为理解而教——《认识公顷和平方千米》教学案例与思考

牛献礼（特级教师）

【教学内容】

人教版四年级上册第34、35页。

【教学思考】

什么是“理解”？各家说法不尽相同，但都强调一点：把新的知识纳入到已有的知识体系之中。学生在建立一个新概念时，如果能用旧知来解释新知，在新旧知识间建立联系，从而在心理上组织起有效的认知结构，那才是真正的理解。因此，在数学教学中，为了促进学生对新知的理解，应努力引导学生经历“运用已有知识经验解释新现象、新问题”的过程。下面以《认识公顷和平方千米》的教学为例加以说明。

调研发现，学生对“公顷”和“平方千米”的认知并非一片空白，但在应用时却问题百出：一是因直观体验少而容易遗忘；二是不能正确把握面积单位的大小概念，分不清“平方千米”和“公顷”哪个是高级单位；三是习惯性地将“公顷”和“平方米”之间的进率记作100。产生上述问题的原因，归结起来是因为平方厘米、平方分米、平方米和平方千米都对应着一个长度单位，只有公顷不易找到一个相应的长度单位与之对应，导致学生无规律可循。由此可见，假如只是把“公顷”和“平方千米”这两个抽象的数学概念“生吞活剥”地灌输给学生，他们已有的旧知并不足以解释新知，不能促成学生对知识的深刻理解。

碎片化的已有认知和经验，怎样才能系统化？既然按部就班地学习书本知识不可取，怎样改变学习方式，让学生通过自己的亲身体验去建立“公顷”的表象？带着这样的思考，我在教学中做了如下尝试。

教学片断一：

出示研究问题：

问题一 我们已经学习过哪些面积单位？请按从小到大的顺序写下来。

问题二 你能举例或画示意图说一说它们分别有多大吗？

（学生独立研究，然后组织全班交流）

生：面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，还有亩和平方千米。

生：边长1厘米的正方形的面积是1平方厘米。

师：边长1厘米的正方形大约有多大呢？能举个例子吗？

生：就像手指甲盖儿那么大。

师：那1平方分米有多大呢？

生：边长1分米的正方形的面积是1平方分米，像一个手掌那么大。

师：（出示1平方分米大的正方形纸片）这张纸的边长是1分米，它的面积就是1平方分米。1平方米有多大呢？

生：边长1米的正方形的面积是1平方米。

师：边长1米的正方形究竟有多大呢？我们在黑板上画一画。

（教师在黑板上演示用米尺画出一个边长是1米的正方形，学生发出一阵惊叹声：这么大！）

师：请同学们估测一下这块黑板的面积大约有多少平方米？

生：1.5平方米、1.7平方米……

（教师再演示把1平方分米和1平方厘米分别画在了1平方米的正方形里面，学生不停地感叹：1平方分米、1平方厘米和1平方米比起来太小了！）

师：把这三个面积单位重叠在一起，就容易看出来，相邻两个面积单位的进率是——

生：100。

【思考：本课通常的教法是通过呈现生活素材（如：北京中华世纪坛占地面积约4.5公顷；台湾日月潭面积约827公顷；等等），来介绍“公顷”这一面积单位的广泛应用，从而引入新课。然而，面对生活中的这些“大数据”，学生是很难有感觉的，因为它们离学生的经验和认识比较“遥远”。现代认知论认为，一切新的有意义学习都是在原有的学习基础上产生的，学生认知结构中原有稳定和清晰的知识经验能为新的学习提供最佳关系和固定点。在上述教学中，通过逐步复习以前学过的面积单位，给了每一位学生唤醒旧知的机会，帮助学生找到了后继学习知识经验的根基，有利于学生体验到知识的发展过程。】

教学片断二：

师：刚才有同学提到了面积单位还有“平方千米”，那么，1平方千米有多大呢？平方米和平方千米之间的进率是多少呢？大家可以猜一猜。

生：我认为平方米和平方千米之间的进率应该是1000。

（班里还有人认为进率是100，也有人认为进率是10000）

师：看来大家对平方米和平方千米之间的进率有不同意见，哪种意见正确呢？我们一起来研究研究。刚才提到的几个面积单位都是用正方形来表示的，1平方千米这个面积单位也是个大正方形，它的边长会是多少呢？

生：1千米。

师：你是怎么想的？

生：因为边长1厘米的正方形是1平方厘米，边长1分米的正方形是1平方分米，边长是1米的正方形是1平方米，所以我推想，边长1千米的正方形就是1平方千米。

师：合情合理！

（完善板书：边长1厘米 面积1平方厘米

边长1分米 面积1平方分米

边长1米 面积1平方米

边长1千米 面积1平方千米）

师：观察上面这几个正方形的边长和面积，你有什么发现？有什么想法？

生：从上往下，边长每次都“×10”，面积都“×100”。

生：最后一个不是，边长1米到1000米，是“×1000”。

生：我感觉平方米和平方千米之间还应该有别的面积单位，因为上面几个正方形的边长之间的进率都是10，从1米到1000米，进率却是1000。

师：很有想法！也很有道理！想一想，如果按照上面“边长×10”的规律继续下去，边长1米的正方形的边长再“×10”，就是边长10米的正方形，这个单位叫什么呢？

生：平方十米。

师：有道理！能计算出平方十米的面积吗？

生：边长×边长，10×10=100（平方米）。

师：1平方十米就是100平方米，它还有个名字叫“公亩”，这个单位现在用得比较少了。公亩和我们生活中说的“亩”可不是一回事儿，1亩大约是666.7平方米。再继续下去，边长100米的正方形，这个单位叫什么呢？

生：平方百米。

师：1平方百米有多大？

生：100×100=10000（平方米）。

师：如果边长是1000米呢？它的面积有多大？

生：1000×1000=1000000，应该是 1000000 平方米。（学生发出一阵惊呼）

师：现在我们知道了，平方千米和平方米之间的进率既不是100，也不是1000，而是——

生：1000000。（学生又一次发出惊叹声！）

师：边长100米的正方形是1平方百米，1平方百米就是1公顷（板书：公顷），公顷的单位用字母表示就是hm2（板书：hm2），其中“hm”中的“h”是英文单词“hundred”的缩写，表示“百”的意思，hm2就是百米的平方，也就是10000平方米。想一想，公顷和平方千米之间的进率是多少？

生：1平方千米=100公顷。

师：那平方米和公顷之间的进率呢？（生：10000）

师：进率是10000？为什么？

生：因为它们中间还隔着一个“公亩”，所以是10000。

生:100个 100就是 10000。（板书：100×100=10000）

师：按这种解释，平方米和平方千米之间的进率是多少？

生：100×100×100=1000000。（板书）

逐步完善板书：

生：老师，还有没有比平方千米大的面积单位？

师：如果有，大家觉得应该是什么呢？有多大呢？

生：边长是10000米的正方形，平方万米。

生：边长是1亿米的正方形，平方亿米。（学生发出一阵惊呼）

师：像这种思考问题的方式就是数学上的“推理”（板书：推理）。公顷和平方千米已经是非常大的面积单位了，所以，就不需要更大的面积单位了。

【思考：美国心理学家奥苏伯尔指出，迁移现象普遍地存在于人的活动中，凡有学习的地方就会有迁移。迁移就是一种学习对另一种学习的影响。教师应注意利用学生先前获得的认知结构对后继学习施以积极影响，使新知通过迁移而同化或顺应于原有的认知结构，并使原有的认知结构得以不断扩展和壮大。在上述教学中，由正方形边长10倍递增，顺次计算出相应的正方形的面积，并顺势而下，揭示“公顷”（平方百米）“公亩”（平方十米）等面积单位，并补充介绍公顷的符号“hm2”等，完善了“相邻两个面积单位之间的进率是100”的知识体系，也便于学生理解、记忆和使用。这样，整个面积单位体系系统化，有规律可循，学生的认知也更全面，对进率的理解也就更深刻。另外，上述以解决“面积单位对应的正方形的边长是多少”的问题为载体的教学过程，在实现基础知识教学目标的同时，也让学生经历了一系列演绎推理活动，渗透了“逻辑推理”素养的培育。】

教学片断三：

师：1公顷到底有多大呢？让我们一起到熟悉的操场上测量测量，亲身感受一下吧。

课的后半段时间，笔者带着学生走出教室来到了操场，师生合作测量“100米有多长？”观察、体验“边长100米的正方形的面积有多大”。

学生惊讶地发现平时感觉特别大的学校足球场的面积连1公顷都不到，整个学校操场的面积只有1公顷多一些，而整个学校占地面积也只有2公顷多一些。

师：像我们学校这么大的面积，才选用“公顷”这个比较大的面积单位，“平方千米”是更大的面积单位，在哪里才有用武之地呀？

生：整个亦庄的面积可以用平方千米作单位。

生：北京市的面积可以用平方千米作单位。

生：中国的面积可以用平方千米作单位。

师：大家知道中国的陆地面积大约是多大吗？960万平方千米呢！

……

【思考：表象是客观事物经过主体感知以后在头脑中所留下的形象，它源于感知又高于感知，是人们认识事物由感知向抽象思维过渡的中介环节。一个抽象的数学知识的获得，需要帮助学生建立准确、鲜明的表象，并以表象为中介，通过抽象思维对概念达到理性的理解。

对静止事物感知而在头脑中留下的形象是静态表象；经演示、操作、活动等而在脑中留下的过程、情境是动态表象。这种动态表象除了与静态表象一样在认识过程中具有中介作用以外，它所反映的情境、过程更能使学生对知识经验的前因后果和来龙去脉进行深刻地思考，在进一步展开的抽象思维中更好地把握过程和结论的关系。

在“认识公顷”的教学中，让学生形成较为准确、清晰的表象是重要的学习目标。然而，学生很难直接体验“1公顷”的大小。教学中大都采用由小面积推算大面积的办法，例如把28位学生手拉手围成的正方形面积（10米×10米）、1个教室的面积（6米×8米）等作为“凭据”，让学生推想“1公顷有多大”，间接感知1公顷的大小。研究表明，学生对选定的参照物的熟悉程度越高，且表示的数据越少、数值越大，学生对1公顷的大小就会越“有感觉”。因此，“操场的面积大约是1公顷多一些”要远比“200多个教室的面积大约是1公顷”更有助于学生感知1公顷的大小。

鉴于此，我把“认识公顷”的后半段学习过程移到了操场，精心组织演示与测量活动，展示清晰的操作过程与程序，并通过回想、复述、提问等办法，帮助学生把这种情境、过程留下来，形成动态表象，这不仅对于学习抽象的“公顷”和“平方千米”概念有利，而且能使学生在“知其所以然”上获得深刻的理解和牢固的记忆。】