之间的联系．这为数学抽象中建立要素关系，进行要素关系的选择性整合奠定了基础，也为数学概念的本质属性的发现奠定基础．

第四层次的神经信号选择性整合扩散，发生在不同皮质区之间的联系上．这为把得到的简约化的要素关系推广到一般并用语言符号表示奠定了基础，也为基于语言符号的概念网络表征、命题抽象、数学系统结构抽象奠定了基础．

例如，黑板上画了一个三角形，视网膜进行初步的三角形的封闭轮廓、角、边缘线段朝向、光线明暗等不同的特征进行初步抽象加工后，传输到初级视觉区，激活对应的神经元群，形成神经元的拓扑结构、角、边缘、朝向、运动等反应，分离出三角形的构成要素——不在同一直线上的三条线段；并进一步传输到次级感觉区、感觉联合区，形成三条线段首尾相连构成封闭图形的关系与结构知觉抽象；然后传输到颞叶的名称词语区、语言理解的魏尔尼克区、语言发起的布洛克区、控制执行动作的运动区及基底神经节，说出“三角形”这一词条，用符号“△”表示，并用语言给出定义：三条不在同一直线上的线段首尾相连组成的封闭图形．

不同皮质区之间神经信号的选择性整合扩散，还表现在不同概念联系的建立上．例如，当看到一只具体的猫在抓老鼠，这一景象对人施加了视觉刺激，这种视觉刺激是整体的和具体的，人的大脑视觉加工会把猫和老鼠先从整体中分离出来分开感知，各自建立与相关皮质区的联系，归入到先前的知觉运动神经回路上，猫归猫、老鼠归老鼠（当然，它们的知觉运动神经回路有重叠也有区别，重叠处反映的是共同的动物特征，区别处反映的是外形和属性的不同），然后在观察“猫抓老鼠”过程的感知运动经验基础上建立两种动物的抽象概念相互联系的结构模型，抽象出“抓”的动词来说明它们的动作状态，用“猫抓老鼠”这一抽象语句说明它们之间抓与被抓的关系．这种概念之间关系的抽象的结果是“关系词语”．在数学中，概念之间的关系有从属关系，与之相关的反映从属关系的词语有“是”“包含”“属于”“存在”“全部”“所有”等；数学概念之间有量的比较，如“多”“少”“大”“小”“几分之几”“相等”“同解”等；数学概念之间有位置关系，如“在…中”“在…之间”“互相”“平行”“垂直”“前项，后项”等；有运算关系，如“加”“减”“乘”“除”“变量的值”“趋向于”等；有因果逻辑关系，如“因为…，所以…”“如果…，那么”；有对应关系，如“全等”“相似”“函数”“映射”“同构”“同态”等．

大脑中建立抽象的概念之间的关系，具有建构性，这种建构性是下一层级概念到上一层级概念的选择性投射（对象属性分离）和创造性反射（对象属性重组与一般化），而且这种投射和反射是在抽象水平上的自由创造．抽象水平上的自由创造完成后，大脑往往去寻找具体模型来理解和说明．数学中，通过抽象的概念之间的关系抽象，通过构造新的模型，给出新模型的定义，这样得到的概念比直接从知觉运动经验进行简约化的抽象得到的初始概念更多、更普遍．

综上所述，大脑神经细胞集群对数量和空间信息的选择性、简约化反应，其指向外界事物的根本操作是：舍去事物中除数量关系和空间形式外的一切物理属性，得到数学研究对象，在此基础上通过类比与联想得到对象类别，通过类别内归纳和类别内外比较，构建类别判断准则，形成概念；研究概念中对象的本质属性，得到命题；研究概念以及命题之间的逻辑关系，得到系统结构．

5 数学抽象活动的基本操作步骤

数学抽象是人脑对客观事物的数量关系和空间形式的间接、概括的反映，这里涉及到人脑与客观事物两个主体，客观事物把信息输入大脑，大脑对客观事物输入的信息进行加工，或者对大脑中已有的信息进行再加工，构建新的信息．究竟是大脑对信息的自主重构重要，还是外在事物的信息输入与加工重要，这就是“唯实论”与“唯名论”的观点之争的核心．事实上，数学抽象，既有从具体的客观事物抽象出来的对象概念，如自然数、点、直线、平面、圆、球等概念；也有从对象之间关系抽象出来的关系概念，如相交线、垂线、平行线、平行四边形、全等、相似、方程、不等式、函数、导数、积分等，这些概念是用已有的抽象概念通过相互关系的抽象构造出来的概念．具体对象概念的抽象更依赖于操纵客体或模型活动中的感觉运动经验，是从感觉运动的选择性知觉到概念内涵的语言表达的过程；抽象关系概念更多地依赖于对已有对象关系的信息的主动建构，是借助具体对象概念及其典型模型建构概念关系结构的主动构造过程，是基于具体对象概念通过“投射”和“反射”进行反省抽象活动得到的．从神经活动的角度看，前者更多的是基于具体对象的知觉运动神经回路的简约化；后者则是内源的，是基于记忆信息提取和重组，是几个概念相关的神经回路整合成新的统一简约的神经回路的过程．

数学抽象首先需要在目标导向下，发现和表示对象的某些属性——分离出关键要素，分析要素之间的关系（这需要感知和表征），然后构建具备这种本质属性（关键要素及其关系）的新模型，实现属性的明朗化、理想化和简约化，这就是史宁中所说的抽象的“简约化阶段”．其次，再通过类比和想象寻找更多的类似对象，得到对象类别，通过类内归纳把这种分离出来的属性推广到某一类的对象或特殊化到某一类对象，实现属性的一般化；在此基础上通过类内外对象辨别构建类别的判断准则，给出定义，简约、确定地表示抽象出的属性，在此基础上用符号表示，这是史宁中所说的符号阶段．最后，建立概念之间的联系，得概念网络和命题，研究概念以及命题关系形成数学结构系统（如公理化系统，不同数学系统之间相互关联形成新的数学系统），这就是史宁中所说的普适阶段．例如，初中函数概念的抽象，首先要分析运动变化过程，分离出决定变化过程的关键要素——变量，在此基础上分析变量之间单值对应的关系，用语言和图示方法表示这种对应关系；第二步，通过概括把这种单值对应关系推广到一般；第三步，定义函数概念并用符号表示（符号表示在高中阶段学习）；第四步，讨论函数的表示法，研究具体的函数模型的图象性质，建立函数、方程和不等式的联系，形成函数的知识系统．再如，数学操作程序的抽象（包括数学思想方法的抽象），则首先通过具体例子的操作，通过总结分离出关键步骤组成的序列（关键要素及其关系），再把操作步骤应用于新的例子，突出操作步骤的特征和可迁移性；第二步，把这种操作步骤推广到一般，形成普适的算法；第三步，用语言总结操作流程，并用程序框图表示；第四步，把这种操作程序与别的程序重组，建立不同的操作程序的相互联系．

在数学抽象过程中，“数学直观”（即数学对象及其关系的直观表征）至关重要，不管是具体对象概念还是抽象的关系概念，其抽象过程中必须以“数学直观”为中介．数学直观的基本神经机制是大脑的知觉运动经验及其简约化、自动化后得到的敏感神经激活模式．“数学直观”具有层次性，既可以是客观事物和操作序列，也可以是数量、数量关系和图形、图形关系，还可以是已有模型或概念．已有的知识经验可以作为新的抽象活动的“直观”模型，如有理数域、实数域可以作为抽象的“域”概念的直观模型，“邻域”概念、“开区间”概念可以作为理解拓扑学中“开集”概念的直观模型，而且，个体的数学直观的水平是随着各种模型的学习经验而逐步发展的．

综上所述，数学抽象的基本操作步骤是：分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化，数学抽象必须借助“数学直观”．有了这种操作步骤，就可以在教学实践中设计出有针对性的抽象活动，让学生经历数学抽象过程，发展数学抽象素养．

致谢：研究得到了北京师范大学认知神经学与学习国家重点实验室博士生导师周新林教授的悉心指导，在此致谢．

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Cognitive and Brain Mechanism of Mathematical Abstraction

WU Zeng-sheng

(Department of Education Research, Xianju County, Zhejiang Taizhou 317300, China)

Abstract was the essential characteristic of mathematics, The debate on the essence of mathematical abstraction runs through the development history of mathematics. By analyzing the process of Mathematical abstraction using the perspective of cognitive neuroscience, obtained following conclusions: (1) in the debate about the essence of mathematical abstraction, all of the different viewpoints essentially had its rationality, each of which reflects a certain side of mathematical abstraction at different level of understanding; (2) The essence of mathematical abstraction was the Neural cell cluster’s selective and abstract reaction about the information of quantity and spatial; (3) the basic activities step of mathematical abstraction were: separating property and Constructing model, generalizing and universalizing, defining and Symbolization, Systematization.

mathematical abstraction; the cognitive and brain mechanism; activity steps

[责任编校：周学智]

2018–03–10

浙江省2014年教育科学规划课题——基于脑、适于脑和发展脑的数学教学实践研究（2014SC295）

吴增生（1962—），男，浙江仙居人，浙江省特级教师，正教授级教师，教育部国培专家库成员，浙江师范大学教育硕士导师，主要从事中学数学教育研究．

G40–03

A

1004–9894（2018）04–0068–08

吴增生．数学抽象的认知与脑机制[J]．数学教育学报，2018，27（4）：68-75．