改进拉丁超立方蒙特卡洛模拟

张建波, 张忠伟, 杨 洋

(1. 东北石油大学 电气信息工程学院, 黑龙江 大庆 163318; 2. 中国石油集团电能公司 中油电能电力技术服务公司, 黑龙江 大庆 163453)

0 引 言

近年来, 随着太阳能(PV: Photovoltaic)和风能(WG: Wind Generation)发电技术日益成熟[1,2], 极大地降低了发电成本, 但也为电网带来了明显的随机性、 间歇性和相关性； 电动汽车(PEV： Plug-In Electric Vehicle)的大规模普及, 其充放电方式也增加了电力系统的不确定性。传统的潮流计算方法没有涉及电力系统中负荷和分布式电源(DG： Distributed Generation)出力的不确定性, 而概率潮流通过概率统计方法处理电力系统中不确定因素更能符合电力系统实际运行状态。

概率潮流算法作为概率潮流分析中的重点, 近年来国内外学者对其进行了充分的研究。目前概率潮流算法主要包括点估计法、 解析法和蒙特卡洛模拟法(MCS: Monte Carlo Simulation)。文献[3]针对多风电场相关性的概率潮流计算问题引入K-means聚类和Copula函数相结合的方法, 建立风电场出力概率模型, 虽然考虑了风电场之间的相关性但计算较为繁琐。文献[4]考虑了风电场与光伏发电厂的不确定性, 利用无迹变换的优势将概率潮流问题转化为确定性潮流计算, 虽然减少了计算时间但所求均值误差较大。文献[5]将中值拉丁超立方抽样技术与蒙特卡洛模拟相结合, 虽然降低了计算复杂度, 但针对大电网获得的概率分布信息存在较大误差。文献[6]针对含电动汽车的微电网概率潮流计算问题, 提出径向基神经网络与无迹变换相结合的方法, 虽然改善了传统方法运行时间较长的缺陷, 但分布式电源不满足高斯分布时概率分析存在一定不足。

针对以上方法的不足, 笔者在充分考虑DG和PEV为电网带来明显不确定性的基础上, 提出径向基RBF(Radial-Basis Function)神经网络结合拉丁超立方蒙特卡洛模拟(CLMCS: Correlation Latin Hypercube Sampling Monte Carlo Simulation)的方法用于计算概率潮流。CLMCS采用拉丁超立方采样方法和蒙特卡洛相结合, 充分考虑了电网中随机性、 间歇性和相关性, 对比传统MCS保证了算法精度, 降低了采样规模, 提高了采样覆盖率。RBF求解潮流计算方程, 避免了计算雅可比矩阵和偏导, 极大地加快了算法运行的速度。

1 不确定分量模型

1.1 WG概率模型

双参数(规模参数c和形状参数k)的Weibull分布描述风速v的变化规律, 其概率密度函数为

风机输出功率PWT与风速v之间的函数关系表示为

其中Pr为风机的额定功率；vci、vco和vn分别为切入风速、 切出风速和额定风速[7]。

1.2 PV概率模型

光伏发电系统产生的功率PPV取决于太阳辐射r和温度。太阳辐射可以用Beta分布模拟, 其概率密度函数表示为

其中α和β分别为Beta分布的2个形状参数；rmax为某段时段内的最大太阳辐射。光伏发电系统的输出功率PPV与太阳辐射r的函数关系可以表示为

其中Prn为光伏发电系统额定功率；Rc为确定点的太阳辐射, 通常设置为150 W/m2；Rstd为标准测试环境下的太阳辐射, 通常设置为1 000 W/m2。

1.3 PEV概率模型

考虑到多个PEV的充电或放电为随机现象, 在本文中, 对于多个PEV概率建模, 使用文献[8]所示模型, PEV遵循二项分布。

1.4 负荷概率模型

负荷具有时变性, 可以用正态分布近似表示负荷功率的变化。节点i负荷的有功功率和无功功率概率密度函数为

2 CLMCS与RBF结合处理概率潮流

CLMCS由拉丁超立方采样(LHS: Latin Hypercube Samplins)和蒙特卡洛模拟两部分组成, 是一种能有效处理不确定性随机变量的方法, 在蒙特卡洛模拟的基础上, 降低了采样规模, 极大地减少了计算量。RBF具有任何非线性函数都可以通过具有零误差的RBF神经网络近似的优势, 代替传统内点法和前推回代法, 在保证精度的同时显著增加了潮流计算的速度。

1) 拉丁超立方蒙特卡洛模拟(CLMCS)。CLMCS结合了LHS和Nataf变换处理输入随机变量之间的相关性。LHS是一种分层抽样方法, 与传统抽样方法相比, 具有覆盖空间大和鲁棒性好的优势[10]。

为准确和完整地描述随机变量之间的依赖关系, 有必要获得变量的联合分布。Nataf变换利用正态Copula函数构造随机变量的联合分布。一旦给出了随机变量的边际分布和它们的相关系数, 它们的联合分布可以通过Nataf变换构造。下面介绍Nataf转换的基本原理。

设输入随机变量X=(x1,x2,…,xn),CX为n个输入随机变量的相关系数矩阵, 则有

其中ρij为输入随机变量Xi和Xj的相关系数；σi和σj分别为输入随机变量Xi和Xj的标准差。根据等概率转换原则, 引入标准正态分布随机变量Z=(z1,z2,…,zn), 则Z和X满足

)dzidzj

(11)

CLMCS算法主要步骤如下:

① 输入n个随机变量的累积分布函数Fk和其相关系数矩阵CX, 根据式(12)计算变换后的相关系数矩阵CZ；

② 对变换后的相关系数矩阵CZ进行Cholesky分解, 求得下三角矩阵B；

③ 对n个标准正态分布随机变量进行采样, 得到样本矩阵Wn×N, 根据LHS抽样原理, 通过Z=BW得到变换后的相关系数矩阵CZ的样本矩阵Z, 并由矩阵Z得到顺序矩阵Ls；

④ 对输入随机向量X进行LHS采样, 并按顺序矩阵Ls进行LHS排序, 并按顺序矩阵Ls进行排序, 得到最终的样本矩阵S=(s1,s2,…,sn);

⑤ 把样本矩阵S的所有元素分别代入潮流计算方程中, 求得各自的潮流结果;

⑥ 求得输出随机变量数字特征及概率分布。

2) 在本文中, RBF用来解决DG和PEV的在系统中功率方程计算问题。RBF具有任何非线性函数都可以通过具有零误差的RBF神经网络近似的优势[11]。功率方程写成非线性方程组的形式

yi=f(xi)

(12)

其中xi代表潮流计算所要求得的节点i的电压和相角；yi表示节点i的有功功率和无功功率；f代表功率方程映射。

笔者选择非线性高斯激活函数构成隐含层, 采用精确拟合法[12]训练RBF。隐含层的神经元数量等于输入向量的数量, 将每个内核的中心设定在特定的输入向量上, 忽略了隐含层的优化, 只需计算输出层的权重因子[13]。因此网络的训练过程所需时间非常短, 适用于迭代计算。针对输出层权重因子的优化, 笔者采用线性最小二乘回归计算所得输出权重因子矩阵为

W=TAT(AAT)-1

(13)

其中W为输出层权重因子矩阵；T为目标输出向量；A为隐含层的输出矩阵。

3) CLMCS-RBF求解概率潮流计算步骤。

Step1 输入线路参数、 概率密度函数以及相关系数生成样本矩阵S, 将样本矩阵S中采样点构成Xi的随机向量。向量Xi包括配电网中网络参数、 DG和PEV中随机变量。

Step2 通过非线性方程组f, 计算向量Yi。

Step3 以向量Yi作为输入,Xi作为输出, 训练RBF(在已经训练好的网络中, 当输入向量Y*时在输出处产生向量X*)。

Step4 在Step3中训练好的网络中, 输入向量Y*产生向量X0。

Step5 将X0代入非线性方程组f求得Y0,Y0与Y*进行比较。如果‖Y0=Y*‖2满足预定的公差, 则算法停止, 向量X0将被选择为最优解。否则, 进行下一步。

Step6 如果上一步产生的Y0比其他Yi更接近Y*, 则(Yi,Xi)中的一个将被替换为(Y0,X0)。然后, 转到Step3。如果约束条件不满足, 则用约束条件中的最大值或最小值替换当前参数, 并且算法转到步骤Step4。

3 仿真分析

为研究CLMCS-RBF方法的性能, 在Matlab平台中使用了改进的IEEE 14节点系统和改进的IEEE 118节点系统[8]。将CLMCS-RBF方法获得的结果与MCS、 CLMCS和QMCS进行比较, 其中WG、PV、PEV和负载之间的相关系数参考文献[14]。假设负载的正态分布的平均值等于文献[15]中提到的量, 标准差为均值的5%。为验证笔者所提算法的准确性, 引入误差指数表示输出随机变量的概率信息

其中μi和σi分别表示不同算法得到的均值和标准差,εμ和εσ分别表示不同算法求得的均值和标准差与6 000次蒙特卡洛模拟所求得均值μMCS和标准差σMCS的误差指数。

在本文中, 改进的IEEE14节点系统在节点3和节点4分别安装一个WG； 在改进的IEEE118节点系统进一步验证笔者所提算法性能, 在节点28接入PV, 节点78、 79接入WG, 节点54接入PEV, 其中PV、 WG以及PEV详细参数见文献[16], 共有216个随机变量用于概率潮流计算问题。在改进IEEE14节点系统中包括八个相关变量, 组成的相关系数矩阵为

仿真结果如表1、 表2所示, 分别列出基于四种不同概率潮流计算方法求得的IEEE-14节点系统中节点5、 IEEE118节点系统中节点47的电压幅值均值、 标准差以及相应误差指数； IEEE14节点系统中线路1-2、 IEEE118节点系统中线路47-49有功功率均值、 标准差以及相应误差指数。

表1 4种方法求得电压幅值及其误差指数

表2 4种方法求得线路有功功率及其误差指数

表3给出了3种算法的运行时间, 仿真结果表明, 对于IEEE14节点系统QMCS与CLMCS-RBF在电压均值方面所得结果相同, 均值误差指数均在0.01%, 但QMCS标准差误差指数高达4.46%, 这是因为QMCS一次性生成所需采样序列, 数值稳定性较低。在面对高维问题时, QMCS由于采用低差异序列, 在高维度上覆盖率降低, 所以在IEEE118节点系统中所求误差指数以及计算时间均高于CLMCS和CLMCS-RBF。CLMCS在IEEE14节点系统中所得电压均值误差指数略高于QMCS, 计算时间比QMCS慢1.268 s, 在IEEE118节点系统中表现结果较QMCS有很大提高, 主要是因为CLMCS采用拉丁超立方采样, 在低维问题上优势不明显, 所需计算时间较QMCS略长, 但在高维问题上由于采样值能够覆盖整个分布区域, 且无需大规模采样, 在准确性和时效性上都有了很大的提高。CLMCS-RBF仿真结果均优于MCS、QMCS以及CLMCS,CLMCS-RBF在CLMCS的基础上结合RBF避免了计算雅可比矩阵与偏导, 在IEEE118节点系统中优势尤为明显, 计算时间较MCS、QMCS、CLMCS分别降低了99.9%、73.6%、66%, 并且保留了CLMCS算法的准确性, 满足工程需要。

表3 计算时间对比结果

为了进一步说明所提算法的有效性, IEEE14节点系统中节点5电压的概率密度函数如图1所示, IEEE118节点系统中线路47-49有功功率概率密度函数如图2所示。由图2可见, CLMCS-RBF与MCS方法拟合度最高, 进一步验证了所提算法的准确性, 也为电压水平分析及电网规划提供有效的依据。

图1 IEEE14节点系统节点5电压 图2 IEEE118节点系统线路47-49有功功率 Fig.1 Node 5 voltage of IEEE14 node system Fig.2 Line 47-49 active power of IEEE118 node system

4 结 语

笔者所提出的CLMCS-RBF分别在改进的IEEE14节点系统和IEEE118节点系统中与CLMCS、 QMCS、 MCS进行对比。通过比较分析, CLMCS-RBF保留了CLMCS低采样规模、 高采样覆盖、 高精度的优势, 同时结合RBF对潮流计算进行求解, 能在保证高精度的同时, 极大地减少算法运行时间。在改进的IEEE14节点中CLMCS-RBF与CLMCS相比没有明显优势； 在改进的118节点系统中, 对比MCS、QMCS、CLMCS算法运行时间分别降低了99.9%、73.6%、66%, 满足实际工程需要。改进的概率潮流计算方法, 具有高精度、 高时效性的特点, 特别适用于大节点网络, 对电力系统安全运行具有重要意义, 同时为分布式电源和电动汽车并网提供了可靠的理论依据。