分数意义建构的顺序及对教科书设计的建议

陈 蓓，章 飞



分数意义建构的顺序及对教科书设计的建议

陈 蓓，章 飞

（江苏第二师范学院，江苏 南京 210013）

分数与商、比值可以建立一一对应关系，因此，分数可以表示除法的商，也可以表示比值，长期的使用中，人们已经默认了3者之间的等价关系；但分数的本源是数（量），不是比（率）；现行小学教材在认识分数之初即强调所谓分数的比率意义（分数可以表示部分与整体的关系，部分与部分的关系），给学生学习带来了一些困难．因此，建议：分数认识阶段，仅仅从等分和商的角度认识分数，不介绍分数的比率意义；在分数乘除法之前，学习比的概念以及分数的比率意义．

小学数学；分数；教学；教材设计

分数具有数量和比率两个方面的涵义，因此，我国的小学数学教材都是在认识分数之初，即揭示分数的这两层涵义，希望学生对分数有一个相对全面的理解，但这给初识分数的小学生带来了一定的困难．为此，需要分析分数的各种涵义之间的关系、学生学习困难的原因，并对教材顺序做出适当的调整．

1 分数的意义及其建构顺序

国内外学者认为分数具有多元多维的内涵，见表1[1]．

表1 部分学者对分数本质的认识

Dickson 所言子集与集合之间的比较，两组集合或两个量的大小比较的结果等，都可以概括为比率，因此，张丹从两个维度4个方面对分数意义进行了阐述，如图1[2]．

图1 分数意义

但，这是建立在对分数的意义及其运用完全了解的基础上的逻辑分析．作为教学任务的分数，更需要思考，分数最原初的本源是什么，有了分数又可以表示什么，进而如何完善对分数的认识，也就是说，要从儿童知识建构的角度，理清分数的不同意义以及相互关系，并通过适当的教学设计，帮助学生逐步完善对分数的认识．

1.1 分数的本源是数（量）而不是比（率）

从历史本源看，分数最初表示的是数（量）．分数是“分”出来的，起源于“分”．在英文中，分数是“fraction”，其意为部分或打碎，表示整数的一部分；《说文解字》将“分”解释为“分，别也．从八从刀，刀以分别物也．”虽然各个国家语言文化的背景不尽相同，但从语义学上讲，分数就是“被分割的数”[3]．测量是分数产生的另一个现实需要．但不管是测量还是分配，都指向一个具体的量，是一个数，而不是比（率）．

图2 题目背景

正因为分数本源上是数，学生从数量的角度认识分数是十分自然的，也没有多少困难的，教科书多以类似例1的情境引入分数．

表2 不同年级学生看到的分数情况

例1 一个饼平均分给4个人，每人各分得多少饼？3个饼平均分给4个人呢？更一般的，11个饼平均分给4个人呢？

对于这个问题，学生头脑中直观的图像大致如图3，对应的表示就是1/4，3/4，2+3/4或11/4．这时，学生“看到”的还是个数，也就是说，这些分数对应的都是数．

图3 学生头脑中分饼的直观图像

教学实践也表明，从数（个数）的角度认识分数，学生更容易理解[5]．

1.2 分数可以表示除法的商和比值

实际上，隐去例1的现实背景，即可抽象得到下面的算式：

例2 计算1÷4，3÷4，11÷4．

根据类似例1的经验，不难得到3个除法得到的商分别是1/4，3/4，2+3/4或者11/4．一般地，类比整数除法的经验，个相同的物体平均分配给个人，求每人可以分得的物品的数量时，运算式子可以用除法÷，而根据例1的经验，结果可以表示为/，这样就建立了除法的结果（商）与分数之间的对应关系：

÷/．

比是两个数量倍数关系的表达与度量．它是可以有量纲的．因此，用分数表示的是比的大小、而不是比本身[6]．比的大小（比值）与与商同构，而商可以用分数表示．因此，比的大小（比值）也可以用分数表示：

正因为此，可以用分数表示例3和例4的结果．

例3 小明有3个苹果，小亮有6个苹果，小明的苹果数与小亮的苹果数的比是多少？

例4 将盘子中的桃子平均分给4个猴子，每只猴子分得这盘桃子的几分之几？

例3中的比，实为比值；例4，实为每只猴子分得的桃子数占这盘桃子数的几分之几倍，或者说，每只猴子分得的桃子数与盘子中桃子数的比值．

1.3 分数意义建构的顺序

基于上述分析，分数意义建构的顺序大致是：通过“平均分”以及更一般化的背景，创生出新的数：分数；然后在不同的背景中感受分数的应用，如分数可以表示商、测量结果、比值等，在分数的运用中完善对分数意义的认识，如图4所示．

2 现行教科书中分数学习的顺序与问题

2012年之前版本的教科书，在三年级分数的初步认识阶段，就完成了分数两种意义的认识，即首先通过类似例1的“平均分”引出分数的表示，接着通过类似例4的问题引出分数可以表示部分与整体的比（比率），甚至两个部分的比．但，这可是学生最为头疼的问题，前面学生刚学习了类似“1个桃子分给4个猴子，每个猴子分得1/4个桃”的问题，很多学生疑惑“明明每个猴子分到1个桃，竟要说‘每个猴子分得这堆桃的1/4，真奇怪！’”即使学生学习现场看似掌握了，稍过段时间再遇到类似问题，学生还是错误不断．这说明，在学生刚刚学习过分数的数量意义之后，接着学习分数的比率意义，确实给学生带来了一定的认知障碍．2012年修订后的教科书[7-10]，将分数的意义分拆成两章，难度稍有所下降，但从整个教科书体系而言，分数的比率意义还是紧接着分数的数值意义学习．

图5 从比率角度认识“1/2+1/4”的直观图像1

图6 从比率角度认识“1/2+1/4”的直观图像2

图7 从数值角度认识“1/2+1/4”的直观图像

崔钰梳理了儿童分数概念学习的几个困难[1]，这些困难都与提早学习分数的比率意义有关．例如，学生不愿用分数表示结果，一方面是由于先前学习的整数和小数采用了同一个位值系统：十进位值制，现实生活中，学生已经习惯了十进位值制以及基于十进位值制的小数表示，因此，部分学生虽然认同分数是一个数，但还是自然地将其化为生活中习惯使用的小数；另一方面是，学生一开始就认识到分数既是一个数也是一个比，可以表示两个整数相除或者两个数量的相比，因此，总感觉不是最终的结果，而小数，学生具有丰富的生活经验，而且只能从数量的角度去思考，没有其他含义，这不能不说也是其中一个影响因素．设想，在认识分数之初，强化分数是一个数，在后面学习分数应用阶段再说明分数可以表示比、除法等，也许学生对于分数是一个数的认识状况会有所改善，从而一定程度上缓解分数概念学习阶段的一些困难．

3 教科书中分数有关知识学习顺序的建议

（1）分数认识阶段，仅仅从等分和商的角度认识分数，不介绍分数的比率意义．

分数的“数”的意义，一般可以有两个原型：直观的等分与抽象的商．其中等分更为直观，贴合学生的实际，而且既可以引申到商，将来也便于与比率进行对接，因此，建议选择类似例1的问题作为引入情境，在这个情境中引出分数（从单位分数到一般的真分数再到假分数），在感知了等分的结果可以用分数表示的基础上，类比以前特殊的等分（正好每份是整数的情况）以及相应的算式，建立除法的结果与分数之间的联系．张奠宙先生也有类似的观点：“在教学处理上，第一阶段的分数教学，先出分数的份数定义，然后过渡到‘商’定义，到了6年级，自然而然地用比加深对分数的理解．”[4]

（2）在分数乘除法之前，学习比的概念以及分数的比率意义．

综上，分数的认识与运算的学习顺序建议如下：

当然，课程、教科书的修改，还需要设计者和广大一线教师在更大范围内实验验证．该课程实验，需要调整某些内容的教学时间、顺序，在没有外部强有力支持的情况下，是很难进行的．因此，决定先抛砖引玉，力图引起学界的思考、争议，希望得到更多同道的支持，以引起教科书设计者更多的关注与思考，为大范围的实验支撑寻求支持．

[1] 崔钰．关于分数的文献综述与教学实践[J]．北京教育学院学报，2014（2）：62-64．

[2] 张丹．小学数学教学策略[M]．北京：北京师范大学出版社，2010：50．

[3] 徐章韬．分数历史发展过程中认识视角的变迁及其教学意蕴[J]．湖南教育（下旬刊），2010（4）：29-31．

[4] 张奠宙．小学数学研究[M]．北京：高等教育出版社，2009：79，82．

[5] 刘妍霞．分数先教“量”还是先教“关系”[J]．吉林教育教研，2015（15）：50-51．

[6] 史宁中，娜仁格日乐．小学数学教科书中比及其教学[J]．数学教育学报，2017，26（2）：1-5．

[7] 孙丽谷．义务教育教科书·数学（3上）[M]．南京：江苏教育出版社，2014：87-97．

[8] 孙丽谷．义务教育教科书·数学（3下）[M]．南京：江苏教育出版社，2014：76-86．

[9] 人民教育出版社课程教材研究所（3上）．义务教育教科书·数学[M]．北京：人民教育出版社，2014：91-103．

[10] 刘坚．义务教育教科书·数学（3下）[M]．北京：北京师范大学出版社，2014：67-79．

[11] 徐永红，刘全祥．存在即合理[J]．小学数学教师，2010（4）：38．

[12] 丁锐．中美小学数学教材的比较研究——以三年级“分数的认识”为例[J]．数学教育学报，2016，25（3）：20-27．

Suggestions on Textbook Design Based on the Relationship between Fraction, Division and Ratio

CHEN Bei, ZHANG Fei

(College of Mathematics and Information Technology, Jiangsu Second Normal University, Jiangsu Nanjing 210013, China)

From the origin, fraction was a number, not a ratio. Just learning the fraction, it was difficult to require students to understand the ratio meaning of fraction. We suggested that: the first stage of studying fraction, only from the perspective of equal division, not to introduce the ratio meaning of fraction. Before study multiplication and division about fraction, study ratio and the ratio meaning of fraction.

primary mathematics; fraction; teaching; textbook design

[责任编校：周学智]

2018–03–10

陈蓓（1981—），女，江苏金坛人，副研究员，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．章飞为本文通讯作者．

G622

A

1004–9894（2018）04–0058–04

陈蓓，章飞．分数意义建构的顺序及对教科书设计的建议[J]．数学教育学报，2018，27（4）：58-61．